已實現半變異數：分別衡量上漲與下跌波動

令 \(r_i\) 為固定區間內觀察到的日內對數報酬。已實現變異數是報酬平方總和，\(RV=\sum_i r_i^2\)。平方會讓漲幅和跌幅都成為正值，並使較大變動占更高權重。這項統計量衡量區間內累積的變動，但不會說明變動來自上漲或下跌。

已實現半變異數在平方前保留報酬符號。正向部分加總大於零的報酬平方，負向部分加總小於零的報酬平方。若使用相同觀察值和定義，兩者總和等於已實現變異數。零報酬對兩側都沒有貢獻。這是計算恆等式，不是兩部分各自為獨立因果風險來源的證據。

當研究問題關乎方向性變動時，這種拆分很有用，例如過去負報酬的變動是否比過去正報酬的變動帶有不同的未來波動資訊。Barndorff-Nielsen、Kinnebrock 和 Shephard 提出已實現半變異數作為下行變動的高頻衡量方式。他們的工作論文探討此衡量與二次變差及負向跳躍的關係。

對報酬 \(r_1,\ldots,r_n\)，定義如下：

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

其中 \(\mathbf{1}(\cdot)\) 在條件成立時為一，否則為零。因此：

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

不同論文可能使用不同標記或上標，因此報告應說明哪個項目代表正報酬、哪個項目代表負報酬。以上公式使用相對於零點未中心化的報酬：不會扣除樣本平均、目標報酬或無風險利率。以目標或平均數為中心計算的樣本半變異數是另一種統計量。

單位是報酬單位的平方。若報酬以基點表示，每個部分的單位是 \(\text{bp}^2\)；若使用小數對數報酬，單位則是小數報酬平方。從百分比報酬改用基點時，平方衡量的數值會乘以10,000，因此數值旁必須標示單位。

假設某個虛構時段有以下六個基點報酬：

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

正報酬的貢獻是 \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\)。負報酬的貢獻是 \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\)。零報酬沒有貢獻。因此已實現變異數為

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

在這個小範例中，負向部分占 \(21/34\)，約61.8%；正向部分約38.2%。這些只是虛構總和的比例，不是未來虧損機率，也不是長期穩定不對稱性的估計。六個報酬遠不足以進行統計推論；此計算只用來確認定義。

已實現波動率指南介紹未拆分的報酬平方總和。Bipower variation 指南處理另一個問題：可能出現罕見跳躍時，如何估計連續變動。可以同時研究方向性半變異數和抗跳躍變動衡量，但兩者不能互相取代。

若潛在對數價格遵循連續半鞅，且在相關正則條件下取樣愈來愈密，正、負報酬半變異數會各自收斂至連續二次變差的一半。在此情況下，即使潛在連續變動沒有持續的方向拆分，有限樣本中的兩個總量仍可能不同；取樣隨機性也有影響。

若出現跳躍，跳躍幅度平方會依符號分配至正向或負向部分。這保留了整體已實現變異數會捨棄的資訊，但不代表每個負報酬都是跳躍，也不代表每個正報酬都無害。大型連續變動和跳躍都可能產生較大的平方報酬。符號只分類觀察到的增量，不會識別其經濟成因。

以下概念圖將正、負增量分成兩組視覺元素。這不是資料圖表或檢定結果，也不表示底層過程存在持續的方向偏差。

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

已實現半變異數可以作為未來波動模型中的獨立預測變數。Patton 和 Sheppard 在標普500指數和個股研究中發現，在其樣本和模型設定下，過去負報酬變動與未來波動的關聯，強於正報酬變動。這是特定研究設計的實證結果，不是適用所有市場的定律，也不保證新策略能有良好的預測能力。

若要主張具備預測能力，須定義目標和期間、選擇合適基準，並進行樣本外評估。某一天 \(RS^-\) 和 \(RS^+\) 的差異只是描述性結果，不能證明預測能力。迴歸也可能需要考慮波動持續性、重疊期間、參數不確定性和資料選擇。應使用符合決策需求的損失函數評估預測誤差。

作為多變量延伸，Bollerslev、Li、Patton 和 Quaedvlieg 提出已實現半共變異數，依成對高頻報酬的符號拆分已實現共變異數。他們的Econometrica 論文說明，同號和混合符號部分為何可能帶有不同資訊。單變量正負拆分較簡單，不應描述為完整的共變異數或投資組合風險分解。

「下行半變異數」有多種定義。本文的已實現衡量會將低於零的高頻報酬平方後加總。以目標為基礎的下行統計量，則會將低於指定門檻的報酬平方；門檻通常是目標報酬或最低可接受報酬。樣本計算也可能將觀察值以平均數為中心。這些定義回答不同問題，即使使用同一報酬序列也可能產生不同數值。

兩種已實現半變異數都不是 Value-at-Risk 或 Expected Shortfall。VaR 描述指定虧損分布和期間的分位數；Expected Shortfall 依照明確約定，概括超過某個分位數的虧損。日內負報酬平方總和沒有上述任何一種意義。它也不是完整的回撤衡量，因為回撤取決於報酬的順序和路徑。

如果圖表或模型把 \(RS^-\) 稱為「下行風險」，請在旁邊直接定義。說明報酬是相對零點或目標計算、使用何種取樣頻率，以及該數值是區間統計量、預測輸入還是投資組合衡量。GARCH 波動指南討論條件變異數動態；已實現半變異數則提供可能作為輸入的方向性高頻衡量。

符號拆分取決於觀察到的報酬序列。提高取樣頻率可能帶來買賣價反彈、價格離散性、過時報價和時間戳影響。更換價格 proxy 或取樣格點後，記錄到的小幅價格變動可能改變符號。因此微觀結構雜訊會同時改變平方幅度，以及報酬被分到哪一邊。對選定序列而言，\(RV=RS^++RS^-\) 仍然成立，但不能因此驗證取樣設計。

要進行穩健比較，請記錄價格欄位、取樣間隔、交易時段邊界、零報酬處理、離群值規則，以及不同資產的報酬是否同步。並檢查合理取樣選擇下的敏感度。如果核心問題是識別跳躍或抵抗雜訊，應使用為該目標設計的估計量或檢定，不要把符號拆分當成修正。雙尺度已實現波動率指南介紹另一種雜訊修正方式。

統計推論也需要取樣分布或合適的重新取樣設計。正、負部分來自同一條路徑，因此可能互相依賴。重疊視窗會增加依賴性。信賴區間或預測比較應反映這些特性；只比較兩個點估計，不能檢驗其預測角色是否不同。

清晰的報告應列出資產或投資組合報酬序列、觀察期間、報酬定義、取樣格點和單位。報告應列出 \(RS^+\) 和 \(RS^-\) 公式，確認兩者總和還原已實現變異數，並解釋零值和缺漏觀察如何處理。若衡量用於預測模型，亦應回報預測期間、基準、評估期和損失函數。

如果未說明加總假設，不要直接把已實現半變異數轉換成年化波動。按選定約定，可以把每日半變異數相加為描述性的年度總量，但其平方根不會自動成為分布已知的下行標準差。年化不能修正有偏的價格輸入、稀疏取樣或選擇效應。

主要用途是有紀律地衡量：保留每個觀察報酬的方向，同時採用已實現變動的平方權重。結果可能揭示值得進一步檢驗的模式，但單靠它無法識別成因、衡量尾端機率，或把歷史不對稱轉成交易訊號。