شرح Realized GARCH: نمذجة العوائد والتقلب المحقق معًا

تستنتج نماذج ARCH وGARCH تغير التباين من سلسلة العوائد. والعائد إشارة مشوشة إلى مقدار الحركة خلال فترته: فصغر عائد الإغلاق إلى الإغلاق لا يعني أن الجلسة كانت هادئة، وكبره لا يكشف المسار الذي أدى إليه. ويمكن للأسعار داخل اليوم أن توفر مقياسًا محققًا منفصلًا، مثل التباين المحقق، يحمل معلومات أكثر عن الحركة خلال الجلسة.

يستخدم Realized GARCH هذا المقياس ضمن ديناميكيات التباين. ففي الصيغة الأساسية، يساعد كل من التباين الشرطي السابق والمقياس المحقق السابق في تحديث التباين الشرطي الحالي. ويضيف النموذج أيضًا معادلة للمقياس المحقق نفسه. وهذه المعادلة الإضافية محورية: فهي تصف علاقة المقياس بالتباين الكامن وبصدمة العائد بدل تركه مدخلًا خارجيًا لا يفسره النموذج.

أظهرت الورقة الأصلية ملاءمة تجريبية أفضل من GARCH المعتمد على العوائد اليومية وحدها، وذلك في عينتها من أسهم مؤشر داو جونز الصناعي وصندوق متداول. هذه نتيجة خاصة بالعينة المدروسة وليست ضمانًا بأن Realized GARCH سيتنبأ على نحو أفضل لكل أصل أو فترة. للاطلاع على نموذج العوائد فقط، راجع دليل GARCH.

ليكن (rₜ) عائد الفترة (t)، بعد طرح المتوسط الشرطي إذا كان النموذج يتضمنه. وليكن (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) التباين الشرطي المتاح في بداية تلك الفترة، و(xₜ) مقياسًا محققًا موجبًا يُرصد أثناء الفترة (t) أو عند نهايتها. يمكن مثلًا أن يكون (xₜ) مجموع مربعات العوائد داخل اليوم، بوحدات مربعة للعائد نفسها المستخدمة في (hₜ).

التسلسل الزمني مهم. يُبنى توقع (hₜ) من المعلومات المتاحة قبل الفترة (t). وبعد رصد (rₜ) و(xₜ)، يحدّث النموذج توقع التباين التالي (hₜ₊₁). فلا تستخدم (xₜ) لتقول إنك توقعت (hₜ) قبل انقضاء الفترة (t).

Realized GARCH نموذج ديناميكي للعوائد ولوسيط مقاس للتقلب. وهو ليس انحدار MIDAS، الذي يستخدم دالة أوزان منظمة للتأخرات كي يربط بيانات بتواترات مختلفة. يمكن لكليهما استخدام معلومات داخل اليوم، لكن ينبغي تحديد معادلات كل منهما وهدف التوقع وتوقيته قبل المقارنة.

يتكون نموذج Realized GARCH(1,1) شائع من معادلة للعائد وأخرى للتباين وثالثة للقياس:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

هنا (zₜ) ابتكار العائد المعياري، و(uₜ) خطأ القياس، وتسمح (τ(zₜ)) بأن يعتمد المقياس المرصود على صدمة العائد. تضرب المعادلة الأولى الصدمة ذات التباين الواحد في الانحراف المعياري الشرطي. وتحدّث الثانية لوغاريتم التباين باستخدام لوغاريتمي التباين والمقياس المحقق السابقين. أما الثالثة فتربط لوغاريتم المقياس المرصود بالتباين الكامن الحالي وصدمة العائد وابتكار القياس.

الصيغة اللوغاريتمية ملائمة لأنها تمثل (hₜ) و(xₜ) الموجبين على مقياس لوغاريتمي غير مقيد، ثم تعطي أُسّية توقع التباين قيمة موجبة. لذلك فإن الثابت (ω) ثابت في معادلة لوغاريتم التباين، وليس هو التباين طويل الأجل. وفي النموذج الأساسي تُقدّر المعلمات معًا بدل تفسير كل واحدة بمعزل عن الأخرى.

بالتعويض عن معادلة القياس عند t−1 في تحديث التباين، نرى كيف يعيد المقياس المحقق التأثير في لوغاريتم التباين:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

في مواصفة (1,1)، يلخّص β + γφ استمرارية لوغاريتم التباين، لا β وحده. تضيف علاقة القياس حلقة تغذية راجعة: التباين السابق الأعلى يرتبط بمقياس محقق أعلى، ويدخل هذا المقياس في التحديث التالي. يساعد الاشتقاق على تفسير المعلمات المقدرة، لكنه لا يثبت الاستقرارية لكل امتداد من Realized GARCH؛ لذا ينبغي أن يستند الاستدلال إلى قيود المواصفة المقدرة فعلًا.

يقدم Hansen وHuang وShek الصيغتين الخطية واللوغاريتمية الخطية لهذا النموذج المشترك، ويعرضون بنية معادلاته الثلاث (2012). ويجب أخذ رتب الإبطاء الدقيقة والمقياس المحقق والمتوسط الشرطي وافتراضات الابتكار من المواصفة التي يجري تقديرها.

تساعد معادلة القياس في تفسير تحرك المقياس المحقق مع التباين الكامن ومع صدمة العائد معًا. ومن دوال الرافعة الشائعة:

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

يمكن للحد الخطي والحد التربيعي المتمركز أن يمثلا علاقة غير متناظرة بين صدمات العائد والمقياس المحقق. وتتحدد هيئة العلاقة بالمعاملات؛ أما الصيغة وحدها فلا تثبت أن العوائد السالبة تسبب التقلب المستقبلي.

في الصياغة الأساسية للورقة، يُنمذج (zₜ) و(uₜ) كابتكارين منفصلين، ويكون (zₜ) معياريًا ويُفترض استقلال الابتكارين. هذا تحديد إحصائي ملائم للحساب، وليس دليلًا على أن عوائد السوق أو أخطاء القياس تتبع توزيعًا بعينه في كل عينة. ويمكن استخدام شبه الإمكان الغاوسي للتقدير من دون الجزم بأن العوائد طبيعية.

تفصل هذه المعادلة أيضًا Realized GARCH عن GARCH-X. فقد يضع GARCH-X مقياسًا مرصودًا في تحديث التباين، لكنه يترك ديناميكيات ذلك المقياس بلا تحديد. أما Realized GARCH فينمذج المقياس المحقق أيضًا، ما يتيح توقعات تتجاوز خطوة واحدة عندما لا تكون المقاييس المستقبلية مرصودة بعد. يصف النموذج علاقة إحصائية مشتركة، ولا يحوّل المقياس المحقق إلى سبب خارجي.

افترض أن نموذجًا لوغاريتميًا خطيًا مقدرًا له (ω=-0.7824)، و(β=0.75)، و(γ=0.15). وعند نهاية الفترة (t)، لنفترض أن التباين الشرطي الحالي (hₜ=0.0004) وأن المقياس المحقق المرصود (xₜ=0.0009). كل القيم افتراضية وموجبة وعلى مقياس تباين العائد اليومي العشري نفسه.

استخدم معادلة التباين لحساب توقع الفترة التالية (t+1):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

الانحراف المعياري الشرطي المقابل هو (√0.0004517 ≈ 0.02125)، أي نحو 2.13% لفترة العائد المحددة. ويؤثر المقياس المحقق في توقع تباين الفترة التالية من خلال معامله المقدر؛ ولا يحدّث هذا الحساب المعاملات ولا يستخدم معادلة القياس للقول إن (xₜ) يساوي (hₜ).

يوضح المثال الحساب فقط. فهو لا يتضمن عدم اليقين في المعلمات ولا خطأ التقدير ولا مشاهدات خارج العينة، ولذلك لا يقول شيئًا عن الدلالة الإحصائية أو تفوق النموذج على معيار مرجعي <!-- learn:illustration -->

يستخدم التقدير مشاهدات متزامنة للعائد والمقياس المحقق. وتجمع دالة الإمكان أو شبه الإمكان بين معادلة العائد ومعادلة القياس، لذا فإن تغيير توزيعات الابتكار المفترضة أو بنية الاعتماد قد يغير المعلمات المقدرة. ينبغي ذكر طريقة التقدير وافتراضات الابتكار ومعالجة المتوسط الشرطي والمقياس المحقق وقواعد تنظيف البيانات، لا الاكتفاء بعرض معادلة التحديث.

بعد إغلاق كل فترة، يستطيع النموذج استخدام العائد والمقياس المحقق الجديدين لتحديث حالته وإنتاج توقع التباين التالي. أما في توقع عدة فترات، فلا تكون قيم (x) المستقبلية معروفة. وتوفر مواصفة Realized GARCH الكاملة ديناميكيات للمقياس المحقق، ولذلك يجب أن يعكس التوقع توزيع ذلك المقياس المستقبلي أو قيمته المتوقعة، لا أن يدرج القيم المستقبلية من عينة الاختبار.

يحتاج التقييم إلى هدف يطابق التوقع، مثل تباين عوائد الفترة التالية أو مقياس محقق للفترة نفسها. طابق الهدف والوسيط والوحدات والأفق وتواريخ التقييم. تقارن دالة الإمكان داخل العينة مدى ملاءمة النموذج، لكنها لا تحل محل تقييم زمني للتوقعات.

احفظ كل توقع في وقت إصداره المفترض، وأعد التقدير بمعلومات كانت متاحة حينها فقط، وقارنه بمعيار محدد مسبقًا على عينة مشتركة. اختر دالة الخسارة قبل الاطلاع على النتائج، وأبلغ عن فرق الخسارة المقترن مع تقدير لعدم اليقين يراعي الاعتماد عند الحاجة. يشرح دليل QLIKE والخطأ المربع أثر خصائص الوسيط واختيار الخسارة في المقارنة.

تعتمد فائدة النموذج على المقياس والفترة الزمنية اللذين يستخدمهما. فقد يُحسب المقياس المحقق من أسعار داخل اليوم ولا يشمل الحركة الليلية، بينما يمثل (rₜ) عائدًا من إغلاق إلى إغلاق. وتسمح الورقة الأصلية بأن تغطي نافذة المقياس فترة أقصر من فترة العائد؛ فلا تشترط معادلة القياس أن يكون (xₜ) تقديرًا غير متحيز لـ(hₜ). لكن ذلك لا يجعل اختلاف الفترات بلا أثر: فتفسير (φ) وهدف التوقع وأي مقارنة تتوقف على تلك الفترات.

تورد الورقة مثالًا محددًا: يمكن وصل مقياس مبني على نحو 6.5 ساعات تداول بالتباين الشرطي لعائد إغلاق إلى إغلاق مدته 24 ساعة. في هذا الإعداد، يتوقع المؤلفون أن تكون φ < 1 لأن المقياس داخل اليوم لا يغطي إلا جزءًا من فترة العائد الكاملة. لذلك يرتبط تفسير φ المقدّر بالمقياس والجلسة وتعريف العائد؛ وليس معامل معايرة عامًا يمكن نقله كما هو إلى أصل آخر أو تصميم أخذ عينات مختلف.

قد تحمل البيانات عالية التواتر أيضًا أثر فرق العرض والطلب، والتداول غير المتزامن، وتقطع الأسعار، والاقتباسات القديمة، وأخطاء التسجيل. يشرح دليل التقلب المحقق بمقياسيْن أحد المقدرات المصممة للتعامل مع بعض ضوضاء البنية المجهرية عالية التواتر. ووثق Hansen وLunde أثر ضوضاء البنية المجهرية في قياس التباين المحقق (2006). وقد يؤدي تغيير الوسيط إلى تغيير الملاءمة والتوقعات وتقديرات الرافعة.

تتضمن الصيغة اللوغاريتمية الخطية (log xₜ)، ولذلك يجب أن يكون المقياس المختار موجبًا تمامًا. إذا أمكن أن تكون البيانات صفرية أو سالبة، فلا تصلح المواصفة اللوغاريتمية من دون تحويل مبرر أو معالجة معلنة. وأفصح عن أي حد أدنى، لأنه يغير النموذج. تحقق مما إذا كان المقياس يتضمن القفزات، وأي جلسة يغطيها، وكيفية معالجة الأشرطة المفقودة، وما إذا كانت وحداته تطابق تباين العائد. كثرة المشاهدات داخل اليوم لا تزيل خطأ القياس تلقائيًا.

يستخدم GARCH التقليدي العوائد الماضية أو ابتكاراتها المربعة والتباين السابق. ويضيف Realized GARCH مقياسًا محققًا إلى ديناميكيات التباين وينمذج ذلك المقياس بمعادلة تربطه بالتباين الكامن وصدمات العوائد. أما GARCH-X فيعامل المقياس المضاف عادةً كمدخل خارجي. ويستخدم انحدار MIDAS منحنى أوزان معلميًا للتأخرات بين التواترات؛ أما GARCH-MIDAS فهو نموذج هجين ذو معادلات يجب فحصها على حدة. هذه التسميات ليست مترادفة.

يتنبأ النموذج بتباين شرطي أو مقياس محقق محدد وفق افتراضاته. ولا يتنبأ باتجاه العائد، ولا يثبت أن مقياسًا داخل اليوم يسبب تباين الفترة التالية، ولا يثبت ربحية استراتيجية. كما أن ارتفاع الإمكان داخل العينة لا يضمن تحسن التوقعات مستقبلًا. وتتطلب استنتاجات التداول إشارة محددة وتقييمًا بعد التكاليف يشمل فرق العرض والطلب والرسوم وأثر السوق والتمويل وحدود المخاطر.

لإعداد تقرير قابل للتكرار، حدد الأصل والعينة، وتعريف العائد ومعالجة المتوسط الشرطي، وبناء المقياس المحقق ونافذة الجلسة، ومعادلات النموذج ورتب الإبطاء، وافتراضات الابتكار، ونافذة التقدير، ووقت إصدار التوقع وأفقه، والمعيار المرجعي، وخسارة التقييم، وطريقة تقدير عدم اليقين. واعرض حساسية النتائج لمقاييس محققة بديلة معقولة، وأفصح عن استبعاد البيانات أو تعديلات ضمان الإيجابية