شرح مشتقة رادون–نيكوديم في التمويل

يكون Q مستمرًا مطلقًا بالنسبة إلى P، ويكتب Q ≪ P، عندما يكون كل حدث صفري تحت P صفريًا أيضًا تحت Q

تقدم مبرهنة رادون–نيكوديم عندئذ كثافة غير سالبة Z = dQ/dP، فريدة حتى مجموعات P الصفرية

إذا كان P وQ متكافئين، يكون كل منهما مستمرًا مطلقًا بالنسبة إلى الآخر، ويتفقان على الأحداث المستحيلة

لكل حدث A، لدينا Q(A) = E_P[Z 1_A]. وبالنسبة إلى مقاييس الاحتمال، E_P[Z] = 1

ترفع قيم Z الأكبر من واحد الوزن النسبي لنتيجة تحت Q، بينما تخفضه القيم الأصغر من واحد

لا تمثل Z مشتقة بالنسبة إلى الزمن أو السعر، بل كثافة قياس بالنسبة إلى قياس آخر

بالنسبة إلى مردود X قابل للتكامل، E_Q[X] = E_P[ZX]، مع استيفاء شروط التكامل المطلوبة

تغيّر هذه الهوية الأوزان لا المردود أو فضاء العينات. فالنتيجة X نفسها تُؤخذ لها متوسطات مختلفة

عندما يكون القياسان متكافئين وتكون Z موجبة، يتحقق dP/dQ = 1/Z تقريبًا في كل مكان تحت Q، كما تتبع تغييرات الكثافة قاعدة السلسلة

في نموذج حالات محدود، Z_s = q_s/p_s عندما يكون p_s موجبًا، ومن ثم q_s = p_s Z_s

هذا هو المنطق نفسه في أخذ عينات الأهمية: تُسحب العينات من توزيع وتُصحح المتوسطات بنسبة ترجيح

قد تركز الكثافات شديدة التغير الوزن في حالات قليلة، فتنتج تقديرات مونت كارلو غير مستقرة رغم دقة الهوية

مع كثافة نهائية Z_T، عرّف Z_t = E_P[Z_T | F_t]. وهذه العملية مارتينجال غير سالبة تحت P

تستوفي التوقعات الشرطية E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t عندما تكون Z_t موجبة

يهم الترشيح لأن Z_t تسجل الجزء من إعادة الوزن النهائية الظاهر بالمعلومات المتاحة حتى الزمن t

تبحث نماذج تسعير الأصول عن قياس Q مكافئ تصبح تحته الأسعار المتداولة المخصومة على النحو الصحيح مارتينجالات أو مارتينجالات محلية

تصف مبرهنة جيرسانوف كيف تغيّر الكثافة انجراف براون مع الحفاظ على عدم يقين الانتشار والأحداث الصفرية

ومع وحدة قياس سوق النقد يمكن كتابة عامل الخصم العشوائي على أنه الخصم مضروبًا في dQ/dP في ظل افتراضات مناسبة

Q المحايد للمخاطر قياس تسعير، وليس بالضرورة توقعًا لتواترات العالم الحقيقي تحت P

يجب أن تكون الكثافة المقترحة غير سالبة، وتتكامل إلى واحد، وتحترم الترشيح، وتجعل الأصول المخصومة المقصودة مارتينجالات

أبلغ عن القياسين الأساسي والمستهدف ووحدة القياس والأفق واتفاقية الكثافة والتكامل والتشخيصات العددية قبل استخدام التوقعات المحوّلة