ניקוד משותף ל־VaR ול־ES: הערכת תחזיות לפי Fissler–Ziegel

נסמן ב־L_t הפסד, כך שערך גדול יותר גרוע, וב־c רמת ביטחון, למשל 97.5%. הקוונטיל המותנה v(c,t) הוא ערך x הקטן ביותר שעבורו F(L_t ≤ x | מידע עד t−1) מגיע ל־c. בהגדרת הפסדים בזנב העליון, ES הוא e(c,t) = [1/(1−c)] כפול האינטגרל של v(u,t) מ־c עד 1, כל עוד ממוצע הזנב סופי. בהתפלגות רציפה זהו ההפסד הממוצע מעבר לסף VaR. אם קיימת מסה בסף, הגדרת האינטגרל לפי קוונטילים כוללת את החלק הדרוש ממנה.

יש להשתמש באותה מוסכמת סימנים שבה חושבו התחזיות. מאמרים מסוימים מגדירים VaR ו־ES בזנב התחתון של התשואות, לרוב בערכים שליליים, וכותבים את הסתברות הזנב α = 1−c. בהגדרת הפסד חיובי, אותו סיכון נמצא בזנב העליון ו־ES אינו קטן מ־VaR. ערבוב מוסכמות עלול להפוך אי־שוויונות וסימוני חריגה. ציינו סימן, רמת ביטחון, אופק והאם התחזית מותנית במידע שהיה זמין לפני התוצאה.

לקוונטיל יש ציון pinball עקבי בהחלט. עבור הפסד L וקוונטיל c שלו, v, ציון VaR אחד הוא S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L). בתנאים המקובלים לקוונטילים, התוחלת של הציון מינימלית בקוונטיל היעד. לכן אפשר להעריך את VaR לבדו.

לעומת זאת, במחלקות הרחבות של התפלגויות הפסד המשמשות לניהול סיכונים אין ציון עקבי בהחלט מקביל שמאליץ את ES לבדו. הטענה מתייחסת לתחזית נקודתית עצמאית שהציון הצפוי שלה בוחר באופן יחיד ב־ES. אין פירושה ש־ES חסר משמעות, שאי אפשר לבדוק אותו, או שלא ניתן להשוות אותו כחלק מתחזית רחבה יותר.

Fissler ו־Ziegel מבססים את ההבחנה: ES אינו אליץ לבדו במובן זה, אך הזוג (VaR, ES) ניתן לאליצה משותפת בתנאי סדירות ומומנטים מתונים. מאמרם מ־2016 מציג תנאים למחלקות רחבות של ציונים עקביים בהחלט (Fissler and Ziegel, 2016). אליצות משותפת פירושה שפונקציית ניקוד אחת מקבלת את שתי התחזיות ואת התוצאה בפועל. חיבור שרירותי של שני הפסדים אינו יוצר ציון ES תקף.

נסמן ב־S_c(v,e;L) ציון משותף קביל ברמת c. עקביות בהחלט פירושה שתוחלת הציון תחת התפלגות היעד ממוזערת בזוג הנכון: (VaR_c, ES_c) = arg min על (v,e) של E[S_c(v,e;L)]. בתנאים המתאימים המינימום יחיד. הציון משלב מידע על חציית סף VaR עם גודל ההפסד בזנב ותחזית ES. בהפסדים חיוביים, ES לא אמור להיות קטן מ־VaR.

Fissler–Ziegel מגדירים מחלקת ציונים, לא נוסחה יחידה שחייבים להשתמש בה. Patton, Ziegel ו־Chen מיישמים את התוצאה למידול דינמי ולהשוואת תחזיות VaR–ES (Patton, Ziegel, and Chen, 2019). איבר נפוץ, FZ0, נכתב לפי מוסכמת תשואות בזנב התחתון Y = −L, α = 1−c ותחזיות שליליות e ≤ v < 0: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1. הביטוי תלוי בסימני התשואה ובהנחות השליליות האלה; אין להציבו ישירות בכל נתון הפסד חיובי או בכל ציון משותף. תעדו את הציון שנבחר ובדקו שהנחותיו מתאימות לנתונים ולמוסכמת התחזיות.

למודל m מחשבים ציון משותף לכל זוג תחזית–תוצאה ואז את הממוצע: mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t). כאשר משתמשים באותו ציון קביל, אותן תאריכים, יעד ומוסכמות, ממוצע נמוך יותר מצביע על ביצועים יחסיים טובים יותר לפי אותו כלל. הציון אינו הסתברות, סכום VaR או אומדן של הפסד כספי; הסקאלה תלויה בכלל שנבחר.

להשוואה מזווגת בין A ל־B הגדירו d_t = S_A,t − S_B,t. ממוצע שלילי מעדיף את A לפי הציון הנבחר. מכיוון ששתי התחזיות נבדקות מול אותה תוצאה, ההפרש המזווג מועיל יותר מהשוואת ממוצעים שעוגלו בנפרד, אך הוא עדיין עלול להיות רועש כשיש מעט תצפיות זנב.

<!-- learn:illustration -->

השוו תחזיות באותם מועדי מקור, אותו תיק או יעד, אותו אופק, אותה רמת ביטחון ואותה גרסת נתונים. יש לרשום תחזיות לפני שהתוצאות נחשפות. אם האופקים חופפים או שההפרשים תלויים סדרתית, חישוב אי־הוודאות חייב להתחשב בכך. דווחו שגיאת תקן או רווח מתאים; פער גולמי קטן אינו מובהק מעצמו.

אפשר להתפתות לחבר הפסד pinball של VaR להפרש מוחלט בין תחזית ES לערך מקורב. ייתכן שהאיבר השני אינו ציון ES תקף, וסכום משוקלל שרירותי אינו מבטיח עקביות משותפת. ציון FZ בנוי כדי שהזוג כולו יכוון לפונקציונל VaR–ES. שינוי משקולות או טרנספורמציות בלי תכונה זו משנה את השאלה שנבדקת.

במחלקת Fissler–Ziegel יש ציונים רבים עם רגישויות וסקאלות שונות, ולכן אין להשוות ישירות הפרשים מציונים שונים. Patton, Ziegel ו־Chen דנים בעיצוב ציונים וב־FZ0, לרבות תכונות סקאלה בתנאי סימן נוספים; אין בכך להפוך את FZ0 לטוב ביותר תמיד. בחרו ודווחו על הציון מראש.

גם זוג התחזיות חשוב: תחזית ES שנראית סבירה מספרית עלולה שלא להתאים ל־VaR המשויך אליה. מנגד, ציון טוב לזוג אינו מוכיח שכל ההתפלגות המותנית נכונה. הציון מעריך את הפונקציונל שנקבע לפי הכלל והעיצוב הנבחרים.

מדד חריגת VaR בינארי: I_t = 1 אם L_t גדול מתחזית VaR, ואחרת 0. לשני מודלים יכולים להיות אותו מספר ואותם מועדי חריגות, בעוד שגודל ההפסדים מעבר לסף שונה מאוד. ספירה של ארבע חריגות אינה אומרת אם הן חרגו מעט או בהרבה. ספירת אירועים לבדה אינה מתעדת את חומרת החריגה, שהיא חלק מהמידע ש־ES נועד לתאר.

ציון משותף משתמש בסף, בתחזיות ES ו־VaR ובהפסד בפועל, ולכן גודל הפסדי הזנב עשוי להשפיע מעבר למספר החריגות. הציון המסוים קובע את התרומה המדויקת. אל תכריזו על מנצח לפי אירוע קיצון יחיד: חשבו את הציון על כל המדגם המשותף ובחנו רגישות.

ניקוד להשוואת תחזיות אינו אותו תרגיל כמו בדיקת תדירות החריגות של VaR. הוא משיב איזו תחזית זוגית תפקדה טוב יותר לפי כלל משותף; הוא אינו תעודת כיול מלאה.

מבחן Kupiec משווה את מספר חריגות VaR לשיעור היעד; הרחבות Christoffersen בודקות גם תלות או התקבצות בזמן. מאחר שהן מצמצמות כל תוצאה לפגיעה או אי־פגיעה, הן אינן מודדות את גודל ההפסד מעבר ל־VaR ואינן מאמתות ES ישירות. המדריך VaR ו־Expected Shortfall מסביר מדוע ספירת חריגות מחמיצה את חומרת הזנב.

ניקוד משותף תומך בהשוואה יחסית בין תחזיות, ואילו backtesting שואל אם תחזית מכוילת לפי הליך מסוים. Acerbi ו־Szekely הציעו בדיקות ES לא־פרמטריות והדגישו שאליצות חשובה לבחירת מודל, אך אינה תנאי מוקדם לבדיקת מדד סיכון (Acerbi and Szekely, 2014). Bayer ו־Dimitriadis פיתחו בדיקות ES מבוססות רגרסיה הנשענות על מבנה VaR–ES משותף; לגרסאותיהן הנחות ודרישות שונות לגבי שונות משותפת (Bayer and Dimitriadis, 2022). דירוג ציונים אינו תחליף לבדיקה ייעודית, ואי־דחיית השערה אינה הוכחה לתחזית מדויקת.

התייחסו לסדרת הפרשי הציונים כאל נתונים. בתחזיות צעד אחד ללא חפיפה ובהנחות תלות מתאימות אפשר לשקול מבחן מזווג לממוצע ההפרש. בתלות סדרתית או באופקים חופפים יש להשתמש בהסקה שתואמת לתלות, כגון אומדן שונות ארוכת־טווח או דגימה חוזרת בבלוקים. ציינו שיטה, רוחב פס או כלל בלוקים, ולא רק ערך p.

קבעו מראש ציון, רמת זנב, אופק, תקופת הערכה ומודלים. ניסיון של ציונים, חלונות, נכסים או גרסאות רבים ודיווח על הטוב ביותר בלבד יוצר הטיית בחירה. אם אפשר, שמרו תקופה מאוחרת להערכה ודווחו כיצד סוננו החלופות. אי־הוודאות המדווחת אינה מתקנת חיפוש כזה אוטומטית.

דווחו ממוצעים והפרש מזווג עם אי־ודאות, הגדרת הציון, מוסכמות VaR ו־ES, תאריכי המדגם מחוץ למדגם ומספר תצפיות הזנב. אם הדירוג משתנה לפי בחירת ציון או תקופה סבירה, הציגו את הרגישות.

רמות ביטחון גבוהות משאירות מעט תצפיות זנב, ולכן דירוג המודלים עלול להיות לא יציב גם בסדרה ארוכה. הטרוסקדסטיות מותנית, שינויי משטר, תשואות חופפות, שגיאת אמידה, בעיות נתונים ושינויים בתיק משפיעים על ההפרשים. אליצות משותפת מספקת מחלקת ציונים עקרונית בתנאים מתמטיים, אך אינה מעלימה את הבעיות האלה.

בדקו שההפסד בפועל תואם לתיק, לאופק, לשיטת הערכת השווי ולסימן בתחזית; ש־VaR ו־ES משתמשים באותו זנב; שהתחזיות נמסרו מראש; ושהציון עומד בהנחותיו. דווחו אורך מדגם, מספר הפסדי זנב, נוסחת הציון, הליך אי־הוודאות וכל חיפוש שבוצע. המסקנה מותנית בעיצוב הזה.

ציון משותף נמוך יותר הוא ראיה לביצועי תחזית יחסיים טובים יותר תחת כלל ניקוד מסוים. הוא אינו מוכיח שהמודל מכסה כל אירוע זנב, שאומדן הסיכון בטוח, או שהתוצאות העתידיות יהיו דומות למדגם. זהו חומר סטטיסטי ולא ייעוץ השקעות.