شرح شرطي نوفيكوف وكازاماكي

بالنسبة إلى مارتينجال محلي مستمر M، يكون الأس العشوائي له Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

إن Z مارتينجال محلي موجب، ولذلك فهو مارتينجال فائق، ومن ثم يمكن أن ينخفض E[Z_t] عن قيمته الابتدائية واحدا

إذا فُقدت الكتلة، فلا يستطيع Z_T أن يعمل كثافة احتمالية من دون تغيير البناء المقصود

تتطلب كثافة أفق محدود Z_T ≥ 0 و E[Z_T] = 1، مع إعطاء عملية الكثافة بالتوقعات الشرطية

يضبط التكامل المنتظم العائلة عبر الأفق ويدعم تغييرات المقياس المتسقة عند أزمنة التوقف

إن كتابة تعبير أسي ليست برهانا على أنه يتطبع إلى واحد أو يعرّف مقياسا مكافئا

من معايير نوفيكوف الشائعة E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ لأفق ثابت محدود T

عندما يكون M = ∫θ_s dW_s، يكون القوس ∫₀ᵀθ_s²ds، ولذلك يطلب الاختبار قابلية التكامل الأسية لتحول الانجراف التراكمي المربع

المعيار مريح لأنه يستخدم التغاير التربيعي، لكنه قد يكون أقوى من اللازم

تضبط معايير من نوع كازاماكي exp(M/2)، غالبا عبر شرط مارتينجال فائق أو تكامل منتظم على أزمنة التوقف

يمكنها إثبات خاصية المارتينجال الحقيقي في حالات تكون فيها لحظة القوس الأسية لنوفيكوف لا نهائية

تختلف الصياغات الدقيقة باختلاف الأفق وإصدار المبرهنة، لذلك يجب التصريح بالمعيار المنقول واصطلاح الإشارة

كلا الشرطين اختباران كافيان، وليسا تعريفين ولا شرطين ضروريين عموما

إذا فشل نوفيكوف، فقد ينجح كازاماكي أو التذبذب المتوسط المحدود أو حسابات التوقع المباشرة أو حجج خاصة بالنموذج

إذا فشلت كل الاختبارات المريحة، فلا يجوز افتراض خاصية المارتينجال؛ إذ يظل سلوك المارتينجال المحلي الصارم ممكنا

غالبا ما تستخدم تغييرات انجراف غيرسانوف والكثافات المحايدة للمخاطر أسّا عشوائيا مبنيا على سعر المخاطر

إذا كان الأس مارتينجالا محليا صارما لا مارتينجالا حقيقيا، فقد يكون مقياس التسعير المقترح معيبا أو غير متسق عبر الآفاق

تظهر المسألة أيضا في مقدرات نسبة الاحتمال والترشيح والثنائية المنفعية والنماذج ذات السلوك الشبيه بالفقاعة

لا يلزم أن يعطي شرط صالح لكل T محدود تكاملا منتظما على أفق لا نهائي

يثبت التوطين هويات محلية، لكنه لا يعيد وحده التوقع المفقود عند أخذ النهايات

تحتاج الأسس ذات القفزات إلى معايير واعية بالقفزات للإيجابية وقابلية التكامل؛ ولا ينبغي نسخ صيغة نوفيكوف المستمرة دون تغيير