Der Satz vom optionalen Stoppen im Finanzwesen erklärt
Erfahren Sie, wann das Stoppen eines Martingals seinen Erwartungswert bewahrt, warum Verdopplungsstrategien scheitern und wie Stoppzeiten in die Bewertung von Barrier- und amerikanischen Optionen eingehen
Kurzantwort
Der Satz vom optionalen Stoppen sagt, wann ein bei τ gestopptes Martingal M seinen Erwartungswert behält: E[M_τ] = E[M_0]. Er bestätigt nicht jede adaptive Ausstiegsregel: Beschränktheit, gleichgradige Integrierbarkeit oder eine andere hinreichende Bedingung ist wesentlich
Eine Stoppzeit verwendet nur aktuelle Informationen
Eine Zufallszeit τ ist eine Stoppzeit, wenn das Ereignis {τ ≤ t} aus den Informationen F_t bekannt ist, die bis zum Zeitpunkt t verfügbar sind
Ein Trader kann stoppen, nachdem eine Schwelle erreicht wurde, aber τ nicht anhand des morgigen Kurses definieren und behaupten, dieser sei heute bekannt gewesen
Die Definition verhindert Look-ahead-Bias; sie garantiert jedoch nicht von selbst, dass Erwartungswerte mit einer unbeschränkten Stoppregel vertauscht werden dürfen
Stoppen erzeugt einen weiteren adaptierten Prozess
Der gestoppte Prozess ist M_{t∧τ}: Er folgt M bis τ und bleibt danach auf dem gestoppten Wert
Für ein Martingal und eine Stoppzeit ist der gestoppte Prozess unter standardmäßiger Integrierbarkeit für jedes feste t selbst ein Martingal
Der Übergang von jedem endlichen t zum zufälligen Endwert M_τ erfordert zusätzliche Kontrolle über den Grenzwert
Mehrere hinreichende Bedingungen stützen den Satz
Übliche Fassungen nehmen an, dass τ beschränkt ist, M beschränkt ist oder die Familie der gestoppten Variablen gleichgradig integrierbar ist
Varianten in diskreter Zeit können E[τ] < ∞ zusammen mit geeignet beschränkten Zuwächsen verwenden, aber die genauen Voraussetzungen unterscheiden sich je nach Satz
Für Stoppzeiten σ ≤ τ liefert eine starke Form E[M_τ | F_σ] = M_σ, wenn die erforderlichen Bedingungen erfüllt sind
Verdopplungsstrategien machen die fehlende Bedingung sichtbar
In einem fairen Münzwurfspiel scheint das Verdoppeln des Einsatzes nach jedem Verlust beim ersten Gewinn einen Gewinn von einer Einheit zu garantieren
Die Stoppzeit ist unbeschränkt, zwischenzeitliche Verluste und benötigter Kredit wachsen ohne Grenze, und die gestoppten Werte sind nicht gleichgradig integrierbar
Der scheinbare risikolose Gewinn widerspricht dem Satz vom optionalen Stoppen daher nicht; verletzt werden die Bedingungen, die den Grenzübergang rechtfertigen
Barrier-Wahrscheinlichkeiten verwenden kontrolliertes Stoppen
Ein Random Walk, der an einer von zwei endlichen Barrieren gestoppt wird, hat beschränkte gestoppte Werte, sodass der Satz vom optionalen Stoppen anwendbar ist
Wenn man den erwarteten gestoppten Wert anhand der beiden Grenzwerte ausdrückt, kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, zuerst die obere Barriere zu erreichen
Überschießen, Sprünge, Diskontierung, Drift und ein unendlicher Zeithorizont müssen einbezogen werden, statt stillschweigend die einfachste Formel für einen beschränkten Random Walk zu verwenden
Amerikanische Optionen machen die Ausübung zu einem Stoppzeitproblem
Ein amerikanischer Anspruch erlaubt dem Inhaber, aus der zulässigen Informationsmenge eine Ausübungsstoppzeit zu wählen
Unter einem Bewertungsmaß ist sein Wert das Supremum des erwarteten diskontierten Auszahlungsbetrags über alle zulässigen Stoppzeiten unter geeigneten Bedingungen
Das Snell-Einhüllende ist das kleinste Supermartingal, das den Auszahlungsprozess dominiert, und identifiziert, sofern vorhanden, eine optimale Ausübungsregion
Praktische Anwendung erfordert eine Stoppprüfung
Geben Sie Filtration, Maß, gestoppten Prozess, Zeithorizont, Auszahlung, zulässige Stoppzeiten und die verwendete Fassung des Satzes an
Prüfen Sie Beschränktheit, gleichgradige Integrierbarkeit oder die genaue alternative Bedingung, bevor Sie einen gestoppten Erwartungswert durch seinen Anfangswert ersetzen
Erkennen Sie in Simulationen Look-ahead, durch Caps verursachte Verzerrungen, Pfade, die am Horizont nicht gestoppt wurden, Überschießen sowie die Frage, ob Diskontierung und Zahlungsströme konsistent bleiben
Häufige Fragen
Was sagt der Satz vom optionalen Stoppen einfach aus?
Unter ausreichender Kontrolle ändert die Wahl des Zeitpunkts zum Stoppen eines fairen Martingals nicht dessen erwarteten gestoppten Wert
Bewahrt jede Trading-Ausstiegsregel den erwarteten Gewinn?
Nein. Der Ausstieg muss eine Stoppzeit sein, und Prozess sowie Stoppregel müssen die Integrierbarkeitsbedingungen des Satzes erfüllen
Warum schlägt die Verdopplungsstrategie kein faires Spiel?
Sie benötigt unbegrenzten Kredit und kann unbegrenzte Verluste anhäufen; dem gestoppten Prozess fehlt damit die vom Satz geforderte Kontrolle
Wie wird optionales Stoppen bei amerikanischen Optionen verwendet?
Die Ausübung wird als Stoppzeit modelliert, und der Wert wird unter dem Bewertungsmaß über zulässige Ausübungszeitpunkte optimiert