金融事件取樣中的 CUSUM 濾波器詳解

按固定時間間隔取樣，市況平靜與大幅波動的時段可能取得相同數量的樣本。事件取樣只保留達到預定價格變動條件的時點，讓研究集中分析累積移動出現之後的資料。改變取樣時間軸，不代表已經找到交易機會。

Page 於 1954 年討論持續監察時使用的累積和方案；金融機器學習中的 CUSUM 濾波器，則把「持續累積偏差，達到門檻便發出事件」的概念套用在價格變動上。Page 的論文和 《Advances in Financial Machine Learning》第 2 章提供方法背景。mlfinpy 的過濾文件說明如何選出供其後標籤或建模使用的事件時點。

過濾器與之後的工作要分開看：它決定何時開始觀察；特徵和模型決定使用甚麼資訊；標籤規則才描述事件之後的結果。每支 K 線都建立一個預測樣本，與只在事件觸發時建立樣本，是兩種不同的取樣問題。

令 (P_t) 為時點 (t) 的收市價，相鄰收市價的對數回報為：

\[ r_t=\ln(P_t/P_{t-1}). \]

令 (S^+_t) 及 (S^-_t) 分別表示非負的正向累積值與非正的負向累積值：

\[ S^+_t=\max(0,S^+_{t-1}+r_t),\qquad S^-_t=\min(0,S^-_{t-1}+r_t). \]

若採用對稱門檻 (h>0)，本文採用嚴格觸發條件：(S^+_t>h) 或 (S^-_t<-h) 時記錄事件，並把觸發一側重設為零。另一側按自己的遞迴繼續更新；記錄事件不等於不分兩側把所有狀態一併清零。

濾波器的輸出通常是事件時間戳或事件所在的收市行。它不是每個事件的方向標籤，也不是價格目標。實作亦可使用隨時間變動的 (h_t)；無論門檻固定或動態，累積值與門檻必須使用相同的回報單位。

假設收市價依次為 100.00、100.20、100.40、100.60、100.40、100.20、100.00，並設定 (h=0.005) 個對數回報單位。以下數字純粹用來說明規則，並非實際市場行情或成交紀錄。

首三段正向對數回報約為 0.001998、0.001994、0.001992。三段方向相同，至 100.60 時正向總量為

\[ \ln(100.60/100.00)=0.005982\text{（約 }0.598\%\text{）}. \]

這個數值高於 0.005，因此 100.60 這個收市時點觸發正向事件，之後把 (S^+) 設回零。價格其後回落，向下累積由重設後的狀態開始；由 100.60 跌至 100.00 的總對數變化為

\[ \ln(100.00/100.60)=-0.005982. \]

所以 100.00 這個收市時點觸發負向事件，並重設 (S^-)。此前曾經上升，不會阻止回落後出現另一個事件。兩次事件之間有多少支 K 線，視乎實際路徑，不是固定間隔。

這裡的 (r_t) 與 (h) 都以無單位的對數回報表示。若以百分比表示，0.005 約為 0.5% 的連續複利回報幅度；它不是貨幣價格，也不能直接與不同單位的指標比較。價格變幅很小時，對數回報與簡單回報接近，但兩者並不完全相同。

教學文件有時以達到或超過門檻（(\geq h)）描述觸發；mlfinpy 目前的對稱濾波程式則採用嚴格的大於和小於（(S^+>h)、(S^-<-h)）。可同時查閱文件與實作程式。連續價格恰好落在邊界的機會可能不多，但資料經過四捨五入後，是否在剛好等於門檻時觸發，會影響結果能否重現；研究要明確選定並固定比較方式。

固定門檻簡單易重現，但在不同波動狀態下會產生不同事件密度。動態方案可以按歷史波動尺度調整 (h_t)，例如將歷史回報波動估計乘以預先選定的常數。估計必須具因果性：處理時點 (t) 的回報時，只能使用當時已經可取得的資料，並記錄估計窗口、更新頻率和門檻對應的時間。以全樣本估計波動，再倒填歷史門檻，會洩漏未來資料。動態門檻令事件間隔配合尺度變化，但不保證預測未來波動或找出最佳門檻。

(\ln(P_t/P_{t-1})) 要求兩期價格都大於零。遇到零價、負價或不適合對數回報的序列，公式沒有定義，或已失去原來的解釋。不要為了讓程式繼續執行，便暗中取價格絕對值或任意平移價格；這會改變所量度的對象。應改用合適的回報或價格變動定義，配合調整門檻、說明單位和檢查清理規則。

用來取樣的價格序列也要說明清楚：交易價、買賣中間價、結算價，還是調整後收市價？不同序列會帶來不同觸發時點。拆股造成的機械式跳價、報價缺失和時間戳錯配，也可能累積出不是市場變動的訊號。

輸入可來自每分鐘、每小時或每日收市價；CUSUM 只在觸發門檻的 K 線保留事件，相鄰事件的時間間距一般不規則。事件時間不是等速時鐘：一段時間可以沒有事件，也可能在短時間內連續出現。下游模型若使用間距、波動或持有期，應把間距當作明確變數處理，不能假定每兩個樣本等於一個固定交易日。

如 (r_t) 使用收市價，必須等收市價形成並可見，才可計算該支 K 線的回報和觸發結果。因此用該收市價偵測訊號，然後假設沒有延遲便可用同一價格成交，時序假設並不實際。回測應按資料可取得的時間安排決策，並在下一個可執行報價或成交價模擬落盤；如使用日內資料，也要交代當時可見的價格及資料與落盤延遲。

門檻較低，累積路徑較容易觸發，事件數量通常增加；這會保留更多細小波動，但也增加噪音樣本、手續費和執行工作。門檻較高，事件較少，只有較大移動才會留下，但細幅或快速反轉可能被忽略。調校門檻會改變樣本量、事件分布和重疊情況，因此不能只挑回測表現最好的一個門檻，再當作事前已知的設計。

先在訓練期間或研究設計階段決定候選門檻，再以按時間排列的樣本外區間評估事件率、事件間隔和其後任務。若試過很多門檻、資產和日期區間，應交代這個選取過程；只展示最佳結果會誇大證據。門檻沒有一個適用於所有預測目標、市場和資料頻率的通用最佳值。

驗證要保留時間次序，每一個訓練折只可用當時已知資料估計動態門檻。若其後的標籤使用多個未來時點，訓練和測試事件的結果區間可能重疊，須按標籤區間採用剔除重疊或隔離規則。評估模型亦應計入買賣差價、手續費、滑點、資金費、借貨費用和成交可行性；事件頻率愈高，成本愈可能改變淨結果。

價格事件濾波器與回歸穩定性檢驗不同。回歸 CUSUM 通常累積遞迴殘差，配合統計界限檢驗回歸係數是否穩定；它檢驗模型殘差及其假設，並非本指南對價格對數回報設定雙側門檻的事件濾波器。詳情可參閱回歸 CUSUM 結構穩定性檢驗指南。

事件濾波器同樣不會替三重障礙法建立結果標籤。先由 CUSUM 選出事件開始時間，再由研究者指定的止盈、止損和持有期限規則，按之後的價格路徑計算 (y)。可參閱三重障礙法金融事件標籤指南。觸發只表示指定的累積變動越過門檻；它不預測方向、不保證平穩或流動性，也不代表扣除交易成本後有盈利。