VaR–ES 聯合評分：Fissler–Ziegel 預測評估

令 L_t 代表損失，數值愈大代表損失愈嚴重；c 是置信水平，例如 97.5%。條件損失分位數 v(c,t) 是令 F(L_t ≤ x | 截至 t−1 的資訊) 達到 c 的最小 x。以正損失的上尾定義來說，只要尾部平均有限，ES e(c,t) 就是 v(u,t) 從 c 到 1 的積分乘以 1/(1−c)。在連續分佈下，它等於超過 VaR 門檻的平均損失。若門檻上有機率質量，分位數積分定義會處理所需比例的質量。

評分必須採用與預測相同的定義。有些論文以收益率下尾定義 VaR 和 ES，通常使用負值，並以 α = 1−c 表示尾部機率。若使用正損失定義，同一風險位於上尾，而且 ES 不會低於 VaR。混用定義可能令不等式和例外指標反轉。請記錄正負號、置信水平、期限，以及結果發生前可取得的資訊。

分位數有一種常用的嚴格一致 pinball 分數。對損失 L 及其 c 分位數 v，一個 VaR 分數是 S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L)。按一般分位數條件，其期望值在目標分位數最小，因此 VaR 可以獨立評估。

對風險管理常見的廣泛損失分佈類別來說，並沒有相同的嚴格一致分數可以只 elicitable ES。這項說法針對獨立點預測，以及其期望分數能唯一選出 ES 的情況。它並不代表 ES 沒有意義、不能測試，或不能作為較完整預測的一部分比較。

Fissler 和 Ziegel 指出關鍵分別：ES 單獨在此意義下不可 elicitable，但在適當的正則性和矩條件下，(VaR, ES) 可以共同 elicitable。他們 2016 年的論文為廣泛的嚴格一致分數類別提出必要和充分條件 (Fissler and Ziegel, 2016)。共同 elicitability 是指同一評分函數同時接收兩項預測和實際結果。隨意把兩個損失相加，不會自動變成有效的 ES 分數。

以 S_c(v,e;L) 表示置信水平 c 下可用的聯合分數。嚴格一致代表在目標分佈下，期望分數在正確組合處最低：(VaR_c, ES_c) = arg min over (v,e) of E[S_c(v,e;L)]。在相關條件下，最低點是唯一的。分數結合是否越過 VaR 界線的資訊、實際尾部損失及 ES 預測。以正損失的上尾定義來說，ES 不應低於 VaR。

Fissler–Ziegel 提出的是分數類別，而非唯一必用公式。Patton、Ziegel 和 Chen 將此結果用於動態 VaR–ES 預測的建模及比較 (Patton, Ziegel, and Chen, 2019)。常見成員 FZ0 以收益率下尾定義表示：Y = −L、α = 1−c，而且負預測 e ≤ v < 0： S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1。 這個公式依賴收益率正負號和上述負值假設。它不適用於所有正損失數據，也不代表所有聯合分數。請記錄所選分數，並確認其假設符合數據和預測定義。

對模型 m，逐一計算預測–結果組合的聯合分數，再求平均：mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t)。若採用相同的 admissible 分數、日期、目標和定義，平均分較低代表按該規則的相對表現較好。分數不是機率、VaR 金額或金錢損失估算；數值尺度取決於所選分數。

比較 A 和 B 時，構造 d_t = S_A,t − S_B,t。平均差為負代表所選分數較支持 A。由於兩個預測面對同一實際結果，配對差異比比較分別四捨五入的平均值更有資訊。不過，尾部觀察值很少時，差異仍可能有很大不確定性。

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請使用相同的預測起點、投資組合或目標、期限、置信水平和數據版本。預測必須在結果出現前記錄。若期限重疊或分數差有序列相關，不確定性計算須反映這種依賴。請報告合適的標準誤或區間；微小的原始差異本身不代表結果可靠。

一種看似簡單的方法，是把 VaR pinball 損失加上 ES 預測與代理值之間的絕對誤差。但第二項未必是有效的 ES 分數，任意加權總和亦不保證聯合一致性。FZ 分數的設計目標，是讓整個預測組合共同對應 VaR–ES 泛函。若權重或轉換失去這項性質，評估的問題也會改變。

Fissler–Ziegel 類別包括多種敏感度和尺度不同的分數，不同分數之間的差異不能直接比較。Patton、Ziegel 和 Chen 討論分數設計，以及額外正負號假設下 FZ0 的尺度特性；這不代表 FZ0 在所有情況都是最佳選擇。應在查看排名前選定並公布規則。

預測組合亦很重要。數值上看似合理的 ES 預測，可能與配對的 VaR 不一致。反過來，聯合分數表現良好亦不能證明整個條件分佈正確。評估的只是所選分數和評估設計下的 VaR–ES 泛函。

VaR 例外指標是二元值：若 L_t 超過 VaR 預測，I_t = 1，否則為 0。兩個模型的例外數量和時間可以相同，但超過門檻的損失幅度可能相差很大。四次突破並不能說明損失只是稍微超過，還是遠高於 VaR。單純計算次數會失去 ES 所要描述的尾部嚴重程度。

聯合分數會將 VaR 門檻、ES 預測和實際損失一併考慮，因此尾部損失幅度可能在命中次數之外影響分數。每項觀察的實際影響由所選分數決定。不要只憑單一極端損失判斷勝者；應在完整共同樣本上計算分數並檢查敏感度。

以評分比較預測，與檢查 VaR 例外頻率並非同一回事。聯合分數回答哪個預測組合按共同規則表現較好，但它不是完整的校準證明。

Kupiec 類 VaR 檢定會把例外數量與目標比率比較；Christoffersen 類延伸方法還會檢查依賴或群聚。由於每項結果只記作命中或未命中，這些檢定不會量度超出 VaR 的損失幅度，也不會直接驗證 ES 預測。VaR 與 Expected Shortfall 指南說明例外次數為何忽略尾部嚴重程度。

聯合評分用於相對預測比較；回測則詢問預測在指定程序下是否充分校準。Acerbi 和 Szekely 提出非參數 ES 回測，並指出 elicitability 對模型選擇有用，但不是測試風險指標的先決條件 (Acerbi and Szekely, 2014)。Bayer 和 Dimitriadis 後來以 VaR–ES 聯合結構發展迴歸式 ES 回測，各種方法都有自己的假設和協方差要求 (Bayer and Dimitriadis, 2022)。分數排名不能取代專門回測；未能拒絕虛無假設，也不代表預測組合準確。

應把分數差的時間序列視作數據。若是沒有重疊的一步預測，而且依賴假設合適，可以考慮對平均差進行配對檢定。若有序列相關或期限重疊，應採用能反映依賴的推斷方式，例如長期變異數估計或區塊重抽樣。除了 p 值，也要交代方法及頻寬或區塊規則。

在查看排名前，先固定分數、尾部水平、期限、評估日期和模型集合。嘗試多個分數、時間窗、資產或預測版本，然後只公布最好結果，會帶來選擇效應。如有可能，保留較後期數據作評估，並披露候選方案的篩選方法。一般不確定性計算不會自動修正這種搜尋。

請一併報告平均分、配對差異及不確定性、分數定義、VaR–ES 定義、共同樣本外日期和尾部觀察數。若合理的分數或期間選擇會改變排名，應展示敏感度。

高置信水平下尾部觀察值很少，即使時間序列很長，模型排名仍可能不穩定。條件異方差、制度轉變、重疊回報、估計誤差、數據問題和投資組合變化，均可能影響分數差。共同 elicitability 不會消除這些問題；它是在數學條件下提供有原則的分數類別。

請檢查實際損失是否對應相同投資組合、期限、估值方法和正負號；VaR 和 ES 是否使用相同尾部機率；預測是否在結果前產生；以及分數是否符合本身假設。報告樣本長度、尾部觀察數、分數公式、配對不確定性方法，以及任何分數或模型搜尋。結論只適用於這個設計。

較低的聯合分數，是在特定 proper scoring rule 下相對預測表現較好的證據。它不證明模型涵蓋每個尾部事件、風險估算安全，或未來會與樣本相似。本文提供統計說明，並非投資建議。