Phân phối stable và phương sai vô hạn trong tài chính

Một phân phối là stable nếu với các bản sao độc lập X_1 và X_2, cùng a,b dương, aX_1+bX_2 có cùng luật như cX+d với một c>0 và d

Tính đóng này khiến họ phân phối tự nhiên cho việc tổng hợp vì các tổng vẫn nằm trong cùng lớp hình dạng phân phối

Phân phối chuẩn là thành viên stable α=2; stable không tự động có nghĩa là đuôi nặng hay phương sai vô hạn

Số mũ ổn định α nằm trong (0,2], độ lệch β trong [−1,1], còn quy mô và vị trí xác định kích thước và tâm theo một cách tham số hóa đã công bố

Với α<2, đuôi có biến thiên đều với số mũ α trong các điều kiện không suy biến và các giá trị cực đoan có khả năng xuất hiện cao hơn nhiều so với luật chuẩn

Mật độ stable thường không có dạng đóng sơ cấp, và các cách tham số hóa khác nhau đặc biệt gần α=1, vì vậy quy ước của phần mềm rất quan trọng

Một luật stable phi Gaussian với α<2 có phương sai tổng thể vô hạn dù mọi tập dữ liệu hữu hạn đều có phương sai mẫu hữu hạn

Moment tuyệt đối bậc một chỉ hữu hạn khi α>1; với α≤1, ngay cả trung bình tổng thể thông thường cũng nhìn chung không tồn tại

Phương sai mẫu tăng hoặc trung bình không ổn định phù hợp với đuôi nặng nhưng tự nó không phải bằng chứng cho một moment vô hạn

Nếu các tổng đã chuẩn hóa của các biến độc lập cùng phân phối hội tụ về một giới hạn không suy biến, các giới hạn khả dĩ là các luật stable

Đầu vào có phương sai hữu hạn dẫn đến trường hợp Gaussian α=2, còn đầu vào có biến thiên đều phù hợp có thể dẫn đến giới hạn stable α<2

Quy mô tổng hợp là n^(1/α), không phải √n, và việc tâm hóa phụ thuộc vào α cùng cách tham số hóa

Mandelbrot đề xuất các luật stable Paretian cho biến động giá đầu cơ sau khi quan sát nhiều chuyển động lớn hơn rất nhiều so với mức mô hình Gaussian cho phép

Fama nghiên cứu phân tích danh mục dưới các lợi suất stable Paretian và cách đa dạng hóa hoạt động khi phương sai hữu hạn không tồn tại

Bằng chứng sau này về volatility clustering, đuôi bị cắt cụt và các regime thay đổi cho thấy tính stable iid chính xác không phải lời giải thích duy nhất cho lợi suất có đuôi nặng

Một mô hình α<2 chính xác hàm ý không có phương sai tổng thể hữu hạn ở bất kỳ horizon nào, chứ không chỉ là phương sai lớn hoặc khó ước lượng

Các mô hình stable điều chỉnh, stable cắt cụt, mixture, jump, GARCH và stochastic volatility có thể bắt chước các mẫu hữu hạn đuôi nặng nhưng vẫn giữ các moment hữu hạn

Các bộ dữ liệu hữu hạn hiếm khi phân biệt được một đuôi vô hạn thật với một điểm cắt hữu hạn rất lớn, nên không nên dựa khẳng định này chỉ vào một đoạn log-log thẳng

Ước lượng α cùng độ bất định bằng nhiều phương pháp và kiểm tra độ phù hợp của characteristic function, quantile, exceedance và tính ổn định của tham số

Kiểm tra xem các tổng qua nhiều horizon có rescale như dự đoán không và liệu phụ thuộc phần dư hay volatility clustering còn lại sau khi fit có tiếp diễn không

So sánh độ bao phủ đuôi dự báo và quyết định với các phương án có phương sai hữu hạn, đồng thời báo cáo mô hình đã fit cho rằng moment nào không tồn tại