نصف التباين المحقّق: قياس تقلب الصعود والهبوط كلٌّ على حدة

لنفترض أن \(r_i\) هي عوائد لوغاريتمية خلال اليوم رُصدت ضمن فترة ثابتة واحدة. يكون التباين المحقّق مجموع مربعات العوائد، \(RV=\sum_i r_i^2\). يجعل التربيع المكاسب والخسائر موجبة ويمنح التحركات الأكبر وزناً أكبر. يقيس هذا الإحصاء التغيّر المتراكم خلال الفترة، لكنه لا يبيّن هل جاء من تحركات صاعدة أم هابطة.

يحافظ نصف التباين المحقّق على إشارة العائد قبل تربيعه. يجمع المكوّن الموجب مربعات العوائد التي تتجاوز الصفر، ويجمع المكوّن السالب مربعات العوائد التي تقل عنه. ومجموعهما يساوي التباين المحقّق عندما تُستخدم المشاهدات والاتفاقيات نفسها. العائد الصفري لا يضيف شيئاً لأي منهما. هذه هوية حسابية، وليست دليلاً على أن كل مكوّن مصدر سببي مستقل للمخاطر.

يفيد هذا الفصل عندما يتعلق سؤال البحث بالتغيّر بحسب الاتجاه، مثل اختبار ما إذا كان تغيّر العوائد السالبة السابقة يحمل معلومات مختلفة عن تغيّر العوائد الموجبة السابقة بشأن التقلب المستقبلي. قدّم Barndorff-Nielsen وKinnebrock وShephard نصف التباين المحقّق كمقياس عالي التواتر لتغيّر الجانب الهابط. وتطوّر ورقتهم البحثية علاقته بالتغيّر التربيعي والقفزات السالبة.

للعوائد \(r_1,\ldots,r_n\)، نعرّف:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

حيث تساوي \(\mathbf{1}(\cdot)\) واحداً إذا تحقق الشرط وصفرًا خلاف ذلك. عندئذٍ:

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

تستخدم بعض الأوراق تسميات أو أسساً مختلفة؛ لذلك ينبغي أن يوضح التقرير أي حد يشير إلى العوائد الموجبة وأيهما يشير إلى السالبة. تستخدم الصيغة أعلاه عوائد غير متمركزة حول الصفر: فلا تطرح متوسط العينة أو عائداً مستهدفاً أو معدل الفائدة الخالي من المخاطر. أما نصف التباين المحسوب حول هدف أو متوسط فهو إحصاء مختلف.

وحدات القياس هي مربع وحدات العائد. إذا كانت العوائد بنقاط الأساس فمكوّنا نصف التباين بوحدة \(\text{bp}^2\). وإذا كانت عوائد لوغاريتمية عشرية فالوحدة مربع العائد العشري. والتحويل من عوائد مئوية إلى نقاط أساس يضرب قيمة المقياس المربّع في 10,000؛ لذا يجب ذكر الوحدة مع الرقم.

لنفترض جلسة افتراضية فيها ستة عوائد، بوحدات نقاط الأساس:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

تضيف العوائد الموجبة \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). وتضيف العوائد السالبة \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). أما العائد الصفري فلا يضيف شيئاً. لذلك يكون التباين المحقّق:

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

في هذا المثال الصغير، تبلغ حصة الجانب السالب \(21/34\)، أي نحو 61.8%، وحصة الجانب الموجب نحو 38.2%. هذه حصص من مجموع مختلق، وليست احتمالات خسارة مستقبلية أو تقديراً لعدم تناظر مستقر على المدى الطويل. ستة عوائد لا تكفي إطلاقاً للاستدلال الإحصائي؛ فالحساب هنا للتحقق من التعريفات.

يشرح دليل التقلب المحقّق مجموع مربعات العوائد من دون تقسيمها. أما دليل التباين ثنائي القوة فيتناول سؤالاً مختلفاً: تقدير التغيّر المستمر مع احتمال وجود قفزات نادرة. يمكن دراسة نصف التباين الاتجاهي مع مقياس التغيّر المتين للقفزات، لكن أحدهما لا يحل محل الآخر.

إذا اتبع السعر اللوغاريتمي الكامن شبه مارتينغال مستمراً، وأصبح أخذ العينات أدق مع تحقق شروط الانتظام ذات الصلة، يتقارب كل من نصف التباين الموجب والسالب إلى نصف التغيّر التربيعي المستمر. في هذه الحالة قد يختلف المجموعان المحسوبان من عينة محدودة رغم عدم وجود تقسيم اتجاهي دائم في التغيّر المستمر الكامن؛ فعشوائية المعاينة مهمة.

عند وجود قفزات، يُسند مربع حجم القفزة إلى المكوّن الموجب أو السالب وفق إشارتها. يحافظ ذلك على معلومات يفقدها التباين المحقّق الكلي، لكنه لا يعني أن كل عائد سالب قفزة أو أن كل عائد موجب غير ضار. فالتحرك المستمر الكبير والقفزة كلاهما قد ينتج عائداً مربعاً كبيراً. تصنّف الإشارة الزيادة المرصودة ولا تحدد سببها الاقتصادي.

يقسّم الرسم المفاهيمي أدناه الزيادات الموجبة والسالبة إلى مجموعتين بصريتين. ليس مخططاً لبيانات فعلية أو نتيجة اختبار، ولا يدّعي وجود انحياز اتجاهي دائم في العملية الكامنة.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

يمكن استخدام أنصاف التباين المحقّق متغيرين منفصلين للتنبؤ بالتقلب المستقبلي. وجد Patton وSheppard في دراستهما لمؤشر S&P 500 وأسهم فردية أن تغيّر العوائد السالبة السابقة ارتبط بالتقلب المستقبلي بقوة أكبر من تغيّر العوائد الموجبة ضمن عيناتهما ومواصفاتهما. هذه نتيجة تجريبية لتصميم محدد، لا قانون عام لكل الأسواق أو ضمان بأن استراتيجية جديدة ستتنبأ جيداً.

لإثبات قدرة تنبؤية، حدّد الهدف والأفق وقارن النموذج بمعيار مناسب على بيانات خارج العينة. الفرق بين \(RS^-\) و\(RS^+\) في يوم واحد وصفي ولا يثبت القدرة على التنبؤ. وقد يحتاج الانحدار أيضاً إلى مراعاة استمرار التقلب، وتداخل الآفاق، وعدم يقين المعلمات، واختيار البيانات. ينبغي تقييم أخطاء التنبؤ بدالة خسارة توافق القرار.

وفي امتداد متعدد المتغيرات، يطوّر Bollerslev وLi وPatton وQuaedvlieg أنصاف التغاير المحقّق، التي تفكك التغاير المحقّق وفق إشارات أزواج العوائد عالية التواتر. وتوضح ورقتهم في Econometrica كيف يمكن لمكوّنات الإشارات المتطابقة والمختلطة أن تحمل معلومات مختلفة. أما الفصل الأحادي إلى موجب وسالب فأبسط، ولا ينبغي وصفه بأنه تفكيك كامل للتغاير أو لمخاطر المحفظة.

يُستخدم مصطلح «نصف التباين الهابط» بأكثر من معنى. المقياس المحقّق هنا يربّع العوائد عالية التواتر الواقعة دون الصفر. أما إحصاء الهبوط القائم على هدف فيربّع العوائد التي تقل عن عتبة محددة، غالباً عائد مستهدف أو حد أدنى مقبول. وقد تتمحور بعض حسابات العينة حول المتوسط. تجيب هذه التعريفات عن أسئلة مختلفة وقد تعطي قيماً مختلفة للسلسلة نفسها.

لا يمثل أي من نصفي التباين المحقّق قيمة VaR أو Expected Shortfall. يصف VaR كميّة من توزيع خسائر محدد وأفق معين؛ ويلخص Expected Shortfall الخسائر التي تتجاوز كمية محددة وفق اتفاق معلن. مجموع مربعات العوائد السالبة خلال اليوم لا يحمل أيّاً من هذين التفسيرين. كما أنه ليس مقياساً كاملاً للتراجع الأقصى، الذي يعتمد على ترتيب العوائد ومسارها.

إذا سمّى رسم أو نموذج \(RS^-\) «مخاطر الهبوط»، فعرّف المصطلح بجواره. وضّح هل العوائد مقاسة من الصفر أم من هدف، وتواتر المعاينة، وهل الكمية إحصاء لفترة أم مدخل تنبؤي أم مقياس للمحفظة. يشرح دليل تقلب GARCH ديناميكيات التباين الشرطي، بينما يقدم نصف التباين المحقّق قياساً عالي التواتر بحسب الاتجاه يمكن التفكير في استخدامه مدخلاً.

يعتمد تقسيم الإشارات على سلسلة العوائد المرصودة. وقد تؤدي زيادة تواتر المعاينة إلى إدخال ارتداد عرض وطلب، وتقطع الأسعار، وعروض أسعار قديمة، وآثار الطوابع الزمنية. وقد تنعكس إشارة حركة سعر صغيرة مسجلة عند تغيير وكيل السعر أو شبكة المعاينة. لذلك يمكن لضوضاء البنية الدقيقة أن تغيّر مربع الحركة والجانب الذي يُسند إليه العائد. تظل الهوية \(RV=RS^++RS^-\) صحيحة للسلسلة المختارة، لكنها لا تثبت سلامة تصميم المعاينة.

لإجراء مقارنة متينة، وثّق حقل السعر، وفاصل المعاينة، وحدود الجلسة، ومعالجة العوائد الصفرية، وقواعد القيم الشاذة، وما إذا كانت عوائد الأصول متزامنة. وافحص الحساسية عبر خيارات معاينة يمكن الدفاع عنها. إذا كان تحديد القفزات أو المتانة أمام الضوضاء هو السؤال الأساسي، فاستخدم مقدّراً أو اختباراً مصمماً لذلك الهدف بدلاً من تفسير فصل الإشارة على أنه تصحيح. يشرح دليل التقلب المحقّق ثنائي المقياس أحد بدائل تصحيح الضوضاء.

يتطلب الاستدلال الإحصائي أيضاً توزيع معاينة أو تصميماً مناسباً لإعادة أخذ العينات. يتكون المكوّنان الموجب والسالب من المسار نفسه وقد يعتمدان على بعضهما. كما تضيف النوافذ المتداخلة مزيداً من الاعتماد. ينبغي أن يعكس فاصل الثقة أو مقارنة التنبؤ هذه السمات؛ فمقارنة تقديرين نقطيين وحدها لا تختبر اختلاف دوريهما التنبؤي.

يذكر التقرير الواضح سلسلة عوائد الأصل أو المحفظة، والفترة، وتعريف العائد، وشبكة المعاينة، والوحدات. كما يبيّن صيغتي \(RS^+\) و\(RS^-\)، ويتحقق من أن مجموعهما يعيد التباين المحقّق، ويشرح معالجة القيم الصفرية والمفقودة. وإذا دخل المقياس في نموذج تنبؤ، فاذكر أفق التنبؤ، والمعيار، وفترة التقييم، ودالة الخسارة.

لا تحوّل نصف التباين المحقّق مباشرة إلى تقلب سنوي من دون ذكر افتراضات التجميع. يمكن جمع أنصاف التباين اليومية إلى إجمالي سنوي وصفي وفق اتفاق محدد، لكن جذر هذا المجموع لا يصبح تلقائياً انحرافاً معيارياً هابطاً ذا توزيع معروف. ولا تعالج السنونة تحيز مدخلات الأسعار أو ندرة المعاينة أو آثار الاختيار.

الاستخدام الأساسي هو القياس المنضبط: الاحتفاظ باتجاه كل عائد مرصود مع وزن تربيعي مماثل لقياس التغيّر المحقّق. قد تكشف النتيجة نمطاً يستحق الاختبار، لكنها لا تحدد سببه وحدها، ولا تقيس احتمال الذيل، ولا تحول عدم تناظر تاريخياً إلى إشارة تداول.