VaR 回溯測試：Kupiec 與 Christoffersen 檢定解析

Value at Risk（VaR，風險值）是在指定信賴水準和期間下的損失門檻。若一天期 99% VaR 為 10,000 美元，模型根據所用資訊與假設，估計一天損失超過 10,000 美元的機率為 1%。這不是最大損失上限，也不代表超過門檻後可能損失多少。

回溯測試將預測與結果轉換成一串 VaR 例外指標。若一天期 99% 模型校準良好，在重複觀察相似情境時，長期例外頻率應接近 1%。這裡有兩個不同要求：長期頻率應接近目標，例外的時間順序也不應與模型的條件風險預測矛盾。Kupiec 的失敗比例（POF）檢定著重第一項；Christoffersen 的獨立性與條件涵蓋檢定也會分析例外的順序。

這項差異有實務意義。某模型一年可能有四次例外，而且全都發生在市場波動劇烈的一週；另一模型也有四次，卻分散在全年。只看次數的檢定會把兩者都視為四次，但考慮時間順序的檢定會看到不同序列。以下方法可描述這些特性，不能取代對持倉、市場資料、假設或損失嚴重程度的檢視。若想了解 GARCH 模型如何描述波動群聚，可參考 GARCH 與波動群聚指南；波動模型刻畫波動過程，回溯測試則比較風險預測與實際結果。

在整個分析中使用一致的正負號慣例。令 Lₜ 為第 t 天實際發生的損失，VaRₜ|ₜ₋₁ 為根據 t 天之前可用資訊預測的一天期損失門檻。若 Lₜ > VaRₜ|ₜ₋₁，例外指標 Iₜ = 1，否則為 0。若模型為 99% VaR，目標例外機率 α = 1 − 0.99 = 0.01。有些資料會依報酬定義指標，或定義結果是否落在涵蓋區間內；只要相應調整符號與機率，意義相同。請清楚說明採用的定義。

預測與結果必須對應同一投資組合、期間、估值時間及損失定義。若收盤後產生隔日 VaR 預測，應依照預先決定的估值規則，與隔日的損失比較。預先決定如何處理恰好等於 VaR、假日、缺漏資料、市場休市、盤中資料修正及投資組合變動。例外很少時，單次分類差異就可能大幅影響結果。

將模型選擇與最後評估分開。若在查看用於檢定的同一段期間後才選擇參數或風險門檻，p 值便不再代表乾淨的樣本外檢查。對滾動預測，記錄每次預測的產生時間及當時可用資訊。重疊的多日期限預測可能使例外序列產生相依性。以下標準檢定不會自動修正期間不一致、前視偏誤、修訂後的輸入資料或模型選擇流程。

假設有 T 組可比較的預測與結果，其中出現 x 次例外。觀察例外率 p̂ = x/T。Kupiec 的失敗比例（POF）檢定（參見 Kupiec 1995 年論文）也稱無條件涵蓋檢定，比較兩個二項概似函數：一個將例外機率固定在目標值 α，另一個自由估計為觀察到的 p̂。概似比統計量為：

LRᵤ꜀ = −2 ln [ (1−α)^(T−x) α^x / ((1−p̂)^(T−x) p̂^x) ]

在虛無假設下，例外指標是機率為 α 且彼此獨立的 Bernoulli 事件。樣本夠大時，統計量近似服從自由度 1 的卡方分布。統計量偏大，代表有理由拒絕指定的例外頻率。由於對立模型會自由估計觀察比率，例外太多或太少都可能讓檢定拒絕。幾乎從未超過 VaR 門檻的模型不一定校準良好；它可能過度保守，不適合原本的用途。

POF 使用例外次數 x，不使用發生日期。重新排列相同指標不會改變統計量。因此，單看 POF 無法判斷四次例外是分散出現，還是連續發生。二項分布的參考結果也假設例外彼此獨立。如果要檢查例外是否群聚，應加入針對相依性的檢定，而不是從 POF 推論時間型態。

考慮一個假設情境：250 天的一天期 99% VaR 預測。目標機率 α = 0.01，因此虛無假設下預期例外數為 Tα = 250 × 0.01 = 2.5。假設觀察到四次例外，則 p̂ = 4/250 = 0.016，也就是 1.6%。這高於 1% 目標，但單看差距仍無法判斷概似比檢定會不會拒絕。

代入 T = 250、x = 4、α = 0.01，得到 LRᵤ꜀ ≈ 0.769。使用漸近卡方(1)參考分布時，p ≈ 0.38；5% 臨界值約為 3.84。依此近似，範例在 5% 顯著水準下不會拒絕無條件涵蓋假設。這些是假設數字，用來說明計算方式，不是實證結果或通用的模型驗收門檻。

兩個對數概似值顯示統計量的來源。將機率固定在目標值時，ℓ₀ = 246 ln(0.99) + 4 ln(0.01) ≈ −20.893。根據觀察率自由估計時，ℓ₁ = 246 ln(0.984) + 4 ln(0.016) ≈ −20.508。自由估計的概似值高約 0.385 個對數概似單位，因此 LRᵤ꜀ = −2(ℓ₀ − ℓ₁) ≈ 0.769。檢定衡量目標比率模型的適配損失，不是以美元計算的差距。

未拒絕不代表模型校準良好。250 天只有 2.5 次預期例外，多一、兩次就會明顯改變觀察率。卡方計算屬於漸近近似，而在這種樣本規模下，罕見事件檢定的檢定力可能有限。請搭配預期次數、預測期間、檢定設計及樣本數一起解讀統計量。p 值不是 VaR 模型正確的機率。

比較兩個假設的 250 天序列，各有四次例外。A 序列的例外發生在第 20、80、140、220 天；B 序列發生在第 60、61、180、181 天。兩者都是 x = 4、p̂ = 1.6%，所以 Kupiec 統計量相同。但 B 有兩組相鄰例外，A 則沒有。

下方示意圖概念性地說明為何應保留例外順序，而不只記錄總次數。這不是 250 天的實際資料，也不是檢定結果。連續例外可能值得檢查模型是否跟上波動變化，但少數幾個資料點不足以判定原因。模型設定錯誤、市場衝擊、投資組合變化、重疊期間，以及資料或時間規則都可能造成這種型態。

令 nᵢⱼ 表示前一日指標為 i、當日為 j 的轉移次數；0 表示沒有例外，1 表示有例外。排除序列邊界後，完整的轉移次數為：A 有 n₀₀ = 241、n₀₁ = 4、n₁₀ = 4、n₁₁ = 0；B 有 n₀₀ = 243、n₀₁ = 2、n₁₀ = 2、n₁₁ = 2。兩者都有四次，但 B 有兩次例外緊接前一天的例外。這就是一階獨立性檢定會利用的資訊。

前一日沒有例外時，隔日例外機率估計為 n₀₁/(n₀₀+n₀₁)；前一日有例外時則為 n₁₁/(n₁₀+n₁₁)。A 分別是 4/245 ≈ 1.63% 和 0/4；B 則是 2/245 ≈ 0.82% 和 2/4 = 50%。B 的 50% 僅來自例外後四次轉移中的兩次，是這個極小假設序列的特徵，並不是實際模型隔日風險的可靠估計。

Christoffersen 的 1998 年論文 所述獨立性檢定比較平靜日之後與例外日之後的例外機率。令 π₀ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 0)，π₁ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 1)。獨立性虛無假設為 π₀ = π₁：前一天的例外狀態不會改變今天的例外機率。對立模型則依 n₀₀、n₀₁、n₁₀、n₁₁ 分別估計兩個轉移機率。

獨立性概似比統計量會比較兩個模型，通常以自由度 1 的卡方分布評估。與 POF 不同，它取決於指標順序。若例外經常接著另一個例外發生，π₁ 可能高於 π₀。此檢定針對二元例外序列的一階相依性，不會檢查過去資訊、波動或投資組合狀態預測未來損失的所有方式。

例外很少時，轉移估計特別不穩定。如果沒有連續例外，π₁ 的估計可能落在零的邊界，但這不表示第二次例外不可能，只代表樣本沒有觀察到。請連同統計量檢查轉移次數與樣本數，不要把稀疏的列聯表解讀為精確的隔日尾部風險估計。

條件涵蓋檢定將 Kupiec 頻率統計量與 Christoffersen 獨立性統計量相加：LR꜀꜀ = LRᵤ꜀ + LRᵢₙd。聯合虛無假設要求例外機率等於 α，且例外在時間上彼此獨立。在標準大樣本設定下，總和會與自由度 2 的卡方分布比較。

除了聯合結果，也要分別報告組成檢定。拒絕條件涵蓋代表在檢定假設下，兩項要求與觀察序列不一致，但不能指出原因。如果 POF 被拒絕而獨立性未被拒絕，次數可能是較明確的訊號。若獨立性被拒絕，即使總次數接近目標，也應留意例外時序。如果兩者都未被拒絕，樣本仍可能太短，無法顯示模型設定錯誤。

這些檢定的解讀範圍有限：它們將每天的損失縮成 0/1 指標，因此無法區分超過 VaR 一美元和一百萬美元；也不能驗證完整的損失分布，或證明 Expected Shortfall 正確。關於 VaR 與 Expected Shortfall 回答不同尾部風險問題的說明，請參考 VaR 與 Expected Shortfall 比較。

99% VaR 在 250 天樣本中僅預期 2.5 次例外。若 1% 例外彼此獨立，在 249 組相鄰日中，預期的「例外接續例外」轉移次數約為 249 × 0.01² = 0.025。即使模型校準良好，大多數這類樣本也不會出現連續例外。事件稀少，代表轉移機率難以精確估計，依賴性檢定的檢定力也可能不足。

Christoffersen 和 Pelletier 2004 年的研究 指出，現有 VaR 回溯檢定在實際的小樣本中可能檢定力偏低，並研究以例外間隔時間建模的 duration 檢定。這些結果提供考慮其他診斷的理由，但不表示 duration 檢定在所有情況都更好，也不代表可以不依風險預測和樣本設計選擇方法。觀察值少時，應清楚說明限制，而不是把未拒絕當成模型健康證明。

目標尾端比率也會影響證據量。95% VaR 在 250 天預期有 12.5 次例外；99.9% VaR 則只有 0.25 次。檢定名稱相同，不代表不同設計的證據可以直接比較。請報告信賴水準、預測期間、觀察數、目標與實際例外數、轉移次數，以及使用漸近計算或有限樣本方法。

挑選下一種診斷時，先問前兩項檢定忽略了哪些資訊。若要檢查例外是否能由落後例外、VaR 預測值或預測當時已知的其他變數預測，Engle 和 Manganelli 的 CAViaR 論文提出的動態分位數（DQ）檢定會檢定中心化例外指標與所選工具變數的限制。結果取決於工具變數的選擇和可用時間；它不是檢查所有條件式失效的通用檢定。duration 檢定則分析例外之間的等待時間，處理的是另一種資訊。

若關心超過 VaR 門檻後的損失嚴重程度，只看頻率與獨立性還不夠。請檢視超額損失大小，並選擇符合預測及假設的 Expected Shortfall 評估方式。若擔心試過多種模型後只挑歷史表現最好者，VaR 回溯測試無法解決策略選擇問題；PBO 與 CSCV介紹另一種根據候選模型排名的診斷。

實用報告應列出投資組合與損失慣例、預測期間、信賴水準、評估日期、預測產生方式、例外定義、預期及實際次數、POF 統計量、轉移次數、獨立性及條件涵蓋結果，以及短樣本或期間重疊等限制。將預測門檻與實際損失依時間畫出，並在選擇模型時保留後續評估資料。這些做法讓歷史證據更容易解讀，但不保證未來風險能受到控制。