اختبارات انحياز الإشارة والحجم لـ Engle–Ng في نماذج التقلب

قد يلتقط النموذج تجمع أحجام العوائد، لكنه يفوّت اختلاف أثر الصدمات على التباين اللاحق. فـGARCH المتماثل يعطي صدمتين متساويتين في الحجم، موجبة وسالبة، الأثر نفسه. إذا بقي نمط مختلف في البواقي المعيارية بعد الصدمات الموجبة والسالبة، فقد يكون هذا القيد قوياً أكثر مما يلائم العينة.

تطرح اختبارات Engle–Ng المسألة بوصفها تشخيصاً بعد التقدير: هل تفسر إشارة الابتكار السابق أو حجمه ضمن الفرع السالب أو الموجب مربع الباقي المعياري الحالي؟ عرّفت الورقة الأصلية منحنى أثر الأخبار وطبّقت الاختبارات عند مقارنة نماذج التقلب باستخدام عوائد أسهم يابانية يومية. نتائج ترتيب النماذج تخص تلك العينة، ولا تعني أن نموذجاً واحداً يتفوق في كل سوق (Engle وNg، 1993).

تعني كلمة «انحياز» هنا نمطاً متعلقاً بإشارة الصدمة أو حجمها لم يفسره نموذج التباين؛ ولا تعني انحياز مقدّر المعلمات إحصائياً. ابدأ بتحديد نموذج GARCH، ثم استخدم الاختبارات لتقييم ملاءمة استجابته للغرض والعينة.

اكتب العائد على الصورة التالية:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

حيث \(\mu_t\) المتوسط الشرطي و\(\epsilon_t\) الابتكار بعد تقدير معادلة المتوسط. و\(h_t\) هو التباين الشرطي المقدّر؛ ويقيس الباقي المعياري الابتكار نسبةً إلى مقياس التباين الذي يتوقعه النموذج.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

إذا كان نموذج التباين ملائماً، فلا ينبغي أن يكون \(\hat z_t^2\) أكبر أو أصغر بصورة منتظمة بعد صدمات سابقة معينة، بعد احتساب ما يفسره النموذج. استخدام الباقي المعياري المربع يزيل مقياس التباين المقدّر؛ أما مربع الباقي الخام فقد يحتفظ بتجمع التقلب المعتاد. يلزم تحديد معادلة متوسط معقولة، وتعريف الباقي والتباين والعينة والوحدات قبل تفسير قيمة p.

عرّف مؤشراً للابتكار السابق السالب ومتمّمه:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

متغير اختبار انحياز الإشارة هو \(S^-\)، ومتغير الحجم السالب هو \(S^-\hat\epsilon\)، ومتغير الحجم الموجب هو \(S^+\hat\epsilon\). وهي تختبر أسئلة مختلفة: هل تختلف الاستجابة بحسب الإشارة وحدها؟ وهل يضيف حجم الصدمة داخل كل فرع معلومات؟ حدّد قاعدة تصنيف الابتكار الصفري ووحدته؛ فمعاملات الحجم تعتمد على الوحدات.

يلخص منحنى أثر الأخبار كيف تربط صياغة النموذج صدمة جديدة بالتباين التالي مع تثبيت مدخلات الحالة الأخرى. يكون منحنى GARCH المتماثل متمركزاً حول الصفر، بينما تخفف الصيغ غير المتماثلة هذا القيد. المنحنى قيد نمذجة، لا أثر سببي مرصود مباشرة في السوق.

\(\mathbf z_{ot}^*\) هو متجه المشتقات المعيارية للتباين الشرطي المحتفَظ به بالنسبة إلى معلمات الإزعاج، محسوبة تحت فرضية العدم. هذه حدود للمشتقة/درجة الاحتمال، وليست بالضرورة متغيرات الانحدار الخام للتباين. وتختبر الانحدارات المساعدة إضافة حد إشارة أو حجم مع الإبقاء على هذه الحدود.

يسأل الاختبار هل تتنبأ إشارة الابتكار السابق بمربع الباقي المعياري الحالي مع الاحتفاظ بحدود فرضية العدم الأخرى. والانحدار المساعد هو:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

فرضية الاختبار الفردي \(b_s=0\). في التطبيق الكامل، تُحتفظ حدود النموذج المحدد في الاختبار ويُفحص ما إذا كان المؤشر يضيف تفسيراً. إذا كان المعامل معنوياً، فهذا دليل على اختلاف نمط البواقي بعد صدمة سالبة عن نمطها بعد صدمة غير سالبة، شرط النموذج المقدّر.

لا يعني ذلك أن العوائد السالبة تزيد التقلب دائماً، ولا يحدد آلية سببية أو كل استجابة غير خطية ممكنة. الرفض سبب لفحص النموذج والبيانات.

يركز هذا الاختبار على الفرع السالب ويسأل إن كان حجم الابتكار يفسر نمطاً متبقياً:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

فرضية العدم الفردية \(b_-=0\). لأن الابتكار سالب عندما يكون المؤشر واحداً، يعتمد تفسير إشارة المعامل على قاعدة الإشارة والوحدات. الاختبار يبحث عن معلومات إضافية في حجم الصدمة لا يلتقطها النموذج؛ ولا يثبت أثراً سببياً للأخبار السيئة أو تحسناً في التنبؤ.

وتنبه الأدبيات إلى أن الارتباط بين حدود الانحدار قد يجعل فصل مساهمة كل حد صعباً؛ لذا لا تفسر دلالة أحد المعاملات بمعزل عن صيغة الاختبار الكاملة.

تُناقش مواصفات التباين غير المتماثلة في أبحاث مرتبطة، ومنها نموذج GJR؛ لكن المقارنة تجريبية ومحدودة ببياناتها وافتراضاتها (Glosten وJagannathan وRunkle، 1993).

<!-- learn:illustration -->

يفحص الاختبار المقابل فرع الابتكارات الموجبة:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

فرضية العدم هي \(b_+=0\). قد يكون هذا الاختبار معنوياً حتى لو لم يكن اختبار الإشارة كذلك: قد يختلف الأثر مع الحجم داخل فرع واحد دون فرق متوسط بين الإشارتين.

لا يعني «انحياز الحجم الموجب» أن العوائد الموجبة ترفع أو تخفض التقلب بالضرورة. EGARCH عند Nelson ونموذج العتبة عند Zakoian مثالان على صيغ تسمح باستجابات غير متماثلة؛ وهما بدائل للفحص لا إجابات تلقائية أو نماذج متفوقة دائماً.

تسمح نماذج EGARCH عند Nelson ونماذج العتبة عند Zakoian بديناميات تباين غير متماثلة، لكنها تظل بدائل تحتاج إلى تقييم (Nelson، 1991؛ Zakoian، 199490039-6)).

يمكن اختبار المتغيرات الثلاثة في انحدار مساعد واحد:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

فرضية العدم المشتركة \(b_1=b_2=b_3=0\). في ظل النموذج المحتفظ به وشروط العينة الكبيرة، يقارن اختبار LM المشترك asymptotically بتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية 3. صيغة شائعة هي \(LM=M R^2\)، حيث \(M\) عدد الصفوف المستخدمة و\(R^2\) من الانحدار المحدد؛ يجب اتباع الصيغة وقواعد العينة المحدودة في التنفيذ المختار.

يوضح Engle وNg أن حذف \(\mathbf z_{ot}^*\) من الانحدار المشترك يجعل الاختبار محافظاً: لا يتجاوز حجمه المستوى الاسمي، وقد تنخفض قوته.

مثال افتراضي بحت: إذا كان \(M=400\) و\(R^2=0.012\)، فـ\(LM=4.8\). والقيمة الحرجة التقريبية عند 5% لتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية 3 هي 7.81؛ لذا لا نرفض هنا. هذه أرقام توضيحية وليست نتيجة تجريبية أو إثباتاً للتماثل.

القيمة الصغيرة لـp تدعم فحص نمط متبقٍ محدد، لكنها لا تختار نموذجاً بديلاً ولا تثبت آلية الرافعة أو القيمة الاقتصادية للتنبؤ. عدم الرفض يعني أن الاختبار لم يكتشف النمط في هذه العينة؛ ولا يثبت التماثل.

قد ترتبط المتغيرات المساعدة، وخصوصاً مؤشر الإشارة وحد الحجم السالب، فيضعف ذلك قدرة الاختبارات الفردية. تتأثر القدرة بحجم العينة وتقدير النموذج والمواصفة المحتفظ بها. وتجربة أصول ونماذج وفترات كثيرة تزيد احتمال ظهور قيمة p صغيرة بالمصادفة.

تؤثر القيم الشاذة والقفزات والانقطاعات الهيكلية وحدود المتوسط المحذوفة ووحدات الابتكار غير المتسقة. وثّق التعريفات والعينة وقواعد الاستدلال مسبقاً، واذكر حدود التقريب asymptotic؛ وفكر في إعادة المعاينة المناسبة عند الحاجة.

يسأل اختبار ARCH LM عما إذا كانت مربعات البواقي المتأخرة تفسر مربع الباقي الحالي؛ راجع دليل ARCH-LM. يختبر Engle–Ng حدوداً محددة للإشارة والحجم. أما اختبار Ljung–Box فيفحص الارتباط الذاتي للبواقي، وهو سؤال مختلف.

بعد الرفض، يمكن تقدير صيغة غير متماثلة مثل GJR-GARCH أو EGARCH ثم إعادة فحص البواقي وتقييم التنبؤ منفصلاً. QLIKE والخطأ التربيعي يقيّمان التنبؤ بعد إنتاجه ولا يحلان محل تشخيص البواقي.

عند استخدام توقع التقلب في قاعدة تداول، قيّمها خارج العينة بعد الرسوم والسبريد وأثر السوق والتمويل وحدود المخاطر. لا تمثل اختبارات انحياز الإشارة والحجم إشارة شراء أو بيع.