Gesetz der großen Zahlen vs. zentraler Grenzwertsatz
Vergleichen Sie die Konvergenz von Stichprobenmitteln mit der Verteilung ihrer Schwankungen einschließlich schwachem und starkem Gesetz, Skalierung, Abhängigkeit, Ergodizität und finanzwirtschaftlicher Interpretation
Kurzantwort
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich ein Stichprobenmittel unter geeigneten Bedingungen dem Populationsmittelwert nähert. Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt den skalierten Zufallsfehler um diesen Grenzwert und liefert häufig eine Normalapproximation. Das Gesetz der großen Zahlen zeigt, wohin der Mittelwert geht; der zentrale Grenzwertsatz beschreibt, wie er auf dem Weg dorthin schwankt
Die Sätze beantworten unterschiedliche Fragen
Für Beobachtungen X_1,…,X_n mit Mittelwert μ ist das Stichprobenmittel X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i
Das Gesetz der großen Zahlen fragt, ob X̄_n bei wachsendem n nahe an μ kommt, während der zentrale Grenzwertsatz nach der Grenzverteilung einer skalierten Differenz wie √n(X̄_n−μ) fragt
Die Konvergenz zum richtigen Wert liefert für sich genommen weder eine Fehlerordnung noch eine Form, ein Konfidenzintervall oder eine brauchbare Approximation bei endlicher Stichprobe
Das schwache Gesetz nutzt Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt unter seinen jeweiligen Annahmen P(|X̄_n−μ|>ε)→0 für jedes ε>0
Es besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers fester Größe verschwindet, nicht dass jeder realisierte Pfad irgendwann für immer nahe bleibt
Für iid-Beobachtungen genügt für ein weit gefasstes schwaches Gesetz ein endlicher Erwartungswert, während einfache Varianzbeweise oft endliche Varianz voraussetzen
Das starke Gesetz ist eine Aussage über Pfade
Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt X̄_n→μ fast sicher, also für alle Ergebnisse außerhalb einer einzigen Menge mit Wahrscheinlichkeit null
Fast sichere Konvergenz impliziert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, die Umkehrung gilt ohne zusätzliche Struktur jedoch nicht
Auch das starke Gesetz ist asymptotisch und sagt nicht, wie groß n für eine bestimmte Entscheidungstoleranz sein muss
Der zentrale Grenzwertsatz vergrößert den verbleibenden Fehler
Für iid-Variablen mit endlicher positiver Varianz σ² konvergiert √n(X̄_n−μ)/σ in Verteilung gegen N(0,1)
Der Faktor √n verhindert, dass der schrumpfende Fehler auf null fällt, und macht seine nichtdegenerierte Grenzform sichtbar
Das Gesetz der großen Zahlen kann gelten, wenn der klassische zentrale Grenzwertsatz scheitert, etwa bei schweren Schwänzen, wenn der Mittelwert existiert, die Varianz aber nicht
Abhängigkeit erfordert mehr als eine lange Historie
Stationäre ergodische Prozesse können ein Gesetz der großen Zahlen erfüllen, während ein zentraler Grenzwertsatz zusätzlich ausreichende Kontrolle von Abhängigkeiten und Schwankungen benötigt
Finanzzeitreihen können Mittelwert, Varianz, Exposure, Liquidität und Regime verändern, sodass eine lange Aufzeichnung nicht wie wiederholte Ziehungen aus einem einzigen Gesetz behandelt werden muss
Mehr Beobachtungen aus demselben Krisencluster oder stagnierenden Regime können weniger effektive Information liefern, als ihre Anzahl vermuten lässt
Diversifikation folgt einer verwandten, aber getrennten Logik
Der durchschnittliche idiosynkratische Schock kann sich über viele hinreichend schwach abhängige Positionen stabilisieren, was einen Effekt ähnlich dem Gesetz der großen Zahlen widerspiegelt
Gemeinsame Faktoren, Tail-Abhängigkeit, konzentrierte Gewichte und korrelierte Ausfälle verschwinden nicht allein deshalb, weil das Portfolio viele Titel enthält
Ebenso garantiert eine lange durchschnittliche Rendite nicht, dass sie eine dauerhafte erwartete Rendite offenlegt, wenn sich die Anlagemöglichkeiten selbst verändern
Praktische Inferenz braucht beide Diagnosen
Stellen Sie laufende Mittelwerte und Teilstichprobenschätzungen dar und untersuchen Sie anschließend Abhängigkeiten, Strukturbrüche, Tail-Momente und die effektive Stichprobengröße
Verwenden Sie einen durch den relevanten zentralen Grenzwertsatz oder ein Resampling-Verfahren begründeten Standardfehler, statt die Konvergenz des Mittelwerts als Unsicherheitsmaß zu behandeln
Berichten Sie Schätzgröße, Konvergenzannahmen, Horizont, Fehlerbänder und Sensitivität gegenüber Fenstern oder Regimen, bevor Sie einen der beiden Sätze heranziehen
Häufige Fragen
Was ist der Hauptunterschied zwischen dem Gesetz der großen Zahlen und dem zentralen Grenzwertsatz?
Das Gesetz der großen Zahlen betrifft die Konvergenz eines Mittelwerts zu einem Ziel; der zentrale Grenzwertsatz betrifft die skalierte Verteilung der Abweichungen um dieses Ziel
Erfordert das Gesetz der großen Zahlen normalverteilte Daten?
Nein. Es gilt unter seinen Moment- und Abhängigkeitsbedingungen weit über Normalverteilungen hinaus
Kann das Gesetz der großen Zahlen gelten, wenn der zentrale Grenzwertsatz scheitert?
Ja. Ein endlicher Mittelwert kann die Konvergenz des Mittelwerts erlauben, auch wenn unendliche Varianz den klassischen Normal-Grenzwertsatz verhindert
Macht mehr Finanzdaten eine Schätzung immer zuverlässig?
Nein. Abhängigkeit, Regimewechsel, Datenqualität und ein instabiles Ziel können die effektive Information deutlich kleiner als die Beobachtungszahl halten