Macaulay, Modified ও Effective Duration: পার্থক্য ও হিসাবের উদাহরণ

Maturity হলো চুক্তি অনুযায়ী আসল ফেরত দেওয়ার নির্ধারিত তারিখ। Duration নির্দিষ্ট অনুমানের অধীনে নগদ প্রবাহের সময় বা দামের সংবেদনশীলতা বোঝায়। এটি maturity-এর আরেক নাম নয়, এবং বিনিয়োগকারী কখন কেনার খরচ ফেরত পাবেন তার নিশ্চয়তাও নয়।

কোনো স্ক্রিনে শুধু “duration” লেখা থাকলে সেটি Macaulay, modified, effective, money duration নাকি অন্য কিছু তা দেখুন। বন্ড বা পোর্টফোলিও, মূল্যায়নের তারিখ, yield বা curve, compounding নিয়ম এবং price basis চিহ্নিত করুন। CFA Institute নির্দিষ্ট নগদ প্রবাহ ও বন্ডের নিজস্ব yield ব্যবহার করা yield-based পরিমাপকে benchmark curve ধরে পুনর্মূল্যায়ন করা curve-based পরিমাপ থেকে আলাদা করে; পরেরটি অনিশ্চিত নগদ প্রবাহও বিবেচনা করতে পারে। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

Macaulay duration হলো নির্ধারিত নগদ প্রবাহ পাওয়ার সময়গুলোর বর্তমান মূল্য-ওজনযুক্ত গড়। t সময়ে CF_t নগদ প্রবাহ, দাম P ও yield y হলে ওজন হলো PV(CF_t)/P। P যদি মডেল করা সব নগদ প্রবাহের বর্তমান মূল্যের যোগফল হয়, তবে ওজনগুলোর যোগফল এক:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

কুপন বন্ডে Macaulay duration সাধারণত maturity-এর চেয়ে কম, কারণ আসল ফেরতের আগে কুপন পাওয়া যায়। Zero-coupon বন্ডে একটিমাত্র নির্ধারিত নগদ প্রবাহ থাকে; তাই বলা cash-flow ও discounting অনুমানে Macaulay duration maturity পর্যন্ত সময়ের সমান।

এটি বর্তমান মূল্যে মাপা গড় সময়; বিনিয়োগকারীর ব্যক্তিগত holding period-এর পূর্বাভাস নয়, কুপন পুনর্বিনিয়োগে একই yield পাওয়ার নিশ্চয়তাও নয়। কিছু immunization বিশ্লেষণে এটি ব্যবহৃত হয়, কিন্তু yield পরিবর্তন, পুনর্বিনিয়োগ ও যে দায়ের সঙ্গে মিল করতে হবে সে বিষয়ে অতিরিক্ত অনুমান প্রয়োজন। FINRA-ও বলে duration শুধু maturity পর্যন্ত সময় নয়। {source:finraDurationExplainer}

ধরা যাক option নেই এমন একটি কাল্পনিক বন্ডের face value $1,000, বার্ষিক coupon 5%, বাকি মেয়াদ তিন বছর এবং বার্ষিক yield to maturity 4%। বছরে একবার পেমেন্ট, coupon তারিখের ঠিক পরে মূল্যায়ন এবং annual compounding ধরে নিন। নির্ধারিত নগদ প্রবাহ এক বছর পরে $50, দুই বছর পরে $50 এবং তিন বছর পরে $1,050।

4% হারে discount করলে বর্তমান মূল্য প্রায় $48.08, $46.23 ও $933.45; মোট full price প্রায় $1,027.75। প্রতিটি বর্তমান মূল্যকে ওই দামে ভাগ করলে ওজন প্রায় 4.68%, 4.50% ও 90.82% হয়। শেষ কিস্তিতে আসলও আছে, কিন্তু আগের দুই কুপন গড় সময়কে এগিয়ে আনে।

সময় × ওজন যোগ করলে 1 × 4.68% + 2 × 4.50% + 3 × 90.82%, অর্থাৎ প্রায় 2.8615 বছর। এটি তিন বছরের maturity-এর চেয়ে কম, কারণ বর্তমান মূল্যের কিছু অংশ আগের কুপন থেকে আসে। দেখানো অঙ্ক rounded; নির্ভুল হিসাবের জন্য round করার আগের বর্তমান মূল্য ব্যবহার করুন। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

Modified duration নির্দিষ্ট compounding নিয়ম অনুযায়ী Macaulay-কে সমন্বয় করে। নির্দিষ্ট নগদ প্রবাহ, বার্ষিক nominal yield y এবং বছরে m বার compounding হলে সাধারণ সম্পর্ক D_mod = D_Mac / (1 + y/m)। উদাহরণে বছরে একবার পেমেন্ট, তাই m=1 এবং 2.8615 / 1.04 প্রায় 2.7514 বছর।

বন্ডের নিজস্ব yield সামান্য বদলালে দামের শতকরা পরিবর্তনের first-order অনুমান ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, যেখানে Δy দশমিক আকারে লিখতে হয়। 1 basis point বৃদ্ধি 0.01 নয়, 0.0001; 100 basis point হলো 0.01। Modified duration 2.7514 হলে yield 1 percentage point বাড়ায় অন্য ইনপুট স্থির রেখে স্থানীয় অনুমানে দাম 2.7514% কমে। ঋণাত্মক চিহ্নটি এই সাধারণ বন্ডে yield ও দামের স্থানীয় বিপরীত সম্পর্ক বোঝায়।

Modified duration শুরু yield-এর কাছের ঢাল; যেকোনো বড় shock-এর পূর্ণ পুনর্মূল্যায়ন নয়। ডলারের অঙ্ক পেতে position-এর market value-ও দরকার। নিজস্ব yield 1 basis point বদলালে first-order DV01-এর মান সাধারণত market value × modified duration × 0.0001। চিহ্নের নিয়ম ভিন্ন হতে পারে, আর সংখ্যাটি নির্দিষ্ট loss limit নয়। CME শতকরা সংবেদনশীলতা থেকে DV01, BPV বা VBP নামে ডলারের পরিমাণকে আলাদা করে। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

Effective duration সুদের পরিস্থিতিতে পূর্ণ মূল্যায়ন থেকে পাওয়া দাম ব্যবহার করে। P₀ শুরু দাম, benchmark curve Δr কমানোর পর P₋ এবং একই পরিমাণ বাড়ানোর পর P₊ হলে central difference হলো D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr); Δr দশমিক হিসেবে লিখতে হবে। ফল সাধারণত নির্দিষ্ট curve shock-এর অধীনে শতকরা দামের সংবেদনশীলতা হিসেবে বছর এককে বোঝানো হয়।

সুদের হারে ভবিষ্যৎ নগদ প্রবাহ বদলাতে পারে এমন callable বা putable বন্ড এবং mortgage-backed securities-এ এটি কার্যকর। প্রতিটি পরিস্থিতিতে মডেল সম্ভাব্য exercise বা আগাম পরিশোধের অনুমান হালনাগাদ করে আবার দাম নির্ণয় করতে পারে। তাই ফল benchmark curve, shock-এর আকার ও আকৃতি, model, volatility, cash-flow অনুমান এবং valuation date-এর ওপর নির্ভর করে। CFA Institute অনিশ্চিত নগদ প্রবাহের curve risk-এ effective duration ব্যবহারের কথা বলে; FINRA-ও redemption feature থাকা বন্ডে এটিকে Macaulay ও modified থেকে আলাদা করে। {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Effective duration সব সময় “আরও নির্ভুল” নয়। এটি নির্দিষ্ট benchmark-curve পরিস্থিতিতে model করা full price কীভাবে বদলায় সেই আলাদা প্রশ্নের উত্তর। নগদ প্রবাহ স্থির ও প্রশ্নটি বন্ডের নিজস্ব yield নিয়ে হলে modified duration আরও সরাসরি হতে পারে। Curve shock-এর ক্ষেত্রে তা parallel কি না এবং কোন curve নেওয়া হয়েছে তা বলুন; option থাকলে নগদ প্রবাহ পুনর্গণনার model-ও জানান।

$1,000 face value-এর উদাহরণে ফিরি। 4% yield-এ দাম প্রায় $1,027.75 এবং modified duration প্রায় 2.7514। Yield 100 basis point বাড়লে স্থানীয় অনুমান দাম 2.7514%, অর্থাৎ $28.28 কমে প্রায় $999.47। 100 basis point কমলে অনুমান প্রায় $28.28 বেড়ে $1,056.03 হয়।

এখন নতুন yield-এ নগদ প্রবাহ সরাসরি discount করি। 5% yield-এ দাম $1,000, প্রায় $27.75 বা 2.70% কম। 3% yield-এ দাম প্রায় $1,056.57, $28.82 বা 2.80% বেশি। দাম-yield সম্পর্ক বাঁকা হওয়ায় বৃদ্ধি ও হ্রাস সমান নয়। Duration একা স্থানীয় অনুমান দেয়; convexity বড় পরিবর্তনে second-order পার্থক্য বোঝায়। অঙ্কগুলো কাল্পনিক, নগদ প্রবাহ অপরিবর্তিত, annual compounding ও একই valuation convention ধরে; এগুলো বাজারদর বা পূর্বাভাস নয়। পরের ধাপের জন্য বন্ড convexity ও price sensitivity দেখুন।

উদাহরণের Macaulay ও modified duration yield-based পরিমাপ। কোনো benchmark curve বা shock valuation model নির্দিষ্ট না থাকায় effective duration হিসাব করা হয়নি। তা পেতে নির্দিষ্ট curve scenario-তে বন্ড আবার মূল্যায়ন করতে হবে। নগদ প্রবাহ বদলালে yield বাড়া ও কমা—দুই ক্ষেত্রেই একই exercise ও আগাম পরিশোধ অনুমান ধারাবাহিকভাবে ব্যবহার করতে হবে।

নির্ধারিত নগদ প্রবাহের বর্তমান মূল্য-ওজনযুক্ত গড় সময় জানতে Macaulay ব্যবহার করুন। নির্দিষ্ট নগদ প্রবাহের বন্ডের নিজস্ব yield সামান্য বদলালে দাম কত শতাংশ প্রতিক্রিয়া দেখায় তা আনুমানিক জানতে compounding নিয়মসহ modified duration ব্যবহার করুন। Benchmark curve বদলালে ও নগদ প্রবাহ সুদের ওপর নির্ভর করতে পারলে effective duration বিবেচনা করুন। কোনোটিই সুদের হার কোন দিকে যাবে তা বলে না।

Portfolio aggregate সাধারণত market-value weight ও provider-এর নিয়মের ওপর নির্ভর করে। একটিমাত্র effective duration নির্দিষ্ট broad curve move সংক্ষেপে দেখায়, তবে twist ও bend আড়াল করতে পারে; key-rate duration বেছে নেওয়া tenor অনুযায়ী সংবেদনশীলতা দেখায়। প্রতি basis point-এ ডলারের অঙ্কের জন্য DV01 ও BPV দেখুন। Credit spread, liquidity, inflation, currency ও option risk আলাদা বিশ্লেষণ চাইতে পারে; benchmark-rate duration বন্ডের সব ঝুঁকি মাপে না।

বন্ডের বৈশিষ্ট্যও ফল বদলায়। সাধারণ option-free fixed-rate বন্ডে অন্য সব অপরিবর্তিত থাকলে পরের সময়ের নগদ প্রবাহ duration বাড়ায়; উচ্চ coupon বা yield সাধারণত আগের পেমেন্টের বর্তমান মূল্য-ওজন বাড়িয়ে duration কমায়। maturity কাছে এলে অবশিষ্ট cash-flow profile বদলে যায়, তাই duration স্থির নয়। হার কমলে callable feature দামের বৃদ্ধি সীমিত করতে পারে। Floating-rate note নিয়মিত coupon reset করে এবং কাছাকাছি maturity-এর fixed-rate বন্ডের তুলনায় কম rate sensitivity থাকতে পারে; credit spread, reset lag, floor ও liquidity risk তবু থাকে। এগুলো নির্দিষ্ট অনুমানের অধীনে mechanism, সর্বজনীন rank নয়। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

দুটি উৎস “duration” বলে আলাদা মাপ ব্যবহার করতে পারে। বন্ড বা portfolio, valuation date, full বা clean price, yield বা benchmark curve, compounding frequency, shock size, parallel বা nonparallel move, option model এবং cash flow স্থির রাখা না আবার গণনা করা—এসব লিখে রাখুন। ডলারের অঙ্ক তুলনায় position size ও currency-ও এক করুন। কোনো input আলাদা হলে সরাসরি তুলনার আগে পার্থক্য ব্যাখ্যা করুন।

Price sensitivity প্রত্যাশিত total return নয়। Coupon income, reinvestment, credit migration, spread change, transaction cost, tax বা portfolio change—বাস্তব return-এর সব উৎস duration ধরে না। এটি নির্দিষ্ট starting point ও model-এর শর্তাধীন sensitivity। Fund fact sheet বা analytics screen-এ methodology ও as-of date দেখুন; চুক্তির বৈশিষ্ট্যের জন্য prospectus বা security document পড়ুন। Duration কম হলেই overall risk কম নয়, আর এটি ভবিষ্যৎ ক্ষতির পূর্বাভাস দেয় না। {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}