DCC-GARCH: Ước tính tương quan biến thiên theo thời gian giữa các tài sản

Ma trận hiệp phương sai không chỉ là danh sách các quan hệ dài hạn. Tại một thời điểm ra quyết định, nhà đầu tư có thể cần biết phương sai có điều kiện của từng lợi suất và hiệp phương sai có điều kiện giữa từng cặp tài sản, dựa trên thông tin có thể biết lúc đó. Nếu biến động và mức độ đồng biến thay đổi theo thời gian, một ma trận duy nhất ước tính từ toàn bộ mẫu sẽ trộn lẫn các giai đoạn yên ắng, căng thẳng và những điểm có thể xảy ra đứt gãy cấu trúc.

DCC-GARCH là một cách để cho phép ma trận tương quan có điều kiện biến thiên mà vẫn giữ mô hình tương đối gọn. Bài viết năm 2002 của Robert Engle đề xuất một đặc tả tương quan có điều kiện động, kết hợp các mô hình biến động đơn biến với một phương trình truy hồi tương quan có ít tham số (Engle, 2002). Cách tiếp cận này giải quyết một vấn đề mở rộng thực tế: mô hình hiệp phương sai hoàn toàn không bị ràng buộc sẽ cần thêm nhiều tham số khi số tài sản tăng.

Phương pháp phù hợp khi câu hỏi là quan hệ phụ thuộc có điều kiện thay đổi ra sao sau khi đã tính đến biến động riêng của từng chuỗi. Phương pháp không xác định vì sao các tài sản cùng biến động. Để tìm hiểu nhập môn về phương sai biến thiên theo thời gian trong một chuỗi, xem cụm biến động và GARCH. Để xem tương quan từng cặp tiền tệ và giới hạn khi diễn giải chúng như mức độ phơi nhiễm chung, đọc hướng dẫn về tương quan cặp tiền.

Gọi \(r_t\) là vectơ lợi suất của \(N\) tài sản và \(\mu_t\) là kỳ vọng có điều kiện. Đặt đổi mới là \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). DCC phân rã ma trận hiệp phương sai có điều kiện của đổi mới như sau:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

trong đó \(\mathcal{F}_{t-1}\) là thông tin sẵn có trước khi quan sát tại thời điểm \(t\); \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) là ma trận đường chéo chứa độ lệch chuẩn có điều kiện; còn \(R_t\) là ma trận tương quan có điều kiện.

Mỗi \(\sigma_{i,t}^2\) có thể được mô hình hóa bằng phương trình thuộc họ GARCH đơn biến. Chẳng hạn:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Mô hình biên này trả lời quy mô đổi mới của tài sản \(i\) thay đổi thế nào theo lịch sử riêng của nó. Mô hình không nói rằng tương quan với tài sản \(j\) cũng thay đổi. Ngược lại, \(R_t\) thay đổi tự nó cũng không có nghĩa biến động của tài sản nào đó đang tăng.

Phân rã này quan trọng vì hiệp phương sai kết hợp cả hai tác động:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

Hiệp phương sai có thể tăng do biến động biên của một hoặc cả hai tài sản tăng, ngay cả khi \(\rho_{ij,t}\) không đổi. DCC cố gắng ước tính riêng phần biến thiên theo thời gian còn lại trong tương quan có điều kiện. Đây là khác biệt cốt lõi so với việc khớp GARCH riêng cho từng tài sản rồi xem hiệp phương sai của lợi suất thô là cố định.

Sau khi ước tính kỳ vọng có điều kiện và phương sai biên, hãy tạo đổi mới đã chuẩn hóa:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Nếu mô hình biên phù hợp, phương sai có điều kiện của mỗi thành phần trong \(z_t\) sẽ xấp xỉ bằng một. Tuy vậy, các thành phần vẫn có thể phụ thuộc đồng thời; mẫu hình chung của chúng là thông tin dùng để cập nhật tương quan. Chuẩn hóa giúp tránh việc một biến động thô lớn ở tài sản vốn có mức biến động cao tự động bị xem là bằng chứng về quan hệ phụ thuộc mạnh hơn một biến động chuẩn hóa tương đương ở tài sản khác.

Trong thực tế, phần dư đã chuẩn hóa là đại lượng được ước tính, không phải sự thật quan sát trực tiếp. Mô hình kỳ vọng không phù hợp có thể để lại cấu trúc có thể dự đoán trong \(\epsilon_t\); mô hình biến động kém có thể để lại quy mô thay đổi trong \(z_t\). Bước tương quan có thể hấp thụ các vấn đề đó và làm sai lệch \(R_t\). Đuôi dày, ngoại lệ, ngày bị thiếu, giờ giao dịch không đồng bộ, sự kiện doanh nghiệp và giá cũ cũng ảnh hưởng đến phần dư đưa vào phương trình truy hồi.

Engle và Sheppard mô tả quy trình hai bước: trước tiên ước tính các mô hình GARCH đơn biến, sau đó ước tính tham số tương quan từ phần dư đã chuẩn hóa (Engle and Sheppard, 2001). Việc khớp riêng các mô hình biên là một lý do khiến DCC thuận tiện trong tính toán. Đồng thời, kết quả tương quan ở bước hai cần được hiểu trong điều kiện các đặc tả của bước một và cách căn chỉnh chính xác các chuỗi đầu vào.

DCC chuẩn trước hết cập nhật ma trận phụ trợ xác định dương \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) là ma trận dài hạn của các đổi mới đã chuẩn hóa; \(a\) kiểm soát mức độ biến động chung gần đây ảnh hưởng đến cập nhật; \(b\) kiểm soát tính dai dẳng được kế thừa từ \(Q\) trước đó. Trong đặc tả DCC vô hướng phổ biến, \(a\), \(b\) không âm và \(a+b<1\), cùng với \(\bar Q\) và giá trị khởi tạo xác định dương, giúp phương trình truy hồi thông thường duy trì tính xác định dương. Tính dừng nghiêm ngặt và suy luận hợp lệ vẫn phụ thuộc vào toàn bộ mô hình cùng các giả định của nó. Các ràng buộc này thuộc về đặc tả đã chọn, không phải bảo đảm chung cho mọi biến thể.

Thông thường \(Q_t\) không phải ma trận tương quan: các phần tử đường chéo không nhất thiết bằng một. Đặt \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\), rồi chuẩn hóa:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Phép biến đổi này tạo đường chéo bằng một và các tương quan có điều kiện ngoài đường chéo không có đơn vị. Sau đó, hiệp phương sai có điều kiện được tính bằng \(H_t=D_tR_tD_t\). Giữ riêng \(Q_t\), \(R_t\) và \(H_t\) giúp tránh lỗi diễn giải thường gặp: phương trình truy hồi cập nhật ma trận phụ trợ về quan hệ phụ thuộc, chuẩn hóa tạo ra tương quan, còn độ lệch chuẩn biên đưa tương quan về thang lợi suất của các tài sản. Vai trò chuẩn hóa là trọng tâm của phương pháp được mô tả trong Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Minh họa khái niệm không chữ: các dòng lợi suất riêng biệt với biên độ biến động thay đổi khác nhau kết nối vào một dải quan hệ phụ thuộc chung, biến đổi từ từ; đây là hình khái niệm, không phải dữ liệu thị trường hay dự báo. -->

Trong quy trình hai bước phổ biến, trước tiên khớp kỳ vọng có điều kiện và phương sai thuộc họ GARCH đơn biến cho từng tài sản. Dùng các mô hình đã khớp để tính \(z_t\), rồi ước tính tham số DCC từ phần tương quan của hàm hợp lý hoặc hàm hợp lý giả. Bước một có thể dùng hàm hợp lý Gaussian ngay cả khi lợi suất không phân phối Gaussian; trong điều kiện chính quy phù hợp, đó vẫn có thể là ước tính hợp lý cực đại giả. Tuy nhiên, sai số chuẩn và suy luận cần tương ứng với bộ ước tính và giả định thực tế.

Chia thành nhiều bước có thể giảm gánh nặng tính toán so với việc ước tính toàn bộ hệ GARCH đa biến không bị ràng buộc. Nhưng các bước phụ thuộc lẫn nhau: độ bất định của tham số biên ảnh hưởng đến phần dư đã chuẩn hóa và do đó ảnh hưởng đến ước tính bước hai. Giá trị \(a\) hoặc \(b\) được báo cáo không phải phép đo trực tiếp một hằng số thị trường bất biến. Cách diễn giải phụ thuộc vào mẫu, mô hình biên, giá trị khởi tạo, giả định phân phối và tính ổn định của động học tương quan.

\(\bar Q\) thường dựa trên hiệp phương sai mẫu của phần dư đã chuẩn hóa, nhưng định nghĩa và hiệu chỉnh chính xác thay đổi theo quy trình. Một triển khai phải nêu rõ cách ước tính \(\bar Q\), khởi tạo \(Q_0\), xử lý quan sát thiếu, áp đặt ràng buộc và tính hàm hợp lý. Tối ưu số khi \(a+b\) gần một, \(\bar Q\) gần suy biến hoặc tập tài sản quá lớn có thể gây bất ổn. Hãy báo cáo chẩn đoán hội tụ và kiểm tra độ nhạy với các đặc tả biên và cửa sổ hợp lý khác.

Với giao dịch có thời điểm không đều, đầu vào lợi suất đồng bộ của DCC chuẩn có thể không phù hợp nếu thiếu thiết kế lấy mẫu rõ ràng. Có thể cần bộ ước tính khác để xử lý quan sát không đồng bộ; xem hướng dẫn hiệp phương sai Hayashi–Yoshida. Thu nhỏ một mục tiêu hiệp phương sai nhiễu như thảo luận trong thu nhỏ hiệp phương sai Ledoit–Wolf cũng là bước riêng và không nên nhầm với phương trình truy hồi tương quan động của DCC.

Xét hai đổi mới đã chuẩn hóa và một cập nhật DCC được đặt ra để minh họa. Cho \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), \(z_{1,t-1}=1.5\) và \(z_{2,t-1}=1.0\). Các đầu vào này được tạo ra chỉ để trình bày phép tính, không phải ước tính từ dữ liệu thị trường. Cập nhật phần tử ngoài đường chéo là:

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Để minh họa bước chuẩn hóa, giả sử các giá trị đường chéo đặt ra là \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) và \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). Cùng phương trình truy hồi cho kết quả:

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

Vì vậy, tương quan đã chuẩn hóa là:

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

Phần tử ngoài đường chéo của ma trận phụ trợ tăng từ 0.30 lên 0.35, trong khi tương quan được báo cáo xấp xỉ 0.34 vì đường chéo của \(Q_t\) cũng thay đổi. Báo cáo \(q_{12,t}=0.35\) như thể đó là tương quan tức là bỏ qua bước chuẩn hóa. Phép tính chỉ minh họa một bước truy hồi; không nói lên ý nghĩa thống kê, mức dai dẳng trong tương lai, trọng số danh mục tối ưu hay giá trị giao dịch.

DCC chuẩn tiết kiệm tham số vì thường áp dụng cùng một tham số phản ứng và dai dẳng vô hướng cho mọi cặp. Ràng buộc đó hữu ích khi có nhiều tài sản, nhưng có thể quá mạnh nếu từng cặp điều chỉnh với tốc độ khác nhau. Tên gọi DCC cũng có thể bao trùm các cách tham số hóa, ràng buộc, ước tính hoặc khởi tạo khác nhau; cần nêu rõ đặc tả đã dùng.

Nghiên cứu corrected DCC của Aielli cho thấy bộ ước tính DCC thông thường và cách diễn giải tham số tương quan có thể gặp vấn đề khi số chiều tài sản tăng, đồng thời đề xuất cDCC với phương trình truy hồi đã sửa đổi (Aielli, 2013). cDCC không đơn giản là tên khác của DCC chuẩn. Phân biệt này đặc biệt quan trọng khi mở rộng hệ thống lên nhiều tài sản hoặc diễn giải các hệ số ước tính theo nghĩa cấu trúc.

Các đặc tả generalized DCC bất đối xứng giải quyết một giới hạn khác: cú sốc dương và âm đã chuẩn hóa có thể ảnh hưởng khác nhau đến tương quan tương lai. Mô hình AG-DCC của Cappiello, Engle và Sheppard cho phép tham số tác động tin tức và làm mượt riêng theo chuỗi, đồng thời cho phép bất đối xứng trong tương quan có điều kiện (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006). AG-DCC linh hoạt hơn phương trình truy hồi DCC chuẩn dùng chung một tham số vô hướng, do đó số tham số, ràng buộc và cách diễn giải cũng thay đổi. Không nên âm thầm thay bằng AG-DCC hoặc cho rằng mô hình này tốt hơn nếu chưa đánh giá.

\(R_t\) đã khớp mô tả tương quan có điều kiện do mô hình hàm ý, dựa trên tần suất dữ liệu, cửa sổ mẫu, đặc tả kỳ vọng, mô hình biến động biên và biến thể DCC đã chọn. Nó không xác định hiệu ứng lan truyền mang tính nhân quả. Tương quan có thể tăng trong đợt suy thoái do tin tức chung, thay đổi thành phần tài sản, thanh khoản, đặc tả biến động sai hoặc cơ chế khác; riêng ước tính không thể phân biệt các nguyên nhân này.

Để đo lường rủi ro, hãy so sánh dự báo hiệp phương sai động với các mốc tham chiếu hợp lý như hiệp phương sai mẫu cửa sổ trượt hoặc mô hình tương quan cố định. Tại mỗi thời điểm bắt đầu dự báo, chỉ dùng thông tin sẵn có lúc đó, đánh giá cùng tập tài sản và cùng chân trời dự báo, rồi báo cáo hàm tổn thất. Nếu dự định dùng cho danh mục, hãy theo dõi các thay đổi tiếp theo về trọng số, mức tập trung, doanh số giao dịch, tài trợ và chi phí giao dịch. Tương quan ước tính cao hơn có thể làm giảm lợi ích đa dạng hóa theo một mô hình rủi ro cụ thể, nhưng không dự báo rằng tài sản nào sẽ giảm giá.

Kiểm tra tương quan ước tính có nằm trong giới hạn hợp lệ không, \(R_t\) hàm ý có còn xác định dương không, và phần dư biên đã chuẩn hóa có còn tự tương quan hoặc phương sai biến thiên hay không. Xem xét độ nhạy với tập tài sản, giá trị khởi tạo, ngoại lệ, cửa sổ và biến thể mô hình. Tính dai dẳng gần một có thể khiến ước tính phản ứng chậm trước đứt gãy; phương trình truy hồi trơn cũng có thể theo sau một lần đổi chế độ đột ngột. Nhiều đồ thị theo cặp hoặc biến thể mô hình dễ dẫn đến diễn giải chọn lọc, vì vậy hãy nêu trước tiêu chí lựa chọn và lưu lại các so sánh ngoài mẫu.

Cách hiểu chính xác nhất về DCC-GARCH là một mô hình hiệp phương sai có điều kiện gọn: các phương trình biên ước tính quy mô biến thiên, phương trình truy hồi phụ thuộc theo dõi đồng biến trong các đổi mới đã chuẩn hóa, còn chuẩn hóa chuyển ma trận phụ trợ thành tương quan. Ma trận đã khớp có thể hỗ trợ phân tích rủi ro khi giả định được nêu rõ và dự báo được đánh giá. Bản thân nó không chứng minh một vị thế phòng hộ ổn định, không giải thích nguyên nhân cú sốc và không chứng minh chiến lược sẽ sinh lời.