Hasbrouck 資訊份額：量度跨市場的價格發現

同一證券可以在多個場所買賣，緊密相關的工具亦可能反映同一基礎價值。各場所觀察到的價格不一定時刻一致。一個場所的報價可能先變，另一個場所隨後反應，最後兩者都圍繞共同的長期路徑波動。價格發現研究新資訊如何納入共同永久成分；這與成交量、報價流動性，或最近一宗交易在哪個場所成交是不同問題。

Hasbrouck 資訊份額正是為回答這個問題而設。在他的框架中，相關市場價格共享一個隱含、無法直接觀察的有效價格，而每個觀察價格也可能包含暫時偏離。某市場的份額，是該市場創新對共同有效價格創新變異數的比例貢獻（Hasbrouck, 1995）。估算結果取決於指定的系統、樣本和觀察設計。它不能識別誰先收到資訊、建立因果途徑，或證明某個場所每次都領先。

當某場所成交量較大或報價差價較窄時，這個分別尤其重要。這些特點可能與價格發現有關，但資訊份額量度的是場所對永久價格變動的模型化貢獻。一個市場的成交量可以很大，但另一個市場可能對推動共同長期價格的創新貢獻更多。

令 \(p_t\) 包含在 \(d\) 個場所觀察到的價格，這些場所交易同一資產或經濟上等同的權益。常見的微觀結構設定把價格水平視為非平穩，通常為 \(I(1)\)，而長期套利會令價格差保持平穩。兩個場所只有一個共同趨勢時，系統有一條協整關係，通常是經標準化的價格差。一般而言，若 \(d\) 個相關價格共享一個隨機趨勢，協整秩便是 \(d-1\)。

這是需要檢驗的實證假設，不是因為兩個畫面顯示相同股票代號就自動成立。價格可能因合約條款、貨幣、融資、股息、交收或持續基差而不同。轉換交易場所、費用變動、市場結構改革或資料定義改變後，關係亦可能變化。若所選樣本中的序列並不共享假設的長期關係，有效價格分解及其份額便不具備預期的解讀。

協整和誤差修正把平穩的長期關係連繫到短期價格變化模型（Engle and Granger, 1987）。VECM 清楚呈現這種結構：把圍繞共同價格的暫時調整，與可能影響長期成分的創新分開。

<!-- learn:illustration --> <!-- 無文字概念圖：兩個場所的價格路徑圍繞一條較平滑的共同長期價格路徑波動，同時各自出現暫時偏離。並非市場數據、因果圖或預測。 -->

對 \(d\) 個價格序列，VECM 可以寫成

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

其中，\(\beta\) 張成協整關係，\(\alpha\) 包含調整載荷，\(\Gamma_j\) 捕捉短期落後動態；\(\varepsilon_t\) 是協方差矩陣為 \(\Omega\) 的簡約形式創新向量。只有一個共同有效價格時，這些創新的長期影響可以用行向量 \(\psi\) 概括。永久價格的增量為

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

並視乎模型所選的標準化方式和確定性項。該增量的總變異數為

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

\(\psi\) 來自已估算系統的長期表示，並不只是調整係數 \(\alpha\) 或協整向量 \(\beta\)。短期價格變動可以很大但只是暫時；較小的創新若其影響留在共同永久成分，對價格發現也可能更重要。

應說明共同趨勢及其標準化方式。把有效價格表示乘以一個常數，會改變 \(\psi\) 和共同價格變異數的單位，但已標準化的資訊份額不變。若系統有多於一個共同隨機趨勢，單一純量有效價格便不足夠；研究者要界定將要分解的是哪個永久成分或線性組合。

若各場所創新互不相關，\(\Omega\) 便是對角矩陣。此時可以直接拆分各市場對永久價格變異數的貢獻：

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

公式以市場本身創新的變異數，為其長期影響加權。若某場所的價格創新對長期成分影響更持久，或創新變異數較大，它便可能取得較高資訊份額。只比較 VECM 調整係數的絕對值並不足夠。

若創新在同一時間相關，總變異數還包含協方差項。單憑 \(\Omega\)，沒有唯一方法把這些共同項分配給各場所。Hasbrouck 使用 Cholesky 分解 \(\Omega=FF^{\mathsf T}\) 形成正交創新。對所選變數排序，分配予正交衝擊 \(i\) 的份額為

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

分解令各衝擊正交，但其三角結構會讓排序較前的變數優先吸納共同同期變動。排序是分解中的分配慣例，並非經濟資訊層級的證據。

若兩個場所的價格在同一採樣間隔內更新，其創新可能高度相關，資料便無法清楚分辨哪個市場的創新先到。Cholesky 分解會按哪個場所排在前面，以不同方式分配共同變動。Hasbrouck 方法在相關排序中把市場放到最後求下界，放到最前求上界。

這些界限回答比單選一個方便排序更審慎的問題：在容許的相關創新遞迴分配下，這個市場的份額可以變動多少？界限較窄，表示在已估算樣本中，排序問題對結果影響不大；界限較闊，則代表同期價格創新對場所份額的識別較弱。有時會報告區間中點作摘要，但中點並非唯一識別的估算值，不應取代界限或明確說明的排序。

提高採樣頻率可能減少部分表面同期相關性，例如一個場所先於另一個場所更新時，但不能保證相關性降至零。低頻採樣會隱藏價格更新次序；頻率過高則可能出現陳舊觀察和不同步報價問題。請報告採樣規則和排序敏感度。

純粹為說明，假設一個雙市場 VECM 得出標準化永久價格影響向量 \(\psi=(0.6,0.4)\)。簡約形式創新的協方差矩陣為

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

創新變異數均為 1，相關係數為 0.8。永久價格創新的總變異數為

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

把市場 A 排在前面，下三角 Cholesky 因子為

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

所得份額為 A：\(0.92^2/0.904\approx93.6\%\)，B：\(0.24^2/0.904\approx6.4\%\)。倒轉排序、把 B 放在前面，同一計算會把約 85.7% 分給 B，14.3% 分給 A。因此，取決於排序的界限約為 A 的 14.3%–93.6%，以及 B 的 6.4%–85.7%。每種排序下的份額總和為 100%；不同排序下分別計算的各市場下界或上界，不應加起來等於 100%。

這裏所有數值都是假設：VECM 影響向量、單位創新變異數和 0.8 相關係數只為令算術過程可重現。例子不是任何交易所、資產或樣本的研究結果。它只說明相關創新如何令看似精確的市場排名高度取決於 Cholesky 排序。

Gonzalo–Granger 分解把永久成分構造成觀察價格的標準化線性組合。在調整矩陣為 \(\alpha\) 的 VECM 中，共同因子權重位於 \(\alpha\) 的正交補空間：權重向量 \(w\) 滿足 \(\alpha^{\mathsf T}w=0\)，並可另行標準化至權重總和為 1。所得共同因子在長期內不會對誤差修正項作出反應。Gonzalo 和 Granger 為協整系統提出這種永久—暫時分解（Gonzalo and Granger, 1995）。

成分權重描述共同價格水平如何由各場所價格組成。Hasbrouck 資訊份額則量度各場所對共同永久價格創新變異數的貢獻。兩者可能密切相關，但資訊份額亦考慮每個場所創新的變異數。de Jong 的比較，以及 Baillie、Booth、Tse 和 Zabotina 的分析，解釋了為何創新不相關時兩種量度可能相似，而創新相關或變異數不同時則可能分歧（de Jong, 200200028-9)；Baillie et al., 200200027-7)）。

以上假設輸入 \(\psi\) 和 \(\Omega\) 本身不能決定 Gonzalo–Granger 成分權重；權重取決於 VECM 調整矩陣 \(\alpha\) 和明確列出的標準化方式。單憑變異數分解的輸入，無法推算具體數值的成分權重。這個分別很關鍵：成分權重以觀察價格構造永久價格，Hasbrouck 資訊份額則分解該價格創新的變異數。

價格序列必須代表可比較的權益，並按有理據的時鐘對齊。請說明每個觀察值是成交價、中間報價，還是其他報價指標；如何處理鎖定或交叉報價、陳舊價格、競價、市場收市和次序錯亂的訊息；以及樣本期間兩個場所是否都開市。期貨應記錄合約轉倉和交收差異。對跨市場上市的工具，應在估算 VECM 前統一貨幣、公司行動和單位。

不同步觀察是一項主要問題。若一個場所在 10:00:00.100 更新，另一個在 10:00:00.700 更新，一秒採樣網格可能把先後反應看成同時；更疏的網格則會進一步模糊次序。太密的網格可能沿用陳舊價格，造成虛假的領先—滯後模式。請報告採樣頻率、同步規則、報價篩選條件，以及對合理替代方案的敏感度。較短間隔可以減少彙總所造成的相關性，但不能消除真實共同衝擊、同時更新或時間戳錯誤。

份額亦取決於落後階數、確定性項、樣本端點和結構穩定性。落後項太少，可能令 VECM 創新殘留序列相依；太多則會增加估算噪音。場所規則或交易時段改變亦會改變調整過程。應進行殘差診斷和不確定性估算，並考慮重新估算整個 VECM 和份額界限的自助法。不要把單一規格下的小標準誤，當成已涵蓋模型與資料選擇的不確定性。

資訊份額量度在指定 VECM 和正交化方式下，各建模場所的創新對估算永久價格變異數的貢獻。份額較高不證明該場所製造了新聞、每次事件都率先變動，或能預測下一期回報。共同資訊可能幾乎同時到達各場所，市場摩擦和觀察時點亦會影響量得的分配。

它也不是直接的市場質素指標。一個場所可以參與形成共同價格，同時有較闊差價、較淺的顯示深度或較高執行成本。相反，另一個場所可能提供低成本流動性，但在所選樣本中對永久價格創新的貢獻較少。[Roll 差價估計量](/zh-HK/learn/roll-bid-ask-spread-autocovariance-estimator-explained)透過回報自協方差估算另一種對象；[訂單流失衡](/zh-HK/learn/order-flow-imbalance-limit-order-book-explained)概括顯示排隊的變化，而非長期創新變異數。

若要提出交易主張，資訊份額分析必須是預先指定的按時間順序樣本外策略測試的一部分，並計入費用、買賣差價、延遲、滑點、市場影響和場所准入。[Engle–Granger 指南](/zh-HK/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)介紹單方程協整的替代方法；[Johansen 秩檢定指南](/zh-HK/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained)則講解系統協整秩。協整或高資訊份額都不能證明交易規則有利可圖。