Luật số lớn so với định lý giới hạn trung tâm

Với các quan sát X_1,…,X_n có trung bình μ, trung bình mẫu là X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i

LLN hỏi X̄_n có tiến gần μ khi n tăng không, còn CLT hỏi về phân phối giới hạn của một hiệu đã co giãn như √n(X̄_n−μ)

Hội tụ về đúng giá trị tự nó không cung cấp tốc độ sai số, hình dạng, khoảng tin cậy hay xấp xỉ hữu ích cho mẫu hữu hạn

LLN yếu phát biểu P(|X̄_n−μ|>ε)→0 với mọi ε>0 dưới các giả định của nó

Nó nói xác suất của một sai số có kích thước cố định biến mất, không nói mọi đường đi đã hiện thực cuối cùng sẽ luôn ở gần đó

Với các quan sát iid, kỳ vọng hữu hạn là đủ cho một luật yếu rộng, trong khi các chứng minh phương sai đơn giản thường giả định phương sai hữu hạn

LLN mạnh phát biểu X̄_n→μ gần như chắc chắn, nghĩa là hội tụ đúng với mọi kết quả ngoài một tập có xác suất bằng không

Hội tụ gần như chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất, nhưng chiều ngược lại không đúng nếu thiếu cấu trúc bổ sung

Luật mạnh vẫn là tiệm cận và không chỉ ra n phải lớn đến đâu cho một ngưỡng quyết định cụ thể

Với các biến iid có phương sai dương hữu hạn σ², √n(X̄_n−μ)/σ hội tụ theo phân phối về N(0,1)

Hệ số √n ngăn sai số đang co lại sụp về không và cho thấy hình dạng giới hạn không suy biến của nó

LLN có thể đúng khi CLT cổ điển thất bại, gồm các bối cảnh đuôi dày nơi trung bình tồn tại nhưng phương sai không tồn tại

Các quá trình stationary ergodic có thể thỏa LLN, trong khi CLT còn cần kiểm soát đủ mức phụ thuộc và dao động

Chuỗi thời gian tài chính có thể thay đổi trung bình, phương sai, mức phơi nhiễm, thanh khoản và chế độ, vì vậy một bản ghi dài không nhất thiết giống các lần rút lặp lại từ một luật duy nhất

Nhiều quan sát hơn từ cùng cụm khủng hoảng hoặc chế độ cũ có thể thêm ít thông tin hiệu dụng hơn số dòng của chúng gợi ý

Shock đặc thù trung bình có thể ổn định trên nhiều vị thế phụ thuộc đủ yếu, phản ánh một tác động giống LLN

Nhân tố chung, phụ thuộc đuôi, trọng số tập trung và vỡ nợ tương quan không biến mất chỉ vì danh mục nắm giữ nhiều mã

Tương tự, lợi suất trung bình dài hạn không bảo đảm cho thấy một lợi suất kỳ vọng vĩnh viễn khi tập cơ hội tự thay đổi

Vẽ trung bình chạy và ước tính theo mẫu con, sau đó kiểm tra phụ thuộc, đứt gãy cấu trúc, moment đuôi và kích thước mẫu hiệu dụng

Dùng sai số chuẩn được biện minh bởi CLT hoặc phương pháp lấy mẫu lại phù hợp thay vì coi hội tụ của trung bình là một ước tính bất định

Báo cáo đại lượng ước tính, giả định hội tụ, kỳ hạn, dải sai số và độ nhạy với cửa sổ hoặc chế độ trước khi viện dẫn một trong hai định lý