DCC-GARCH : estimer les corrélations variables entre actifs

Une matrice de covariance ne se résume pas à une liste de relations de long terme. À un moment donné, un investisseur peut avoir besoin de la variance conditionnelle de chaque rendement et de la covariance conditionnelle de chaque paire d’actifs, compte tenu des informations disponibles à cet instant. Si la volatilité et les mouvements conjoints changent, une matrice estimée sur tout l’échantillon mélange les périodes calmes, les périodes de tension et les ruptures éventuelles.

DCC-GARCH permet à la matrice de corrélation conditionnelle d’évoluer tout en gardant un modèle parcimonieux. L’article de Robert Engle publié en 2002 propose une spécification de corrélation conditionnelle dynamique qui combine des modèles univariés de volatilité et une récurrence de corrélation comportant peu de paramètres (Engle, 2002). Cette approche répond à un problème pratique d’échelle : un modèle de covariance entièrement non contraint demande de plus en plus de paramètres à mesure que l’univers d’actifs s’élargit.

La méthode est utile si l’on cherche à savoir comment évolue la dépendance conditionnelle entre actifs après avoir tenu compte de la volatilité variable propre à chaque série. Elle n’explique pas pourquoi les actifs évoluent ensemble. Pour une première approche de la variance variable dans une seule série, consultez les grappes de volatilité et GARCH. Sur les corrélations des paires de devises et les limites d’une interprétation en exposition commune, consultez la corrélation des paires de forex.

Soient \(r_t\) le vecteur des rendements de \(N\) actifs, \(\mu_t\) leur moyenne conditionnelle et \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) l’innovation. DCC décompose la matrice de covariance conditionnelle ainsi :

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

où \(\mathcal{F}_{t-1}\) désigne les informations disponibles avant l’observation au temps \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) contient les écarts-types conditionnels, et \(R_t\) est la matrice de corrélation conditionnelle.

Chaque \(\sigma_{i,t}^2\) peut être modélisée par une équation univariée de la famille GARCH, par exemple :

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Ce modèle marginal décrit comment l’échelle de l’innovation de l’actif \(i\) évolue selon son propre historique. Il n’implique pas que sa corrélation avec l’actif \(j\) varie aussi. Inversement, une variation de \(R_t\) ne signifie pas à elle seule que la volatilité de l’un ou l’autre actif augmente. La covariance combine ces deux effets :

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

La covariance peut augmenter si la volatilité d’un seul actif ou des deux monte, même si \(\rho_{ij,t}\) reste constante. DCC cherche à estimer séparément la variation restante de la corrélation conditionnelle après modélisation des volatilités marginales. C’est ce qui le distingue d’estimations GARCH indépendantes suivies d’une covariance des rendements bruts considérée comme fixe.

Après l’estimation des moyennes conditionnelles et des variances marginales, on calcule les innovations standardisées :

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Si les modèles marginaux sont adaptés, la variance conditionnelle de chaque composante de \(z_t\) devrait être proche de un. Les composantes peuvent toutefois rester dépendantes au même instant : leur configuration conjointe sert à actualiser les corrélations. La standardisation évite qu’un grand mouvement brut d’un actif naturellement très volatil soit automatiquement considéré comme une preuve de dépendance plus forte qu’un mouvement standardisé comparable ailleurs.

En pratique, les résidus standardisés sont des quantités estimées, pas des vérités observées directement. Un modèle de moyenne inadéquat peut laisser une structure prévisible dans \(\epsilon_t\), tandis qu’un modèle de volatilité inadéquat peut laisser une échelle variable dans \(z_t\). L’étape de corrélation risque alors d’absorber les erreurs des modèles marginaux et de déformer \(R_t\). Les queues épaisses, les valeurs aberrantes, les dates manquantes, les horaires de négociation désynchronisés, les opérations sur titres et les prix périmés affectent aussi les résidus utilisés.

Engle et Sheppard décrivent une approche en deux étapes : estimer les modèles GARCH univariés, puis les paramètres de corrélation à partir de leurs résidus standardisés (Engle and Sheppard, 2001). La séparation des modèles marginaux facilite les calculs. Elle signifie aussi que le résultat de la seconde étape dépend des spécifications de la première et de l’alignement temporel des séries.

Le DCC standard actualise d’abord une matrice auxiliaire \(Q_t\) :

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) est une matrice de long terme des innovations standardisées. \(a\) règle le poids des mouvements conjoints récents dans l’actualisation et \(b\) leur persistance à travers \(Q\). Dans la spécification scalaire usuelle du DCC standard, des \(a,b\) non négatifs tels que \(a+b<1\), avec une \(\bar Q\) définie positive et une initialisation appropriée, maintiennent la récurrence habituelle définie positive. La stationnarité stricte et la validité de l’inférence dépendent toujours du modèle complet et de ses hypothèses. Ces contraintes s’appliquent à la spécification retenue et ne garantissent pas toutes les variantes.

Les éléments diagonaux de \(Q_t\) ne valent généralement pas un : \(Q_t\) n’est donc pas en soi une matrice de corrélation. Posons \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\), puis normalisons :

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

La diagonale vaut alors un et les éléments hors diagonale deviennent des corrélations conditionnelles sans unité. La covariance conditionnelle est ensuite \(H_t=D_tR_tD_t\). Distinguer \(Q_t\), \(R_t\) et \(H_t\) évite une confusion fréquente : la récurrence actualise une matrice auxiliaire de dépendance, la normalisation produit les corrélations, et les écarts-types marginaux les ramènent à l’échelle des rendements. Cette normalisation est au cœur de la méthode d’Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Illustration conceptuelle sans texte : des séries de rendements aux enveloppes de volatilité distinctes convergent vers un ruban commun de dépendance qui évolue doucement ; aucun chiffre de marché ni prévision. -->

Dans une implémentation courante en deux étapes, on ajuste d’abord une moyenne conditionnelle et une variance de la famille GARCH univariée pour chaque actif. On calcule ensuite \(z_t\), puis on estime les paramètres DCC à partir de la composante de corrélation d’une vraisemblance ou quasi-vraisemblance. Une vraisemblance gaussienne peut servir à une estimation par quasi-maximum de vraisemblance dans la première étape même si les rendements ne sont pas gaussiens, sous des conditions de régularité adaptées. Les erreurs-types et l’inférence doivent néanmoins correspondre à l’estimateur réellement utilisé et à ses hypothèses.

Cette décomposition est intéressante en calcul par rapport à l’estimation d’un système GARCH multivarié non contraint complet. Elle crée aussi une dépendance entre étapes : l’incertitude des paramètres marginaux affecte les résidus standardisés, donc la seconde estimation. Une estimation de \(a\) ou \(b\) ne mesure pas directement une constante de marché immuable. Son interprétation dépend de l’échantillon, des modèles marginaux, de l’initialisation, des hypothèses de distribution et de la stabilité des dynamiques de corrélation.

\(\bar Q\) est souvent estimée par la covariance empirique des résidus standardisés, mais les définitions et corrections exactes varient. L’implémentation doit préciser l’estimation de \(\bar Q\), l’initialisation de \(Q_0\), le traitement des observations manquantes, les contraintes et le calcul de la vraisemblance. Une optimisation près de \(a+b=1\), une \(\bar Q\) presque singulière ou un univers d’actifs trop vaste peut provoquer une instabilité numérique. Présentez les diagnostics de convergence et vérifiez la sensibilité à des modèles marginaux et fenêtres alternatifs raisonnables.

Pour des transactions irrégulières dans le temps, les rendements synchronisés du DCC standard ne conviennent pas toujours sans plan d’échantillonnage explicite. Un autre estimateur peut être nécessaire pour des observations asynchrones ; consultez le guide de covariance de Hayashi–Yoshida. La réduction du bruit d’une cible de covariance, par exemple par le rétrécissement de covariance de Ledoit–Wolf, est une étape distincte de la récurrence dynamique des corrélations de DCC.

Prenons deux innovations standardisées et une actualisation DCC fictive. Posons \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Ces valeurs sont inventées pour illustrer le calcul et ne proviennent pas d’une estimation sur données de marché. L’actualisation de l’élément hors diagonale vaut :

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Pour illustrer la normalisation, supposons que les valeurs diagonales fictives soient \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) et \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). La même récurrence donne :

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

La corrélation normalisée est donc :

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

L’élément auxiliaire hors diagonale passe de 0.30 à 0.35, alors que la corrélation rapportée vaut environ 0.34 puisque la diagonale de \(Q_t\) a également changé. Présenter \(q_{12,t}=0.35\) comme une corrélation sans cette normalisation omet une étape. Le calcul illustre une seule itération ; il ne dit rien de la significativité statistique, de la persistance future, de pondérations de portefeuille optimales ou de l’intérêt d’un trade.

Le DCC standard applique souvent les mêmes paramètres scalaires de réaction et de persistance à toutes les paires. Cela réduit le nombre de paramètres pour un grand nombre d’actifs, mais peut être trop contraignant si les paires s’ajustent à des rythmes différents. Le nom DCC recouvre aussi des paramétrages, contraintes, procédures d’estimation et initialisations différents. Il faut donc préciser la spécification employée.

Les travaux d’Aielli sur le DCC corrigé montrent que l’estimateur conventionnel et l’interprétation de ses paramètres de corrélation peuvent poser problème lorsque la dimension transversale devient grande ; ils proposent le cDCC et sa récurrence modifiée (Aielli, 2013). Le cDCC n’est pas un autre nom du DCC standard. La distinction compte notamment pour les systèmes comportant beaucoup d’actifs et l’interprétation structurelle des coefficients estimés.

Les spécifications DCC généralisées asymétriques répondent à une autre limite : les chocs standardisés positifs et négatifs peuvent avoir des effets différents sur les corrélations futures. Le modèle AG-DCC de Cappiello, Engle et Sheppard autorise des paramètres d’impact des nouvelles et de lissage propres à chaque série, ainsi que des asymétries conditionnelles des corrélations (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006). L’AG-DCC est plus flexible que la récurrence scalaire commune ; le nombre de paramètres, les contraintes et l’interprétation changent donc aussi. Il ne faut ni le substituer discrètement au DCC standard ni le supposer supérieur sans évaluation.

Un \(R_t\) estimé décrit des corrélations conditionnelles implicites au modèle, pour une fréquence de données, une fenêtre d’échantillon, une spécification de moyenne, des modèles marginaux de volatilité et une variante DCC donnés. Il n’identifie pas de propagation causale. Une hausse de la corrélation estimée en période de baisse peut venir de nouvelles communes, d’un changement de composition, de la liquidité, d’un modèle de volatilité mal spécifié ou d’autres mécanismes ; l’estimation seule ne permet pas de les distinguer.

Pour mesurer le risque, comparez la prévision de covariance dynamique à des références pertinentes, telles qu’une covariance d’échantillon glissante ou un modèle à corrélation constante. N’utilisez que l’information disponible à chaque origine de prévision, gardez le même univers d’actifs et le même horizon, et indiquez la fonction de perte. Si l’estimation sert à un portefeuille, suivez aussi les effets en aval sur les pondérations, la concentration, le turnover, le financement et les coûts de transaction. Une corrélation estimée plus élevée peut réduire la diversification dans un modèle de risque donné ; elle ne prévoit pas la baisse du cours d’un actif.

Vérifiez que les corrélations estimées restent dans leurs bornes, que \(R_t\) demeure définie positive et que les résidus marginaux standardisés ne conservent ni dépendance sérielle ni variance changeante. Testez la sensibilité à l’univers, à l’initialisation, aux valeurs aberrantes, à la fenêtre et à la variante. Une persistance proche de un peut ralentir la réaction à une rupture ; une récurrence lisse peut aussi tarder à suivre un changement de régime brusque. Définissez les critères de sélection et conservez les comparaisons hors échantillon au lieu de retenir les seuls graphiques ou modèles qui confortent une interprétation.

Il vaut mieux comprendre DCC-GARCH comme un modèle compact de covariance conditionnelle : les équations marginales estiment les échelles variables, une récurrence de dépendance suit les mouvements conjoints des innovations standardisées et la normalisation transforme la matrice auxiliaire en corrélations. Si ses hypothèses sont explicites et ses prévisions évaluées, la matrice estimée peut contribuer à une analyse du risque. À elle seule, elle ne prouve ni la stabilité d’une couverture, ni la cause d’un choc, ni la rentabilité d’une stratégie.