DCC-GARCH: परिसंपत्तियों के बदलते सहसंबंध का अनुमान कैसे लगाएँ

सहप्रसरण मैट्रिक्स केवल दीर्घकालिक संबंधों की सूची नहीं है। किसी निर्णय के समय निवेशक को उस समय तक उपलब्ध जानकारी के आधार पर हर रिटर्न का सशर्त विचरण और हर परिसंपत्ति-जोड़े का सशर्त सहप्रसरण चाहिए हो सकता है। यदि अस्थिरता और साथ-साथ होने वाली चालें समय के साथ बदलती हैं, तो पूरे नमूने से निकला एक मैट्रिक्स शांत अवधियों, तनाव की अवधियों और संभावित संरचनात्मक बदलावों को औसत कर देता है।

DCC-GARCH सशर्त सहसंबंध मैट्रिक्स को बदलने देता है और मॉडल को संक्षिप्त रखता है। Robert Engle के 2002 के शोध में dynamic conditional correlation विनिर्देश प्रस्तावित है, जो एकचर अस्थिरता मॉडल को कम-पैरामीटर सहसंबंध पुनरावृत्ति से जोड़ता है (Engle, 2002)। यह विस्तार की एक व्यावहारिक समस्या को संबोधित करता है: परिसंपत्तियाँ बढ़ने पर पूरी तरह अप्रतिबंधित सहप्रसरण मॉडल में पैरामीटर तेजी से बढ़ते हैं।

यह विधि तब उपयोगी है जब हर श्रृंखला की बदलती अस्थिरता को शामिल करने के बाद यह जानना हो कि परिसंपत्तियों के बीच सशर्त निर्भरता कैसे बदलती है। यह नहीं बताती कि परिसंपत्तियाँ साथ क्यों चलती हैं। एक श्रृंखला में समय के साथ बदलते विचरण की सरल भूमिका के लिए पढ़ें अस्थिरता क्लस्टरिंग और GARCH। FX जोड़ों के सहसंबंध को साझा एक्सपोज़र समझने की सीमाओं के लिए देखें फॉरेक्स जोड़ी सहसंबंध।

मान लें \(r_t\), \(N\) परिसंपत्तियों के रिटर्न का वेक्टर है, \(\mu_t\) उनका सशर्त माध्य है और \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) innovation है। DCC सशर्त सहप्रसरण मैट्रिक्स को इस प्रकार विघटित करता है:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

जहाँ \(\mathcal{F}_{t-1}\) समय \(t\) के प्रेक्षण से पहले उपलब्ध जानकारी है, \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) में सशर्त मानक विचलन होते हैं और \(R_t\) सशर्त सहसंबंध मैट्रिक्स है।

हर \(\sigma_{i,t}^2\) को एकचर GARCH-परिवार के समीकरण से मॉडल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

यह सीमांत मॉडल बताता है कि परिसंपत्ति \(i\) के innovation का पैमाना उसके अपने इतिहास से कैसे बदलता है। यह नहीं कहता कि परिसंपत्ति \(j\) के साथ उसका सहसंबंध भी बदलता है। इसके उलट, \(R_t\) में बदलाव अपने-आप यह नहीं बताता कि किसी परिसंपत्ति की अस्थिरता बढ़ रही है। सहप्रसरण में दोनों प्रभाव शामिल हैं:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

\(\rho_{ij,t}\) स्थिर रहने पर भी एक या दोनों परिसंपत्तियों की अस्थिरता बढ़ने से सहप्रसरण बढ़ सकता है। सीमांत अस्थिरता मॉडल करने के बाद सशर्त सहसंबंध में बचा समयगत बदलाव DCC अलग से अनुमानित करने की कोशिश करता है। यही इसे स्वतंत्र GARCH मॉडल फिट कर कच्चे रिटर्न के सहप्रसरण को स्थिर मानने से अलग करता है।

सशर्त माध्य और सीमांत विचरण फिट करने के बाद innovations को मानकीकृत किया जाता है:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

यदि सीमांत मॉडल ठीक हों, तो \(z_t\) के हर घटक का सशर्त विचरण लगभग एक होना चाहिए। फिर भी घटक एक ही समय पर एक-दूसरे पर निर्भर हो सकते हैं; उनका संयुक्त पैटर्न सहसंबंध अपडेट करने में इस्तेमाल होता है। मानकीकरण से स्वाभाविक रूप से अधिक अस्थिर परिसंपत्ति की बड़ी कच्ची चाल को दूसरी परिसंपत्ति की तुलनीय मानकीकृत चाल से अपने-आप अधिक मजबूत निर्भरता का प्रमाण नहीं माना जाता।

व्यवहार में मानकीकृत अवशेष अनुमानित मात्राएँ हैं, प्रत्यक्ष रूप से देखे गए सत्य नहीं। खराब माध्य मॉडल \(\epsilon_t\) में पूर्वानुमेय संरचना छोड़ सकता है; कमजोर अस्थिरता मॉडल \(z_t\) में बदलता पैमाना छोड़ सकता है। तब सहसंबंध चरण सीमांत मॉडल की त्रुटि को समेटकर \(R_t\) को विकृत कर सकता है। भारी tails, outliers, छूटी तारीखें, असंगत ट्रेडिंग घंटे, कॉर्पोरेट कार्रवाई और पुराने भाव भी इनपुट अवशेषों को प्रभावित करते हैं।

Engle और Sheppard दो-चरणीय तरीका बताते हैं: पहले हर परिसंपत्ति का एकचर GARCH मॉडल फिट करें, फिर उसके मानकीकृत अवशेषों से सहसंबंध पैरामीटर अनुमानित करें (Engle and Sheppard, 2001)। सीमांत फिट अलग करने से गणना सरल होती है। इसका अर्थ यह भी है कि दूसरे चरण का परिणाम पहले चरण के विनिर्देशों और इनपुट श्रृंखलाओं के समय-संरेखण पर निर्भर है।

मानक DCC पहले सहायक मैट्रिक्स \(Q_t\) अपडेट करता है:

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) मानकीकृत innovations का दीर्घकालीन मैट्रिक्स है। \(a\) बताता है कि हाल की संयुक्त चालें अपडेट को कितना प्रभावित करती हैं और \(b\) पिछले \(Q\) की स्थिरता को नियंत्रित करता है। प्रचलित scalar standard-DCC विनिर्देश में गैर-ऋणात्मक \(a,b\) और \(a+b<1\), साथ में positive-definite \(\bar Q\) और उचित आरंभीकरण, सामान्य पुनरावृत्ति को positive definite बनाए रखते हैं। फिर भी सख्त स्थिरता और वैध inference पूरे मॉडल व उसकी मान्यताओं पर निर्भर करते हैं। ये शर्तें चुने गए विनिर्देश की हैं, हर variant की सार्वभौमिक गारंटी नहीं।

\(Q_t\) के विकर्ण तत्व आम तौर पर एक नहीं होते, इसलिए \(Q_t\) स्वयं सहसंबंध मैट्रिक्स नहीं है। \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) रखें और सामान्यीकृत करें:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

इससे विकर्ण एक हो जाता है और बाकी तत्व इकाई-रहित सशर्त सहसंबंध बनते हैं। इसके बाद \(H_t=D_tR_tD_t\) सशर्त सहप्रसरण देता है। \(Q_t\), \(R_t\) और \(H_t\) को अलग रखने से एक सामान्य व्याख्यात्मक गलती बचती है: पुनरावृत्ति सहायक निर्भरता मैट्रिक्स अपडेट करती है, सामान्यीकरण सहसंबंध बनाता है और सीमांत मानक विचलन उसे रिटर्न के पैमाने पर लौटाते हैं। Engle (2002) की विधि में यह सामान्यीकरण केंद्रीय है।

<!-- learn:illustration --> <!-- बिना शब्दों का वैचारिक चित्र: अलग-अलग चौड़ाई वाले अस्थिरता आवरणों वाली रिटर्न धाराएँ धीरे बदलती साझा निर्भरता-पट्टी में मिलती हैं; यह केवल अवधारणा है, बाजार डेटा या पूर्वानुमान नहीं। -->

आम दो-चरणीय कार्यान्वयन में पहले हर परिसंपत्ति का सशर्त माध्य और एकचर GARCH-परिवार का विचरण फिट किया जाता है। उनसे \(z_t\) निकालकर likelihood या quasi-likelihood के सहसंबंध भाग से DCC पैरामीटर अनुमानित किए जाते हैं। पहली अवस्था में Gaussian likelihood का उपयोग तब भी quasi-maximum likelihood के रूप में किया जा सकता है जब रिटर्न Gaussian न हों, बशर्ते उपयुक्त regularity conditions पूरी हों। लेकिन standard errors और inference वास्तविक estimator तथा उसकी मान्यताओं से मेल खाने चाहिए।

यह विभाजन पूरा अप्रतिबंधित बहुचर GARCH सिस्टम एक साथ अनुमानित करने की तुलना में गणना के लिहाज़ से आकर्षक है। इससे चरणों के बीच निर्भरता भी बनती है: सीमांत पैरामीटर की अनिश्चितता मानकीकृत अवशेषों और इसलिए दूसरे चरण के अनुमान को प्रभावित करती है। अनुमानित \(a\) या \(b\) किसी अपरिवर्तनीय बाजार स्थिरांक का सीधा माप नहीं है। उसका अर्थ नमूने, सीमांत मॉडल, आरंभीकरण, वितरण संबंधी मान्यताओं और सहसंबंध गतिशीलता की स्थिरता पर निर्भर करता है।

\(\bar Q\) अक्सर मानकीकृत अवशेषों के नमूना सहप्रसरण से अनुमानित होता है, लेकिन सटीक परिभाषा और सुधार अलग हो सकते हैं। कार्यान्वयन को बताना चाहिए कि \(\bar Q\) कैसे अनुमानित हुआ, \(Q_0\) कैसे आरंभ किया गया, लापता प्रेक्षणों को कैसे संभाला, कौन-सी बाधाएँ लगाईं और likelihood कैसे निकाला। \(a+b=1\) के पास optimization, लगभग singular \(\bar Q\), या बहुत बड़ा परिसंपत्ति समूह संख्यात्मक अस्थिरता ला सकता है। Convergence diagnostics रिपोर्ट करें और उचित वैकल्पिक सीमांत विनिर्देशों व windows के प्रति संवेदनशीलता जाँचें।

अनियमित समय वाली transactions के लिए, सोच-समझकर sampling design बनाए बिना मानक DCC के synchronized returns अनुपयुक्त हो सकते हैं। अलग-अलग समय पर हुए प्रेक्षणों के लिए दूसरा estimator चाहिए हो सकता है; देखें Hayashi–Yoshida सहप्रसरण मार्गदर्शिका। शोरयुक्त covariance target को shrink करना, जैसे Ledoit–Wolf सहप्रसरण shrinkage, अलग चरण है; इसे DCC की गतिशील सहसंबंध पुनरावृत्ति न समझें।

दो मानकीकृत innovations और एक काल्पनिक DCC अपडेट लें। \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), और \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\) रखें। ये इनपुट सिर्फ गणित दिखाने के लिए गढ़े गए हैं; ये बाजार डेटा से अनुमान नहीं हैं। विकर्ण के बाहर वाले तत्व का अपडेट:

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

सामान्यीकरण दिखाने के लिए मान लें कि गढ़े गए विकर्ण मान \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) और \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\) हैं। वही पुनरावृत्ति देती है:

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

इसलिए सामान्यीकृत सहसंबंध है:

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

सहायक विकर्ण-बाहरी मान 0.30 से 0.35 हुआ, जबकि रिपोर्ट किया गया सहसंबंध लगभग 0.34 है क्योंकि \(Q_t\) का विकर्ण भी बदला। सामान्यीकरण के बिना \(q_{12,t}=0.35\) को सहसंबंध बताना आवश्यक चरण छोड़ देता है। यह गणना पुनरावृत्ति का केवल एक चरण दिखाती है; इससे सांख्यिकीय महत्व, भविष्य की स्थिरता, इष्टतम पोर्टफोलियो weights या ट्रेडिंग मूल्य साबित नहीं होता।

मानक DCC प्रायः हर जोड़े पर समान scalar response और persistence पैरामीटर लागू करता है। कई परिसंपत्तियों में इससे पैरामीटर कम रहते हैं, पर अलग जोड़ों की समायोजन गति अलग हो तो यह बहुत कड़ा प्रतिबंध हो सकता है। DCC नाम के तहत parameterization, constraints, estimation पद्धति और initialization भी अलग हो सकते हैं। इसलिए सटीक विनिर्देश बताना चाहिए।

Aielli का corrected DCC शोध दिखाता है कि cross-section बड़ा होने पर पारंपरिक DCC estimator और उसके सहसंबंध पैरामीटर की व्याख्या में समस्या हो सकती है; इसमें संशोधित पुनरावृत्ति वाला cDCC प्रस्तावित है (Aielli, 2013)। cDCC, मानक DCC का दूसरा नाम नहीं है। कई परिसंपत्तियों तक विस्तार या अनुमानित coefficients की संरचनात्मक व्याख्या के लिए यह अंतर महत्वपूर्ण है।

Asymmetric generalized DCC specification दूसरी सीमा को संबोधित करती है: सकारात्मक और नकारात्मक मानकीकृत shocks भविष्य के सहसंबंधों पर अलग असर डाल सकते हैं। Cappiello, Engle और Sheppard का AG-DCC हर श्रृंखला के लिए अलग news-impact और smoothing पैरामीटर, तथा सहसंबंधों में सशर्त असममिति की अनुमति देता है (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006)। साझा scalar DCC की तुलना में AG-DCC अधिक लचीला है, इसलिए पैरामीटर संख्या, सीमाएँ और व्याख्या भी बदलती हैं। मूल्यांकन के बिना इसे चुपचाप मानक DCC की जगह न रखें और न ही इसे श्रेष्ठ मान लें।

फिट किया गया \(R_t\), चुनी गई data frequency, नमूना अवधि, माध्य विनिर्देश, सीमांत अस्थिरता मॉडल और DCC variant के अनुसार मॉडल-निहित सशर्त सहसंबंध बताता है। यह कारणात्मक spillover की पहचान नहीं करता। गिरावट के दौरान अनुमानित सहसंबंध बढ़े तो वजह साझा खबरें, परिसंपत्ति संरचना में बदलाव, liquidity, अस्थिरता मॉडल का गलत विनिर्देश या अन्य तंत्र हो सकते हैं; केवल अनुमान इन्हें अलग नहीं कर सकता।

जोखिम मापन के लिए गतिशील सहप्रसरण पूर्वानुमान को उपयुक्त benchmarks से तुलना करें, जैसे rolling sample covariance या constant-correlation मॉडल। हर forecast origin पर केवल उस समय उपलब्ध जानकारी लें, परिसंपत्ति समूह और horizon समान रखें, और loss function बताएं। पोर्टफोलियो में उपयोग हो तो weights, concentration, turnover, financing और transaction costs पर आगे के असर भी देखें। किसी खास जोखिम मॉडल में अधिक सहसंबंध diversification घटा सकता है, लेकिन यह किसी परिसंपत्ति की कीमत गिरने का पूर्वानुमान नहीं है।

जाँचें कि अनुमानित सहसंबंध वैध सीमाओं में हों, \(R_t\) positive definite रहे और मानकीकृत सीमांत अवशेषों में serial dependence या बदलता विचरण न बचा हो। परिसंपत्ति समूह, initialization, outliers, window और model variant के प्रति sensitivity देखें। एक के पास persistence होने पर structural break के प्रति प्रतिक्रिया धीमी हो सकती है; सहज पुनरावृत्ति अचानक regime shift से पीछे भी रह सकती है। चयन के नियम तय करें और सुविधाजनक pair plots या variants ही चुनने के बजाय out-of-sample तुलना बनाए रखें।

DCC-GARCH को संक्षिप्त सशर्त सहप्रसरण मॉडल की तरह समझना बेहतर है: सीमांत समीकरण बदलते पैमाने का अनुमान लगाते हैं, निर्भरता पुनरावृत्ति मानकीकृत innovations की संयुक्त चाल पकड़ती है, और सामान्यीकरण सहायक मैट्रिक्स को सहसंबंधों में बदलता है। मान्यताएँ स्पष्ट हों और पूर्वानुमान का मूल्यांकन किया गया हो तो यह मैट्रिक्स जोखिम विश्लेषण में सहायक है। अपने-आप यह स्थिर hedge साबित नहीं करता, किसी shock का कारण नहीं बताता या रणनीति के लाभ की पुष्टि नहीं करता।