اختبار ARCH LM واكتشاف تكتل التقلب

قد تكون عوائد الأصل غير قابلة للتنبؤ من حيث الإشارة، بينما تتجمع أحجام تحركاتها الكبيرة أو الهادئة عبر الزمن. يسأل اختبار ARCH LM عمّا إذا كانت مربعات ابتكارات النموذج السابق مرتبطة بقيمها المتأخرة، وهو نمط يتسق مع تأثيرات ARCH حتى رتبة مختارة q.

طرح روبرت إنغل الاختبار ضمن عمله على التباين المشروط المتغير زمنيًا؛ انظر دراسة إنغل الأصلية لعام 1982 ومحاضرته لنوبل عن ARCH. لا يختبر هذا الإجراء اتجاه العائد، ولا يحدد سبب الاعتماد، ولا يثبت أن نموذج GARCH بعينه صحيح، ولا ينشئ إشارة تداول.

قدّر أولًا معادلة مناسبة لمتوسط العائد، ثم احسب بواقيها أو ابتكاراتها e_t. تعتمد صلاحية التشخيص على أن تمثل هذه البواقي المفاجآت التي لم تفسرها معادلة المتوسط بصورة معقولة.

إذا أغفلت المعادلة ديناميكيات المتوسط أو متغيرات مهمة، فقد تبقى بنية في البواقي وتُفسر خطأً على أنها اعتماد في التباين. هذا الاختبار يفحص البواقي بعد اختيار نموذج المتوسط؛ وهو يختلف عن شرح انحدار OLS نفسه، ويمكن مراجعة دليل انحدار OLS لمناقشة المعادلة والافتراضات.

بعد تقدير معادلة المتوسط، استخدم مربعات البواقي في انحدار مساعد على ثابت ومربعاتها المتأخرة. الصيغة هي:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

الفرضية الصفرية هي H0: a_1 = ... = a_q = 0؛ أي إن مربعات الابتكارات المتأخرة لا تضيف ارتباطًا خطيًا جماعيًا وفق هذا الانحدار ورتبته q. البديل هو أن واحدًا على الأقل من هذه المعاملات لا يساوي صفرًا.

في ظل شروط العينة الكبيرة المعتادة، تكون إحصائية المضاعف اللاغرانجي LM=M*R^2 موزعة تقريبًا كـχ²(q). هنا M هو عدد الصفوف القابلة للاستخدام في الانحدار المساعد بعد محاذاة الإبطاءات، وليس بالضرورة عدد المشاهدات الأصلي.

لنفترض، على سبيل المثال الافتراضي تمامًا، أن q=5 وM=300 وR²=0.018. عندئذ LM=5.4. والقيمة الحرجة عند مستوى 5% لتوزيع χ²(5) تقارب 11.07، لذا لا نرفض H0 عند 5% في هذا المثال.

عدم الرفض يعني أن هذه العينة وهذا التحديد لا يقدمان دليلًا كافيًا ضد الفرضية الصفرية عند ذلك المستوى. لا يثبت ذلك ثبات التباين، ولا يستبعد اعتمادًا عند رتبة أخرى، ولا يتنبأ بما ستفعله العوائد مستقبلًا.

تحدد q عدد الإبطاءات التي يفحصها الاختبار. رتبة قصيرة قد تفوّت اعتمادًا أبطأ، ورتبة طويلة تستهلك صفوفًا بسبب محاذاة الإبطاءات وتضيف معاملات، ما قد يجعل النتيجة أقل استقرارًا في عينة محدودة.

اربط الاختيار بتواتر البيانات وسؤال التحليل، وسجّل سبب اختيار q. من المفيد عرض حساسية النتيجة لعدد قليل من الرتب المعقولة بدل انتقاء الرتبة التي تعطي أصغر قيمة احتمالية. اختبار رتب كثيرة ثم الإبلاغ عن نتيجة واحدة يضيف مشكلة تعدد الاختبارات.

يفحص اختبار McLeod–Li الارتباط الذاتي في مربعات البواقي عبر مجموعة إبطاءات؛ راجع دراسة McLeod وLi. وهو فحص تكميلي لفكرة الاعتماد في حجم الأخطاء، وليس دليلًا على أن عوائد الاتجاه قابلة للتنبؤ.

يمكن أن تختلف نتائج الاختبارات بسبب طريقة بنائها، ورتب الإبطاء، وحجم العينة. لا يحدد أي منهما وحده سبب الاعتماد، ولا يثبت أن النمط اقتصادي بدل أن يكون ناتجًا عن قياس أو تغير في النظام.

قد تؤثر ديناميكيات متوسط مغفلة، أو قيمة متطرفة، أو انقطاع هيكلي، أو ذيول ثقيلة، أو عينة قصيرة في اختبار قائم على تقريب العينة الكبيرة. كما أن تغيير نافذة التقدير أو رتبة الإبطاء قد يغير النتيجة.

افحص توقيت البيانات وبواقي معادلة المتوسط والاستقرار عبر الفترات، واذكر العينة والرتبة ومستوى الاختبار. إذا قارنت رتبًا أو نماذج كثيرة، فصرّح بذلك؛ قيمة احتمالية منفردة لا تلخص عدم اليقين الناتج من عملية البحث.

إذا ظهر دليل على اعتماد في مربعات البواقي، فقد يكون ARCH أو GARCH مرشحًا لنمذجة التباين الشرطي. لكنه مجرد نموذج مرشح، لا نتيجة يفرضها الاختبار. ابدأ بـدليل تكتل التقلب ونماذج GARCH، ثم افحص بواقي النموذج الجديد وجودة توقعات التباين خارج العينة.

اختبار ARCH LM لا يختار خطأً معياريًا لاستدلال معاملات الانحدار؛ فهذا سؤال مختلف عن بنية التباين الشرطي. راجع دليل الأخطاء المعيارية المتينة والتباين غير المتجانس عند اختيار طريقة للتباين المشترك للمعاملات.