شرح صيغة دينكين للعمليات العشوائية

بالنسبة إلى عملية ماركوف متجانسة زمنيًا X، يعمل المولد L على دالة اختبار f، لا على مسار محقق واحد مباشرةً

شكليًا، Lf(x) هو حد قصير الزمن لـ E_x[f(X_h)] ناقص f(x)، مقسومًا على h

يهم مجاله، إذ تعتمد حدود التكامل والنعومة المطلوبة على العملية وصيغة المبرهنة

لـ t حتمي، تكون الصيغة الأساسية E_x[f(X_t)] = f(x) + E_x[∫₀ᵗ Lf(X_s) ds]

الطرف الأيسر توقع على أفق منتهٍ، بينما يضيف الطرف الأيمن القيمة الابتدائية إلى التغير المحلي المتوقع المتراكم

هذا نظير عشوائي لتكامل مشتقة، لكن L يشمل آثار الانجراف والانتشار والقفزات المحتملة

في شروط مناسبة يمكن استبدال t بزمن إيقاف τ، مثل أول خروج من منطقة

وعندئذ تصبح أحداث الحدود ومسائل زمن الوصول هويات توقع تتضمن المولد قبل τ

أخذ العينة الاختياري ليس تلقائيًا: يجب أن يبرر التحديد أو التوطين أو التكامل المنتظم أو شرط آخر التوقع الموقوف

العملية M_t = f(X_t) - f(X_0) - ∫₀ᵗ Lf(X_s) ds هي مارتينجال محلي تحت شروط المجال المناسبة

يؤدي أخذ التوقعات المبرر إلى إزالة زيادة المارتينجال وينتج صيغة دينكين

في انتشار إيتو تحدد صيغة إيتو المولد من الانجراف والتغاير، ولذلك تتوافق النتيجتان بدل أن تتنافسا

تُصمَّم دالة القيمة المخصومة بحيث لا تحقق مكسبًا متوقعًا تحت قياس التسعير عندما تتحقق شروط النموذج والمطالبة

يؤدي تطبيق صيغة دينكين على تلك القيمة إلى إلغاء متبقي المولد ذي الصلة في منطقة الاستمرار

وهذا أحد الطرق للانتقال من التوقعات المحايدة للمخاطر إلى معادلات التسعير الخلفية، ومن التوقعات الموقوفة إلى مسائل القيم الحدية

يمكن لاختيار f(x) = x أو x² أو كثير حدود آخر اشتقاق معادلات للعزوم عندما تغلق حدود المولد الناتجة

ويمكن لاختيار دالة لياپونوف بدلًا من ذلك وضع حدود لاحتمالات الخروج أو أزمنة الإيقاف المتوقعة أو الاستقرار طويل الأجل

لا تختار الصيغة f نيابةً عنك؛ تأتي الفكرة من اختيار دالة يكشف مولدها الكمية المطلوبة

قد تبطل الدوال غير المحدودة والعمليات المتفجرة والحدود غير المنتظمة وأزمنة الإيقاف اللانهائية خطوة التوقع العرضية

تستخدم عمليات القفز مولدًا يتضمن حدًا تكامليًا، بينما تضيف النماذج غير المتجانسة زمنيًا مشتقة زمنية أو حالة موسعة

اذكر العملية ومجال المولد وقاعدة الإيقاف وشروط التكامل قبل اعتبار الهوية اختصارًا عدديًا