Optimale Ausführung nach Almgren–Chriss: Markteinfluss und Kursrisiko abwägen

Angenommen, ein Portfoliomanager möchte eine große Position innerhalb weniger Stunden verkaufen. Eine einzige große Order kann die verfügbare Liquidität beanspruchen und den Kurs während der Ausführung bewegen. Werden kleinere Teilaufträge über längere Zeit verteilt, sinkt der unmittelbare Druck oft. Dafür bleibt ein Teil der Position offen, während sich der Referenzpreis nach oben oder unten bewegen kann.

Almgren und Chriss formulieren diesen Zielkonflikt als Optimierungsproblem: Die erwarteten Ausführungskosten sollen sinken, zugleich wird die Unsicherheit bewertet, die entsteht, solange noch Bestand gehalten wird. Ihre Originalarbeit betrachtet Volatilitätsrisiko zusammen mit Transaktionskosten aus permanentem und vorübergehendem Markteinfluss; für ein lineares Kostenmodell lässt sich eine Effizienzgrenze zwischen Kosten und Unsicherheit ableiten (Originalarbeit).

Wir betrachten den Verkauf von X Aktien zwischen t = 0 und dem festen Endzeitpunkt T. x(t) bezeichnet die Menge, die zum Zeitpunkt t noch gehalten wird. Zu Beginn gilt x(0) = X, am Ende x(T) = 0. Bei dieser Liquidationskonvention ist die Verkaufsrate:

v(t) = −dx(t)/dt

Sinkt der Restbestand rasch, ist die Verkaufsrate hoch. Die Entscheidung lässt sich durch Startmenge X, Ausführungshorizont T und Bestandspfad x(t) beschreiben oder gleichwertig durch die Handelsrate v(t). Hier wird die vollständige Ausführung bis zum Stichtag vorausgesetzt. Ist ein Rest zulässig oder der Zeitpunkt flexibel, liegt eine andere Aufgabe vor.

Vorübergehender Markteinfluss ist die Abweichung des Ausführungspreises vom Referenzpreis, die während eines Handels auftreten und später nachlassen kann. Im üblichen linearen Modell steigt diese Komponente mit der Handelsrate. Große oder schnelle Teilaufträge können deshalb höhere erwartete Kosten verursachen. Permanenter Markteinfluss steht für eine Verschiebung des Referenzpreises, die nach dem Handel bestehen bleibt. In einer grundlegenden linearen Formulierung hängt der erwartete permanente Kostenanteil bei fester Gesamtmenge nicht vom Zeitplan ab. Er bestimmt dann allein nicht, wann gehandelt wird. Das ist modellabhängig und keine allgemeine Regel für alle Impact-Modelle.

Daneben steht das Risiko des Wartens: Ändert sich der Preis, bevor der Auftrag abgeschlossen ist, verändert sich der Wert des noch offenen Bestands. Die Grundformulierung erfasst dies über die Varianz der Ausführungskosten beziehungsweise des Implementation Shortfall. Das Modell wägt somit höhere temporäre Kosten bei schnellem Handel gegen größere Unsicherheit bei langsamem Handel ab.

In einer vereinfachten kontinuierlichen Konvention lässt sich der zeitplanabhängige Teil so schreiben:

minimiere E[Kosten] + λ × Var(Kosten)

λ gewichtet die Risikoaversion. Bei linearem temporärem Einfluss auf die Handelsrate, konstanter Volatilität des unbeeinflussten Referenzpreises und festem Endpunkt ergibt sich für den zeitplanabhängigen Teil – konstante Terme ausgeklammert –

∫₀ᵀ [η v(t)² + λ σ² x(t)²] dt

σ bezeichnet die Volatilität des Referenzpreises je Quadratwurzel der Zeit. η ist der Koeffizient für temporären Einfluss in dieser Konvention; die Einheiten müssen zur Zielfunktion passen. Der optimale Bestandspfad lautet:

x(t) = X × sinh(κ(T − t)) / sinh(κT)

mit

κ² = λσ² / η

λ ist das Gewicht der Risikoaversion; κ ist die Dringlichkeitsskala des Pfads mit der Einheit Zeit⁻¹. Daher ist κT dimensionslos.

Facharbeiten definieren Koeffizienten und Skalierung zum Teil unterschiedlich. Vor einer Übertragung von κ müssen daher Einheiten und Impact-Definition abgeglichen werden. Auch die optimale Ausführungssteuerung von Bertsimas und Lo zeigt, wie stark der Zeitplan von den Annahmen über Preise und Einfluss abhängt (Arbeit).

<!-- learn:illustration -->

Für λ → 0 wird der Grenzwert des sinh-Pfads zur Geraden x(t) = X(1 − t/T). Der Restbestand sinkt also mit konstanter Rate, ähnlich einem TWAP-Zeitplan. Mit höherem λ steigt κT: Ein größerer Teil wird früh verkauft. Dadurch bleibt weniger Bestand lange dem Kursrisiko ausgesetzt, aber die erwarteten Kosten des temporären Einflusses können steigen.

Jeder Wert für λ wählt einen anderen Punkt zwischen mittleren Kosten und Risiko. Ein Zeitplan liegt auf der Effizienzgrenze, wenn kein anderer zulässiger Zeitplan bei gleichem Risiko niedrigere erwartete Kosten bietet. Die Grenze macht den Zielkonflikt sichtbar; sie entscheidet nicht, welcher Punkt für eine konkrete Anlageentscheidung passend ist. Almgren und Chriss schlagen vor, anhand einer Nutzenfunktion oder eines gewählten Risikokriteriums eine Strategie auszuwählen.

Angenommen, 1.000 Aktien sollen innerhalb von 60 Minuten verkauft werden und die gewählten Parameter ergeben κT = 2. Das sind gerundete Modellausgaben, keine Live-Marktergebnisse und keine Schätzung für ein bestimmtes Wertpapier. Die Tabelle vergleicht den verbleibenden Bestand zu ausgewählten Zeitpunkten mit einem linearen TWAP-Zeitplan:

In diesem Beispiel verkauft Almgren–Chriss früher mehr: Der offene Bestand sinkt schneller, dafür kann der temporäre Einfluss höhere Kosten verursachen. Die Zahlen zeigen nicht, welcher Zeitplan einen besseren Preis erzielt hätte. Dafür wären reale Quotes, Liquidität, Ausführungen und weitere Kosten nötig.

Die geschlossene Lösung setzt ein einzelnes Wertpapier, konstante Volatilität, einen konstanten linearen temporären Einfluss, eine vereinfachte permanente Komponente sowie bekannte Startmenge und Deadline voraus. Der Zeitplan ist Open Loop: Er wird im Voraus berechnet und reagiert nicht automatisch auf neues Volumen, Nachrichten, Quotes oder bereits ausgeführte Teilmengen. In der Grundformulierung gibt es kein prognostisches Signal, also kein Alpha, das eine erwartete Auf- oder Abwärtsbewegung abbildet.

Spätere Arbeiten untersuchen, wann Markteinflussmodelle mit der Kursdynamik vereinbar sind; Gatherals Analyse zu Bedingungen ohne dynamische Arbitrage ist ein Beispiel (Gatheral). In realen Märkten kann Einfluss nichtlinear sein, Liquidität und Volatilität können sich ändern, und Spread, Gebühren, Warteschlangenpriorität und Handelsplatzregeln wirken sich auf Fills aus. Ein fester Pfad bildet daher nicht alle Ausführungsentscheidungen ab.

Prüfen Sie vor der Deutung eines Algorithmus die Referenzpreis- und Impact-Definition, die Kalibrierung, Gebührenbehandlung und Teilnahmegrenzen. λ ist keine Empfehlung eines Handelsplatzes und der Pfad keine Garantie für Preis oder vollständige Ausführung. Der Leitfaden zum Implementation Shortfall behandelt den Vergleich der Anlageentscheidung mit der tatsächlichen Ausführung; der VWAP- und TWAP-Leitfaden erklärt den Unterschied zwischen Benchmark und Zeitplan. Dies ist eine Erklärung eines bedingten Modells, keine Anlage- oder Ausführungsempfehlung.