DCC-GARCH: تقدير الارتباط المتغير زمنياً بين الأصول

مصفوفة التغاير ليست مجرد قائمة بالعلاقات طويلة الأجل. فقد يحتاج المستثمر عند وقت قرار معيّن إلى التباين الشرطي لكل عائد وإلى التغاير الشرطي بين كل زوج، استناداً إلى المعلومات المتاحة حتى ذلك الوقت. وإذا تغير التقلب والتحرك المشترك، فإن مصفوفة واحدة محسوبة على كامل العينة تمزج فترات الهدوء والضغط والتحولات المحتملة.

DCC-GARCH طريقة تسمح لمصفوفة الارتباط الشرطي بالتطور مع إبقاء النموذج مقتصداً. يقترح بحث روبرت إنغل لعام ٢٠٠٢ مواصفة للارتباط الشرطي الديناميكي تجمع نماذج التقلب أحادية المتغير مع تكرار ارتباط قليل المعلمات (Engle، 2002). وهذا يعالج مشكلة عملية: فالنموذج غير المقيد بالكامل يحتاج إلى عدد كبير من المعلمات كلما اتسع نطاق الأصول.

يفيد هذا الأسلوب حين يكون السؤال عن تغير الاعتماد الشرطي بين الأصول بعد السماح لكل سلسلة بتقلبها الخاص. لكنه لا يحدد سبب تحرك الأصول معاً. للاطلاع على مدخل أبسط إلى التباين المتغير زمنياً في سلسلة واحدة، راجع تكتل التقلب وGARCH. ولمعرفة ارتباطات أزواج العملات وحدود تفسيرها على أنها تعرض مشترك، راجع ارتباط أزواج الفوركس.

لتكن \(r_t\) متجه عوائد \(N\) أصول، و\(\mu_t\) متوسطها الشرطي، ولتكن الابتكارات \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). يفكك DCC مصفوفة التغاير الشرطي كما يلي:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

حيث تمثل \(\mathcal{F}_{t-1}\) المعلومات المتاحة قبل رصد الزمن \(t\)، وتحتوي \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) على الانحرافات المعيارية الشرطية، بينما \(R_t\) مصفوفة الارتباط الشرطي.

يمكن نمذجة \(\sigma_{i,t}^2\) لكل أصل بمعادلة من عائلة GARCH أحادية المتغير، مثلاً:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

تجيب هذه المعادلة الهامشية عن كيفية تغير مقياس ابتكار الأصل \(i\) تبعاً لتاريخه. ولا تعني أن ارتباطه بالأصل \(j\) يتغير. وبالمثل، لا يعني تغير \(R_t\) وحده أن تقلب أي من الأصلين يرتفع. ويجمع التغاير التأثيرين:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

قد يرتفع التغاير مع ثبات \(\rho_{ij,t}\) إذا ارتفع تقلب أحد الأصلين أو كليهما. يحاول DCC تقدير التغير المتبقي في الارتباط الشرطي على نحو منفصل بعد نمذجة التقلبات الهامشية. وهذا يميّزه عن ملاءمة نماذج GARCH مستقلة ثم تثبيت التغاير الخام.

بعد تقدير المتوسطات الشرطية والتباينات الهامشية، نحسب الابتكارات المعيارية:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

إذا كانت النماذج الهامشية ملائمة، فمن المفترض أن يكون التباين الشرطي لكل عنصر في \(z_t\) قريباً من الواحد. وقد تظل العناصر مترابطة في الوقت نفسه؛ فنمطها المشترك هو ما يحدّث الارتباطات. وتمنع المعياريةُ الحركة الخام الكبيرة في أصل ذي تقلب طبيعي مرتفع من أن تُعد تلقائياً دليلاً أقوى على الاعتماد من حركة معيارية مماثلة في أصل آخر.

في التطبيق، تكون البواقي المعيارية مقادير مقدرة وليست حقائق مرصودة مباشرة. قد يترك نموذج متوسط غير ملائم بنية قابلة للتنبؤ في \(\epsilon_t\)، وقد يترك نموذج تقلب ضعيف تغيراً في المقياس داخل \(z_t\). عندها قد تمتص مرحلة الارتباط أخطاء المرحلة الهامشية وتشوه \(R_t\). كما تؤثر الذيول الثقيلة والقيم الشاذة والتواريخ المفقودة واختلاف ساعات التداول والإجراءات المؤسسية والأسعار القديمة في البواقي المدخلة.

يشرح إنغل وشيبرد إجراءً من مرحلتين: تقدير GARCH أحادي المتغير لكل أصل، ثم تقدير معلمات الارتباط باستخدام البواقي المعيارية (Engle and Sheppard، 2001). يفيد فصل الملاءمة الهامشية حسابياً، لكنه يعني أيضاً أن نتيجة المرحلة الثانية مشروطة بمواصفات المرحلة الأولى وبكيفية محاذاة السلاسل زمنياً.

يحدّث DCC القياسي أولاً مصفوفة مساعدة موجبة التعريف \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

تمثل \(\bar Q\) مصفوفة طويلة الأجل للابتكارات المعيارية؛ ويحدد \(a\) مقدار استجابة التحديث للتحركات المشتركة الأخيرة، بينما يحدد \(b\) استمرارية \(Q\) السابقة. في مواصفة DCC القياسية ذات المعلمتين القياسيتين، تساعد لا سلبية \(a,b\) وشرط \(a+b<1\)، مع إيجابية تعريف \(\bar Q\) والتهيئة، على بقاء التكرار المعتاد موجب التعريف. لكن السكون الصارم والاستدلال الصحيح يعتمدان على النموذج الكامل وافتراضاته. وهذه قيود للمواصفة المختارة وليست ضماناً عاماً لكل صيغة بديلة.

لا تكون عناصر قطر \(Q_t\) مساوية للواحد عموماً، لذلك لا تمثل \(Q_t\) نفسها مصفوفة ارتباط. نعرّف \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\)، ثم نطبّع:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

يجعل ذلك القطر مساوياً للواحد ويحوّل العناصر خارج القطر إلى ارتباطات شرطية بلا وحدات. ثم يعطي \(H_t=D_tR_tD_t\) التغاير الشرطي. ويساعد التمييز بين \(Q_t\) و\(R_t\) و\(H_t\) على تجنب خطأ شائع: التكرار يحدّث مصفوفة اعتماد مساعدة، والتطبيع ينتج الارتباطات، والانحرافات المعيارية الهامشية تعيدها إلى مقياس عوائد الأصول. وهذا التطبيع محوري في طريقة إنغل (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- رسم مفاهيمي بلا كلمات: سلاسل عوائد بأغلفة تقلب مختلفة تتصل بشريط اعتماد يتغير بسلاسة؛ رسم توضيحي لا يعرض بيانات سوق ولا توقعاً. -->

في تطبيق شائع من مرحلتين، نلائم أولاً المتوسط الشرطي وتبايناً من عائلة GARCH أحادية المتغير لكل أصل. ثم نحسب \(z_t\) ونقدّر معلمات DCC من دالة الاحتمال أو شبه الاحتمال الخاصة بجزء الارتباط. يمكن استخدام احتمال غاوسي في المرحلة الأولى بوصفه شبه احتمال أعظم حتى عندما لا تكون العوائد غاوسية، وذلك بشروط انتظام ملائمة؛ لكن ينبغي أن تتوافق الأخطاء المعيارية والاستدلال مع المقدّر وافتراضاته الفعلية.

يكون تقسيم التقدير جذاباً حسابياً مقارنة بنظام GARCH متعدد المتغيرات غير مقيد، لكنه يربط المرحلتين: فعدم اليقين في معلمات النموذج الهامشي يؤثر في البواقي المعيارية، ومن ثم في تقدير المرحلة الثانية. لا يمثل تقدير \(a\) أو \(b\) قياساً مباشراً لثابت سوق دائم. إذ يتوقف تفسيره على العينة والنماذج الهامشية والتهيئة والافتراضات التوزيعية واستقرار ديناميكيات الارتباط.

غالباً ما تقدّر \(\bar Q\) من تغاير البواقي المعيارية في العينة، لكن التعريف الدقيق والتصحيحات تختلف. ينبغي للتنفيذ أن يوضح طريقة تقدير \(\bar Q\)، وتهيئة \(Q_0\)، ومعالجة المشاهدات المفقودة، والقيود، وحساب الاحتمال. وقد يسبب التحسين قرب \(a+b=1\)، أو شبه تفرد \(\bar Q\)، أو كبر مجموعة الأصول عدم استقرار عددي. لذلك يُستحسن الإبلاغ عن تشخيصات التقارب وفحص الحساسية لمواصفات هامشية ونوافذ معقولة بديلة.

قد لا تلائم مدخلات العوائد المتزامنة في DCC القياسي المعاملات غير المنتظمة زمنياً من دون تصميم أخذ عينات مقصود. وقد يلزم مقدّر آخر للتعامل مع المشاهدات غير المتزامنة؛ راجع دليل تغاير هاياشي–يوشيدا. كما أن تقليص مصفوفة تغاير مشوشة، كما في تقليص التغاير بطريقة ليدويت–وولف، خطوة منفصلة لا ينبغي الخلط بينها وبين تكرار الارتباط الديناميكي في DCC.

لنفترض ابتكارين معياريين وأحد تحديثات DCC الافتراضية. نضع \(a=0.05\)، و\(b=0.90\)، و\(\bar q_{12}=0.10\)، و\(q_{12,t-1}=0.30\)، و\(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). هذه مدخلات مختلقة لتوضيح الحساب، وليست تقديرات من بيانات سوق. يكون تحديث العنصر خارج القطر:

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

ولتوضيح التطبيع، افترض أيضاً أن القيم القطرية المختلقة هي \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) و\(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). عندها تعطي المعادلة نفسها:

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

ومن ثم يكون الارتباط المطبّع:

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

انتقل العنصر المساعد خارج القطر من 0.30 إلى 0.35، لكن الارتباط المبلّغ عنه يقارب 0.34 لأن قطر \(Q_t\) تغير أيضاً. واعتبار \(q_{12,t}=0.35\) ارتباطاً من دون هذا التطبيع يتجاوز خطوة لازمة. يوضح الحساب خطوة واحدة من التكرار فقط، ولا يثبت دلالة إحصائية أو استمرارية مستقبلية أو أوزان محفظة مثلى أو قيمة تداولية.

يقتصد DCC القياسي عادةً باستخدام معامل استجابة ومعامل استمرارية قياسيين مشتركين بين الأزواج. وقد يفيد ذلك مع كثرة الأصول، لكنه قد يكون تقييداً مفرطاً إذا اختلفت سرعة التعديل بين الأزواج. كما ينبغي توضيح التسمية لأن بعض التطبيقات تختلف في البارمترة والقيود وطريقة التقدير والتهيئة.

تبيّن دراسة DCC المصحح لآيلي أن المقدّر التقليدي وتفسير معلمات الارتباط قد يواجهان مشكلات عندما يكبر المقطع العرضي، وتقترح cDCC بتكرار معدل (Aielli، 2013). ليست cDCC مجرد تسمية أخرى لـDCC القياسي. ويهم هذا التمييز عند التوسع إلى أصول كثيرة أو تفسير المعاملات على أنها بنيوية.

تعالج مواصفات DCC المعممة غير المتماثلة قيداً آخر: قد تؤثر الصدمات المعيارية الموجبة والسالبة بطرق مختلفة في الارتباطات اللاحقة. يتيح نموذج AG-DCC لكابييللو وإنغل وشيبرد معاملات خاصة بكل سلسلة لتأثير الأخبار والتنعيم، إلى جانب عدم تماثل شرطي في الارتباطات (Cappiello, Engle, and Sheppard، 2006). ويضيف AG-DCC مرونة إلى DCC القياسي ذي المعلمة المشتركة، فتتغير أعداد المعلمات وقيودها وتفسيرها. لا ينبغي إحلاله بصمت محل DCC القياسي أو افتراض تفوقه من دون تقييم.

تصف \(R_t\) الملائمة ارتباطات شرطية مستنتجة من النموذج، وفق تردد البيانات ونافذة العينة ومواصفة المتوسط ونماذج التقلب الهامشية وصيغة DCC المختارة. ولا تحدد أثراً سببياً متبادلاً. قد يرتفع الارتباط المقدّر في هبوط السوق بسبب أخبار مشتركة أو تغير تركيب الأصول أو السيولة أو سوء مواصفة نموذج التقلب أو آليات أخرى؛ ولا يستطيع التقدير وحده التمييز بينها.

لقياس المخاطر، قارن توقع التغاير الديناميكي بمعايير معقولة مثل تغاير نافذة متحركة أو نموذج ارتباط ثابت. استخدم فقط المعلومات المتاحة عند كل منشأ توقع، ووحّد مجموعة الأصول والأفق، واذكر دالة الخسارة. وإذا استُخدم التقدير لمحفظة، فتتبّع أثره اللاحق في الأوزان والتركيز ودوران المحفظة والتمويل وتكاليف المعاملات. قد يقلل ارتفاع الارتباط المقدّر التنويع في نموذج مخاطر معين، لكنه لا يتنبأ بهبوط أي من الأصلين.

تحقق من بقاء الارتباطات ضمن حدودها الصحيحة ومن بقاء \(R_t\) موجب التعريف، وافحص ما إذا كانت بواقي النماذج الهامشية المعيارية ما تزال تُظهر ارتباطاً تسلسلياً أو تبايناً متغيراً. اختبر الحساسية لمجموعة الأصول والتهيئة والقيم الشاذة والنافذة وصيغة النموذج. قد تجعل استمرارية تقترب من الواحد التقدير بطيئاً في الاستجابة لانقطاع، وقد يتأخر التكرار السلس عن تحول مفاجئ. ولتفادي انتقاء الرسوم أو الصيغ التي تلائم رواية مسبقة، حدّد أسس الاختيار واحتفظ بالمقارنات خارج العينة.

الأدق فهم DCC-GARCH على أنه نموذج مقتصد للتغاير الشرطي: تقدّر المعادلات الهامشية تغير المقاييس، ويتتبع تكرار الاعتماد التحرك المشترك في الابتكارات المعيارية، ويحوّل التطبيع المصفوفة المساعدة إلى ارتباطات. وقد تفيد المصفوفة الملائمة في تحليل المخاطر إذا كانت افتراضاتها صريحة وتوقعاتها مقيمة. لكنها لا تثبت وحدها تحوطاً مستقراً أو تفسر صدمة أو تبرهن ربحية استراتيجية.