预测包容性检验：一个预测是否包含另一个的信息？

假设两个预测针对同一个未来目标。在指定的线性或计量经济学设定中，如果 B 没有在 A 之外再提供有助于预测的信息，就称 A 包容 B。这个概念与预测组合有关：如果加入 B 的额外权重并不能改善 A，为了这个预测目标就未必需要把 B 纳入组合。

“包容”结论取决于所用数据、预测期限、预测时点、信息集和组合约束。它不代表 B 对其他目标、期限、信息条件或时期都没有价值。Chong 和 Hendry 提出用可观察到的预测来评价计量经济模型的包容性，即使研究者无法取得另一个模型的内部细节。{source:chongHendry1986ForecastEncompassing}

配对比较针对相同目标 (y_t)、相同预测期限和相同预测起点的 f_{A,t} 与 f_{B,t}。每一行的信息截止时间都必须一致，任何一个预测都不能使用当时尚未发布的数据。检查单位、日历、数据版本、缺失值规则以及共同评估日期。

保存当时实际能够生成的预测，而不是使用全样本拟合值。宏观数据可能会被追溯修订；在金融市场中，交易时段边界和时间戳也很重要。目标定义或样本日期不同，组合系数就会把这些差异与预测信息混在一起。

把评估期与模型选择期分开。在同一个“测试集”上反复调整预测变量、期限、窗口和变换方式，会让它变成训练过程的一部分。先确定规则，再开展评估，并记录重要的模型变更。

定义 A 的预测误差 e_{A,t}=y_t-f_{A,t}，以及预测差 d_t=f_{B,t}-f_{A,t}。一个候选组合预测可以写成：

f_{C,t}=f_{A,t}+w d_t

当 w=0 时，组合就是 A；当 w=1 时，组合就是 B；中间的数值则把两者混合。组合预测误差为 e_{A,t}-w d_t，因此回归 e_{A,t}=\alpha+w d_t+u_t 提供一种直观理解：在单独控制 A 的平均偏差后，B−A 的差值能否线性解释 A 的误差。

在含截距的总体回归中，斜率 w 等于 Cov(e_A,d)/Var(d)，前提是 Var(d)>0。因此，H_0:w=0 表示允许存在固定偏差后，A 的误差与预测差之间没有线性关系。若回归不含截距，零斜率条件是 E[e_A d]=0；只有当 E[e_A]=0 或 E[d]=0 时，它才等价于零协方差。联合检验 α=0 与 w=0 还要求 A 的平均偏差为零，因此比单独检验斜率更强。具体检验在其他限制、备择方向和不确定性估计上也可能不同。

普通 OLS 回归估计出的 w 不一定落在 0 到 1 之间，也可能为负数或大于 1。有些方法会预先约束权重，这会改变允许的组合范围和所检验的假设。

<!-- learn:illustration -->

在含截距的回归中，d_t 的总和为零。因此斜率分子是 Σ[d_t × (e_A,t − mean(e_A))] = 16.4，分母是 Σ[d_t²] = 42。

所以 ŵ = 16.4 / 42 ≈ 0.3905。在这个小样本里，按该权重构成的线性组合会从 A 向 B 移动约 39%。这只是六行数据的 OLS 斜率计算，不会给出可靠的不确定性或 p 值，也不能证明该权重适用于未来预测。统计推断需要另行指定检验设计。

要回答 A 是否包容 B，一个基础的线性问题是：在说明截距如何处理之后，d_t 的系数是否为零。如果事先关注任何方向上的新增线性关系，可以采用双侧备择；如果某一方向在预先设定的检验中有明确含义，也可以采用单侧备择。请注明 d=f_B-f_A 的符号约定，因为交换相减顺序会改变系数符号。

结果不显著，并不能证明预测等价，也不能证明 A 更好。样本可能过短、两个预测可能很接近，检验也可能缺乏功效。要证明实际差异足够小，需要预先给出容忍界限并采用等价性检验，而不是仅仅没有拒绝 (H_0)。

无条件推断把评估期中的新增信息取平均；条件推断则询问新增价值是否随预测时点已知的信息而变化。看过结果之后再挑选工具变量或市场状态，会引入新的模型选择问题。

RMSE（均方根误差）是均方误差（MSE）的平方根，因此按 RMSE 排名与按 MSE 排名相同。

Diebold–Mariano 检验比较两个预测在共同日期上的配对损失差，并在指定损失函数下检验预期准确性是否相同。包容性检验问的是，一个预测能否为线性组合提供有用的新增信息。B 的 RMSE 较低并不能单独回答包容性问题：总体损失排名与增量信息是不同属性。

Clark–West 调整用于比较嵌套模型的 MSPE，并在原假设下考虑额外参数估计造成的噪声；它不是适用于所有情况的包容性检验公式。预测组合介绍等权、估计权重或受约束权重等生成最终预测的规则。包容性检验可以帮助判断某个成分是否带来新增信息，但不会自动替你选出最佳组合。

Mincer–Zarnowitz 检验把实现值回归到截距和预测值上，检验水平与斜率校准。它检查单个预测是否与实现值相校准，并不比较 A 是否包容 B。{source:harveyLeybourneNewbold1998ForecastEncompassing}

存在时间依赖时，假设观测值相互独立的标准误可能产生误导。对于具有序列相关的矩，可以考虑 Newey–West 的异方差与自相关一致（HAC）协方差估计，但设定须符合预测设计 {source:neweyWest1987}。某些设定还需要专门的临界值；没有哪种方法可以自动套用。请说明预测期限、核函数与带宽、递归或滚动窗口的重新估计方式，以及是否采用有限样本修正。

Harvey、Leybourne 和 Newbold 指出，基于 OLS 的自然包容性检验在预测误差非正态时，其统计量的原假设分布并不稳健；他们也讨论了若干稳健替代检验。因此，OLS 斜率看起来清楚，并不意味着可以自动使用标准正态临界值。{source:harveyLeybourneNewbold1998ForecastEncompassing}

若预测来自嵌套的线性模型，统计量的分布可能不同于非嵌套的常规情况。Clark 和 McCracken 研究了嵌套线性模型一步预测下等准确性及包容性检验的渐近和有限样本性质，并为其设定提供临界值；这些结果不能不加论证地推广到其他设计。West 还单独研究了预测依赖于估计回归系数时的检验，因为参数不确定性会影响统计量的分布。{source:clarkMcCrackenNestedForecasts2001} {source:west2001EstimatedForecastsEncompassing}

说明目标变量、期限、预测起点、信息截止时间、共同评估区间、每个预测的生成模型，以及缺失预测的处理方式。写出 (e_A)、(d) 与组合预测的公式；说明是否包含截距、权重是否受限，以及检验是单侧还是双侧、有条件还是无条件。

还应说明参数估计方法、预测期限重叠情况、标准误计算方式、参考分布、预测数量和尝试过的其他设定。除检验结果外，展示权重及其不确定性，以及同一日期上的平均损失和 RMSE。不要把结果称为因果关系、等价性、盈利能力或未来优势的证明。