Ornstein–Uhlenbeck 半衰期：交易中的均值回歸

假設差價高於估計的長期均值。均值回歸模型表示，預期差價會逐漸回到均值。半衰期回答一個狹窄問題：在擬合模型下，期望偏差要多久才減半？若初始偏差為 100 個基點，半衰期為 4 期，模型的條件期望偏差在 4 期後約為 50 個基點。

這談的是多條可能路徑的期望值。實際差價可能先擴大、很快穿過均值，或長時間停留在遠處。半衰期亦取決於觀測單位：用日資料估計，單位是日；用小時資料估計，單位是小時。請列明取樣間隔及用來估計速度的模型。

單因子 OU 過程可寫成：

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

其中 \(\mu\) 是長期均值，\(\kappa>0\) 是均值回歸速度，\(\sigma\) 控制瞬時隨機變動，\(W_t\) 是布朗運動。漂移方向指向 \(\mu\)：高於均值時，條件方向向下；低於均值時則向上。

條件期望偏差按以下方式衰減：

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

令衰減乘數為一半，即 \(e^{-\kappa h}=1/2\)，解出經過時間：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

半衰期公式不包括 \(\sigma\)。波動率影響個別路徑在條件期望周圍的擺動幅度；在此模型中，\(\kappa\) 決定期望值的衰減速度。Uhlenbeck 和 Ornstein 對布朗運動的分析奠定了這個經典隨機過程的基礎；Vasicek 後來以 OU 類過程建模短期利率。

若觀測以固定間隔 \(\Delta\) 進行，OU 過程的精確抽樣形式為：

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

對純量 OU 模型，只要 \(\kappa>0\)，就有 \(0<\phi<1\)。以觀測次數表示的離散半衰期為：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

經過的實際時間則是此值乘以 \(\Delta\)。若估計的 AR(1) 係數為零、負數或大於等於 1，這種簡單的正均值回歸速度轉換並不適用。應考慮其他動態模型，不要硬套 OU 解釋。

亦可從變化式 \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\) 估計。若為平穩 AR(1)，且 \(0<1+b<1\)，令 \(\phi=1+b\)、\(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\)；當 \(b\ne0\) 時，隱含長期均值是 \(-a/b\)。轉換時須保留取樣間隔；由日資料改為週資料會改變係數的時間尺度。

時間單位由 \(\Delta\) 決定。股票日資料的一個觀測通常代表一個交易時段，而不是 24 個曆時小時；因此，跨越週末或假期的 4 次觀測半衰期，不應直接說成 4 個曆日。不規則時長的 bar，例如事件或成交量取樣，可能不適用固定間隔轉換。請交代資產、取樣安排，以及報告單位是觀測次數、交易時段還是實際經過時間。

假設一個等間隔日資料的差價模型估得 \(\phi=0.84\)。這是假設的教學值，並非即時估計。每日均值回歸速度為 \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\)，所以：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{個交易日}. \]

四日後，期望缺口約為初始值的 \(0.84^4\approx0.498\) 倍。若初始偏差為 100 個基點，四次觀測後的模型條件期望約為 49.8 個基點，尚未計及估計不確定性或過程變化。

下圖把平滑衰減的條件均值，與在其周圍持續波動的樣本路徑分開呈現。這是概念圖，不是價格歷史，也不表示每條差價路徑都會跟隨模型均值。

先定義 \(X_t\)。共整合殘差、價格差、對數價格差價、波動率調整訊號和收益率差價都是不同序列，單位與動態各異。共整合結果可在其假設下支持某個平穩線性組合，但不代表該殘差服從參數固定的 OU 過程。

估計前先選擇取樣頻率、形成期、均值設定和滯後結構。簡單 AR(1) 可能掩蓋序列相關、波動率改變、跳躍、日內市場微觀結構或狀態轉換。檢查殘差表現和參數穩定性，並交代估計是否以特定樣本為條件。Chan、Karolyi、Longstaff 和 Sanders 的短期利率模型實證比較說明，即使常見的均值回歸形式，證據也可能薄弱並取決於模型。

交易差價的參數應使用每個形成日期當時可得的資料估計。以未來觀測值重新估計差價或均值會造成前視偏差。若關係會隨時間重新校準，應說明更新安排，並以較後的資料評估整個程序，不要把擬合係數當成已知值。

\(\phi\) 轉換為半衰期是非線性的。當 \(\phi\) 從下方接近 1，\(\ln(\phi)\) 趨近零，隱含半衰期會急速變長。因此，係數稍有改變，報告時間亦可能大幅不同。例如，假設 \(\phi=0.80\)、0.84、0.88，半衰期分別約為 3.11、3.98、5.42 次觀測。

應用配合估計量和樣本的推論方法，報告速度或轉換後半衰期的不確定性。若 \(\phi\) 的信賴區間觸及或跨過 1，該區間可能不支持有限且為正的平穩 OU 半衰期。不要只報點估計；若從大量序列中選出看來回歸最快的一條，也要考慮選擇過程。接近單位根時，估計誤差可能比單一半衰期數值表面上的精確度更重要。

例如，假設抽樣係數 \(\phi\) 的 95% 區間為 \([0.78,0.92]\)。在平穩 OU 範圍內，轉換後的半衰期隨 \(\phi\) 增大而變長，因此該區間約對應 2.79–8.31 次觀測，即使點估計 0.84 對應 3.98 次觀測。這只是說明，不是實證結果。若係數區間觸及 1，半衰期上限可能無界；大於等於 1 的值不屬於此平穩轉換範圍。不要為了製造有限區間而剔除這些值。不確定性方法亦應反映序列相依及差價構造的估計誤差；若在多個配對或窗口中搜尋，亦要納入選擇步驟。

半衰期追蹤的是偏差的條件期望大小。穿越時間則問隨機路徑何時首次抵達某個水平，例如估計均值或退出門檻。首次抵達時間的分布同時取決於漂移和波動率，可以相當分散。William Bertram 的最優統計套利分析透過首次抵達計算研究交易長度和回報；那是不同於指數半衰期公式的量。

交易系統仍須明確設定進場和退出規則、部位大小、風險上限，以及關係失效時如何處理。差價可能先進一步偏離均值，也可能在相關期間內沒有回歸。期望衰減計算不會提供停損水平、停損前觸及獲利目標的機率，或扣除費用後的回報。

配對交易通常建模的是構造出來的差價，而不是任何一項資產本身。避險比率、貨幣、公司行動調整、融資、借貨可用性及再平衡政策都會影響實際部位。應在按時間排序的驗證窗口檢查差價的長期關係是否仍合理；估得較短的半衰期不能修復結構斷點。

將買賣差價、市場衝擊、費用、資金費或借貨成本，以及兩條腿完成交易所需時間納入考慮。這些成本沿著實際路徑累積，而非只在期望半衰期內產生。搜尋大量配對、回看窗口和取樣頻率，也可能令偶然短的估計看起來更可靠。Chan 等人對利率模型的實證結果提醒我們，熟悉的均值回歸形式不保證特定資料有強力證據。

OU 架構可以整理對差價預期動態的假說。交易規則是否有效則是另一個實證問題，取決於穩定性、不確定性、執行和樣本外結果。

列明序列定義、價格或回報口徑、取樣間隔、樣本窗口、估計均值、速度參數、波動率參數，以及 OU 方程是連續時間模型還是由離散 AR 模型推導。提供係數估計和不確定性，說明半衰期的轉換方法，並展示合理替代窗口或取樣間隔的敏感度。

交易應用還應說明差價構造、參數更新方式、每個決策時點可用的資訊，以及如何處理交易成本和未能收斂。把半衰期呈現為模型隱含的期望衰減摘要，並連同不確定性和單位一起報告。不要單獨用作進場、出場或盈利能力的主張。

Uhlenbeck 和 Ornstein 的1930 年布朗運動論文奠定均值回歸隨機過程的基礎。Vasicek 的利率期限結構模型90016-2)使用 OU 類短期利率過程。Chan、Karolyi、Longstaff 和 Sanders 比較連續時間短期利率規格，並指出證據和配適度取決於模型選擇。Bertram 推導以首次抵達時間計算的最優統計套利結果，說明交易期間是另一種量。相關指南包括[配對交易中的共整合與相關關係](/zh-HK/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[金融中的平穩性、單位根與均值回歸](/zh-HK/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)，以及[Engle–Granger 共整合檢定](/zh-HK/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)。