QLIKE مقابل الخطأ التربيعي في تنبؤات التقلب: مقاييس بديلة مشوشة

يتنبأ نموذج التقلب بمدى تشتت العائد المستقبلي، لا بما إذا كان العائد سيرتفع أو ينخفض. ابدأ بتحديد الهدف قبل تقييم النموذج؛ كأن يكون تباين العائد الشرطي لليوم التالي، مقاساً بمربعات نقاط الأساس. تنبؤ الانحراف المعياري، وتنبؤ التباين، وتقدير التباين المحقق خلال اليوم كميات مترابطة، لكنها ليست قابلة للاستبدال من دون تحديد التحويل والأفق الزمني.

هذا السؤال منفصل عن طريقة توليد النموذج لتنبؤه. يشرح دليل GARCH طريقة لتحديث التباين الشرطي استناداً إلى العوائد السابقة. يبدأ هذا الدليل بعد أن تصدر نماذج عدة تنبؤاتها، ويسأل كيف نقارنها بقياس غير كامل للتباين الذي تحقق لاحقاً.

لا معنى واحداً لـ«أفضل تنبؤ» قبل تحديد الهدف وعينة التقييم ودالة الخسارة. فقد يحتل النموذج المرتبة الأولى وفق خسارة والثانية وفق أخرى، لأن كل خسارة تضع تكلفة مختلفة لأخطاء التنبؤ

لنرمز إلى التباين الشرطي غير المشاهد للعائد المستهدف بـ vₜ، وإلى التنبؤ المصنوع قبل ذلك العائد باستخدام المعلومات المتاحة بـ hₜ، وإلى المقياس المرصود المستخدم للتقييم بـ xₜ. من المقاييس الشائعة مربع العائد، لكنه لا يكون غير متحيز شرطياً للتباين إلا عندما يكون متوسط العائد الشرطي صفراً. إذا لم يكن المتوسط الشرطي صفراً، فإن مربع العائد الخام يقدّر العزم الشرطي الثاني لا التباين الشرطي؛ ويمكن بدلاً من ذلك بناء المقياس من عوائد أزيل منها المتوسط الشرطي. أما التباين المحقق، المحسوب من العوائد داخل اليوم، فقد يقدم معلومات أغنى عن التغير خلال الجلسة، لكنه يظل قياساً لفترة محددة ويتأثر بقواعد أخذ العينات وبيانات الأسعار.

لا يزيل طرح المتوسط تحيز البروكسي تلقائياً عندما يكون المتوسط الشرطي مقدَّراً. إذا كان mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁]، وhₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)، وثُبّت المتوسط المقدَّر m̂ₜ باستخدام المعلومات المتاحة عند نقطة إصدار التنبؤ، فعندئذٍ E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². لذلك يضيف أي خطأ متوقع في تقدير المتوسط حداً غير سالب إلى البروكسي. وضّح كيفية تقدير المتوسط وما إذا كان البروكسي يستهدف التباين أم العزم الثاني قبل الاستناد إلى نتيجة عدم التحيز الشرطي.

اجعل xₜ وhₜ متوافقين من حيث الأصل وتعريف العائد والفترة الزمنية والأفق والوحدات. فإذا قيس xₜ بمربعات نقاط الأساس، وجب أن يقاس hₜ بالمربعات نفسها؛ وعندئذ تكون وحدة خسارة الخطأ التربيعي bp⁴. ولا تقارن تنبؤاً يومياً للتباين بين إغلاقين بمقياس محقق يستبعد فترة الليل إلا إذا كان هذا هو الهدف المقصود.

احتفظ بقيم المقياس البديل وتنبؤات كل النماذج عند تواريخ التقييم نفسها. وإذا لم يصدر أحد النماذج تنبؤاً لتاريخ ما، فحدّد عينة مشتركة أو قاعدة مبررة للبيانات المفقودة مسبقاً. فمقارنة متوسطات حُسبت على تواريخ مختلفة قد تخلط بين أداء النماذج واختلاف ظروف السوق التي واجهها كل نموذج

تُحسب خسارة الخطأ التربيعي لمقياس تباين بديل غير سالب xₜ وتنبؤ موجب بالتباين hₜ كما يلي:

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

وخسارة QLIKE هي:

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

الدرجات الأقل أفضل. وتُكتب QLIKE أحياناً بصيغة النسبة xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1 عندما تكون xₜ موجبة. تختلف الصيغتان بحد يعتمد على المقياس المرصود لا التنبؤ، لذا تعطيان الترتيب نفسه عند استخدام عينة مشتركة. كما تظل صيغة log(hₜ) معرّفة عندما تكون xₜ صفراً، ما دام hₜ موجباً. يعرّف Patton خسائر التباين بهذه الصورة ويدرس سلوكها عند استخدام مقاييس بديلة غير كاملة (Patton، 2011).

ترتبط QLIKE بدرجة الاحتمال شبه الغاوسية لتنبؤات التباين (Hansen وLunde، 2005). ولا تثبت هذه الصلة أن العوائد غاوسية، كما أن انخفاض الدرجة لا يؤكد صحة افتراضات التوزيع في النموذج. أما الخطأ التربيعي فيقيس مربع الفرق المطلق بين المقياس البديل والتنبؤ. المهم هو اختيار قاعدة التقييم التي تلائم هدف المقارنة وافتراضات المقياس

تقاس خسارة الخطأ التربيعي بوحدات التباين المربعة، وتزداد سريعاً كلما اتسع الفرق بين المقياس البديل والتنبؤ. لذلك قد تهيمن بضع قيم بديلة كبيرة جداً على المتوسط. وقد يكون ذلك مناسباً عندما تستحق الأخطاء المطلقة الكبيرة في التباين تكلفة أعلى بكثير، لكنه يجعل النتيجة حساسة للقيم المتطرفة.

ضرب xₜ وhₜ في ثابت التحويل الموجب نفسه c يضيف log(c) إلى log(hₜ) + xₜ/hₜ. وهذه الإضافة مشتركة بين جميع التنبؤات التي تُقيَّم على عينة البروكسي نفسها، لذا لا يتغير ترتيبها؛ أما القيمة المطلقة للحد اللوغاريتمي فتعتمد على الوحدة المختارة. وتعكس QLIKE نسبة التنبؤ إلى البروكسي عبر xₜ/hₜ ومقياس hₜ عبر log(hₜ). فعندما يكون التنبؤ أصغر بكثير من بروكسي كبير، يرتفع حد النسبة سريعاً. كما تزداد تكلفة المبالغة في التنبؤ مع ارتفاع log(hₜ)، لكن بوتيرة أبطأ عند مقارنة أخطاء نسبية متقاربة. وQLIKE ليست خسارة مقاومة للقيم المتطرفة؛ فالبروكسي المتطرف يظل مؤثراً من خلال xₜ/hₜ.

لا تتفوق أي من الخسارتين في كل قرار. يمنح الخطأ التربيعي وزناً أكبر للأخطاء المطلقة الكبيرة بوحدات التباين، بينما تتعامل QLIKE مع الخطأ النسبي بطريقة مختلفة. ونتيجة Patton بشأن متانة الترتيب أمام ضوضاء المقياس لا تعني أن هاتين الخسارتين ترتبان النماذج بالطريقة نفسها أو أنهما محصنتان ضد القيم المتطرفة

لنفترض أن مقاييس التباين المرصودة هي x = [1, 4] bp². يتنبأ النموذج A بالقيم hᴬ = [1, 1] bp²، ويتنبأ النموذج B بالقيم hᴮ = [4, 2] bp². الأرقام افتراضية وغرضها توضيح كيف يمكن للخسارة أن تغيّر الترتيب.

ترجّح MSE النموذج A؛ فمتوسط درجته 4.5 bp⁴ مقابل 6.5 bp⁴ للنموذج B. أما QLIKE فترجّح النموذج B؛ إذ يبلغ متوسطها نحو 2.165 مقابل 2.5 للنموذج A. توضح هاتان الفترتان الحساب فقط. فهما أقصر من أن تقدّرا عدم اليقين أو تثبتا تفوق تنبؤ، ولا تقولان شيئاً عن استراتيجية تداول <!-- learn:illustration -->

قد يحتوي مقياس التقلب البديل على ضوضاء مع بقائه غير متحيز شرطياً. لنفترض أن E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ، حيث Fₜ₋₁ هي المعلومات المتاحة عند إصدار التنبؤ. ويكون التباين الشرطي لخسارة الخطأ التربيعي المتوقعة لتنبؤ hₜ المصنوع باستخدام تلك المعلومات:

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

لا يتوقف حد التباين على التنبؤ الجاري تقييمه. لذا يرفع خسارة MSE المتوقعة لكلا التنبؤين بالمقدار نفسه ويلغى عند مقارنة الخسارتين المتوقعـتين. أما في QLIKE، فيترتب على عدم التحيز الشرطي:

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

وهذه هي الدرجة التي نحصل عليها باستخدام التباين الكامن بدلاً من المقياس البديل. وفق هذه الشروط، تحافظ كل خسارة على الترتيب المتوقع للتنبؤات المتنافسة قياساً إلى الهدف الكامن. ويسمي Patton (2011) ذلك متانة ترتيب التنبؤات أمام المقياس البديل؛ والمقصود ضوضاء الترتيب المتوقع، لا مقاومة القيم المتطرفة.

تفترض النتيجة استخدام مجموعة المعلومات الشرطية نفسها، ومقياساً بديلاً غير متحيز شرطياً، وتنبؤات موجبة لاستخدام QLIKE، وخسائر متوقعة محدودة. ولا تعني أن MSE وQLIKE ترتبان النماذج بالطريقة نفسها. ففي مثال الفترتين، تُحسب كل خسارة من المشاهدات المشوشة نفسها، لكن كل خسارة تمنح أخطاء التنبؤ وزناً مختلفاً

ثبات الترتيب المتوقع لا يضمن أن تعطي كل عينة مرصودة ترتيب التباين الكامن نفسه. تضيف ضوضاء المقياس تبايناً إلى الخسائر المرصودة وقد تخفض قوة اختبار مقارنة التنبؤات. وقد ترتب فترة تقييم قصيرة النماذج على نحو مختلف لمجرد أن بعض القيم البديلة جاءت مرتفعة أو منخفضة على نحو غير معتاد، حتى مع تحقق عدم التحيز الشرطي في المتوسط.

ويزول الضمان أيضاً إذا كان المقياس متحيزاً شرطياً للهدف المحدد. فقد يتأثر التباين المحقق عالي التواتر بقفزات العرض والطلب، والاقتباسات القديمة أو غير المتزامنة، وتواتر أخذ العينات، وإغفال عوائد الليل. وقد لا يكون المقياس الموجه إلى التباين المتكامل خلال الجلسة غير متحيز للتباين الشرطي بين الإغلاقين. يناقش دليل حساب التقلب المحقق خيارات بناء القياس، ويشرح دليل التباين المحقق بمقياسين مقدِّراً واحداً صُمم لمعالجة بعض ضوضاء البنية المجهرية في البيانات عالية التواتر. ويوثق Hansen وLunde (2006) أثر ضوضاء البنية المجهرية في قياس التباين المحقق.

لكلمة «متين» معنى محدد هنا: إذا كان المقياس البديل غير متحيز شرطياً، حُفظ الترتيب المتوقع. ولا تعني أن درجة العينة تتجاهل القيم المتطرفة، أو أن كل قياس للتقلب المحقق غير متحيز، أو أن المقارنة محمية من اختلاف الهدف. اذكر ما الذي يقيسه المقياس والافتراضات التي تربطه بـvₜ

للتنبؤين hᴬₜ وhᴮₜ المثبتين عند نقطة التنبؤ نفسها، يكون فرق MSE المتوقع E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². وبشرط البروكسي نفسه، يكون فرق QLIKE المتوقع log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. توضح العبارتان ما تزيله متانة الترتيب أمام البروكسي: الضوضاء الإضافية في الدرجة المتوقعة. ومع ذلك، يظل التنبؤان محل مقارنة مختلفين لأن MSE وQLIKE يفرضان تكاليف مختلفة للأخطاء.

بعد اختيار الدرجة، احسب فرق الخسارة المزدوجة عند كل تاريخ تنبؤ مشترك. إذا عرّفنا dₜ = L_A,ₜ − L_B, فإن متوسطاً موجباً يرجّح B لأن خسارته أقل. يختبر إطار Diebold–Mariano ما إذا كان متوسط الفرق المتوقع يساوي صفراً باستخدام سلسلة الفروق المزدوجة؛ لكنه لا يختار بين QLIKE وMSE ولا يحدد الهدف الذي ينبغي اعتماده. يشرح دليل Diebold–Mariano إطار الاستدلال الأوسع.

إذا تداخلت تنبؤات الآفاق المتعددة أو وجدت علاقة تسلسلية أخرى بين فروق الدرجات، فاستخدم خطأً معيارياً يراعي الاعتماد، مثل تقدير HAC الملائم. يقدم Newey وWest (1987) مقدّراً لمصفوفة تغاير HAC موجب شبه محدد. اذكر الأفق وتواريخ التقييم وإشارة فرق الخسارة وطريقة التغاير، والنواة وعرض النطاق عند الحاجة. ولا يعالج انخفاض القيمة الاحتمالية للاختبار مشكلة مقياس متحيز أو لا يطابق الهدف

استخدم تصميماً زمنياً خارج العينة واحفظ التنبؤات التي كان كل نموذج سيصدرها فعلياً عند كل تاريخ. ثبّت الهدف وطريقة بناء المقياس البديل والأفق والوحدة والعينة المشتركة والخسارة قبل النظر إلى النموذج صاحب الدرجة الأفضل. وسجّل نوافذ التقدير وقواعد إعادة التقدير والتواريخ المفقودة وما إذا كانت فترة التقييم استُخدمت مراراً لضبط النماذج. وإذا قارنت MSE وQLIKE معاً ولم تعرض إلا الفائز، فأفصح عن هذا الاختيار بدلاً من عرضه كاختبار واحد محدد مسبقاً.

أبلغ عن متوسط خسارة كل نموذج وفرق الخسارتين المزدوجتين وحجم العينة وتعريف المقياس البديل وطريقة الاستدلال. تتطلب QLIKE أن يكون hₜ موجباً؛ لذا حدّد أي حد أدنى للتنبؤ قبل التقييم، لأن هذا الحد قد يغيّر الدرجات. افحص الحساسية لاختيارات مبررة للمقياس البديل وأخذ العينات، مع توضيح أن تجربة اختيارات عديدة تنشئ بدورها مشكلة انتقاء.

تقيس خسارة التقلب الأقل أداء التنبؤ وفق الدرجة والمقياس المختارين. ولا تثبت أن متنبئاً يسبب التقلب، أو أن العوائد غاوسية، أو أن استراتيجية تستخدم التنبؤ ستحقق أرباحاً بعد فروق الأسعار والرسوم والانزلاق وتكاليف التمويل وقيود المخاطر. قيّم مهارة التنبؤ ونتائج التداول بوصفهما ادعاءين منفصلين