Lee–Mykland 跳躍檢定：識別日內價格跳躍

已實現變異數會加總整個交易時段的日內報酬平方。在特定跳躍與取樣假設下，雙冪變異數可估計連續變動部分。兩者都總結整個期間，因此本身不會指出異常大幅變動發生的時間。Lee 和 Mykland 的方法逐一評估報酬區間，將候選變動與之前報酬估計的波動比較。

這項差異有助事件研究、波動建模和描述跳躍時點。在平靜市場中，1% 報酬可能很異常；在波動較大的交易時段則可能很普通。用近期局部波動標準化，可以反映尺度改變。此方法最初用於偵測日內跳躍到達及估計其實現幅度，但不會確認變動原因或是否可交易（Lee 與 Mykland，2008）。

虛無假設談的是特定區間內的價格過程：在連續成分符合規則條件時，該區間沒有跳躍。它不是說報酬為零。尤其波動高時，連續價格路徑仍可產生大額報酬，因此只看變動幅度設定門檻並不足夠。

令 \(P_i\) 為時間 \(t_i\) 在規則網格上觀察到的價格。第 \(i\) 個區間的對數報酬定義為

\[ r_i=\log(P_i/P_{i-1}). \]

檢定需要一致的價格欄位和網格。研究者可以採用成交價、買賣報價中間價或其他有記錄的代理指標，但更換指標可能同時改變報酬及跳躍標籤。須明確處理交易時段的開盤、收盤、集合競價、暫停交易和缺漏報價。不要默默把收盤到開盤的報酬混入一般日內區間。

規則取樣很重要，因為局部尺度和極值門檻是針對特定觀察設計推導。若觀察時間不規則，先選擇合理的同步或取樣規則，並說明捨棄了甚麼資訊。公式不會自動處理過時報價、交叉市場、錯誤時間戳或個別記錄錯誤。未確認對齊前，也不可把不同交易場所或資產的價格當作同步資料合併。

這是針對觀察報酬的檢定，不是潛在價格。原始理論採用高頻半鞅模型，當中的條件不會自動適用於所有報價串流或數位資產交易場所。請記錄資料來源、時區、網格、交易時段及篩選條件，讓其他分析者可以重建序列。

在候選時點 \(t_i\)，使用 \(r_i\) 之前的報酬估計局部變異數：

\[ \widehat{\sigma}_i^2 = \frac{1}{K-2} \sum_{j=i-K+2}^{i-1}|r_j|\,|r_{j-1}|, \qquad \widehat{\sigma}_i=\sqrt{\widehat{\sigma}_i^2}. \]

\(K\) 控制移動窗口大小。總和包含相鄰絕對報酬的乘積，並排除候選報酬 \(r_i\)。這種雙冪變異數形式有助避免之前的單一跳躍主導後續區間的判斷尺度。已實現波動文獻解釋了高頻報酬總和及乘積如何估計二次變異的不同特徵（Barndorff-Nielsen 與 Shephard，2002）。

這是局部估計，不是整個交易時段的波動預測。短窗口適應快，但可能不穩；長窗口較平滑，卻可能追不上波動改變。原論文的漸近推導在取樣間隔縮小時增加 \(K\)，同時使它相對整個期限仍然較短。有限樣本應記錄選擇並檢查敏感度；沒有一個 \(K\) 能適用於所有資產、網格和市場狀態。

對估計為零或接近零的情況也須制定處理規則。除以極小尺度可能把一個最小價位變動變成極端統計量。不要默默以任意下限取代：應檢查原始報價、報告規則，並展示合理替代方案會否改變標示區間。

局部跳躍統計量為

\[ L_i=\frac{r_i}{\widehat{\sigma}_i}. \]

其符號保留觀察報酬方向，絕對值衡量變動相對之前局部尺度的大小。分母估計使用相鄰絕對報酬的乘積，但沒有採用一般雙冪變異數的標準化常數。在論文的無跳躍漸近條件下，\(L_i\) 約等於 \(Z_i/c\)，其中 \(Z_i\) 是標準常態變量，\(c=E|Z_i|=\sqrt{2/\pi}\)。這對門檻校準很重要：若把 \(L_i\) 當成標準常態統計量，便會使用錯誤的參考分布。

\(|L_i|\) 大只會標示候選區間，並非自動得出檢定結果。要按取樣方式、窗口和搜尋區間數目與門檻比較。正值表示觀察到上漲報酬，負值表示下跌報酬。符號不會識別經濟原因，也不能單獨分辨跳躍、連續變動或資料錯誤。

下圖概念性地比較候選報酬與根據先前區間估計的局部尺度，並非價格圖或已偵測事件。

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: one sharp return pulse rises above a quiet sequence while a trailing window forms a soft local-volatility envelope; no prices, timestamps, thresholds, or detected events are shown. -->

掃描 \(n\) 個區間時，逐點門檻重複使用 \(n\) 次，可能只因檢查很多觀察值而產生誤報。Lee–Mykland 依整個期限內絕對統計量的最大值校準門檻。令 \(c=\sqrt{2/\pi}\)，定義

\[ C_n= \frac{\sqrt{2\log n}}{c} - \frac{\log(\pi)+\log(\log n)} {2c\sqrt{2\log n}}, \qquad S_n=\frac{1}{c\sqrt{2\log n}}. \]

在論文的無跳躍漸近條件下，

\[ \frac{\max_{1\le i\le n}|L_i|-C_n}{S_n} \]

具有標準 Gumbel 極限分布，其累積分布函數為 \(F(x)=\exp(-e^{-x})\)。若整個交易時段的顯著水準為 \(\alpha\)，相應臨界值為

\[ \beta_\alpha=-\log[-\log(1-\alpha)]. \]

當 \((|L_i|-C_n)/S_n>\beta_\alpha\) 時便標示該區間。最大值校準處理指定期限內的區間搜尋，但不會自動校正研究者在多項資產、日期、取樣網格或模型版本間反覆掃描。額外比較須另行設計及披露。

假設候選區間前的三個報酬是 \(-0.40\%\)、\(+0.30\%\)、\(-0.20\%\)，而 \(K=4\) 只是為了縮短算式。則

\[ \widehat{\sigma}_i^2 = \frac{|0.30||-0.40|+|-0.20||0.30|}{2} = 0.09\;(\%)^2, \qquad \widehat{\sigma}_i=0.30\%. \]

若下一個報酬是 \(+1.20\%\)，局部統計量為 \(L_i=1.20/0.30=4\)。這只表示觀察報酬是示例局部尺度的四倍，尚未表示檢定會拒絕虛無假設。

若假設某交易時段有 \(n=78\) 個區間，漸近公式給出 \(C_n\approx3.14\)、\(S_n\approx0.424\)。在整段 1% 顯著水準下，\(\beta_\alpha\approx4.60\)，門檻約為 \(3.14+0.424(4.60)=5.10\)。統計量 4 低於門檻，所以這個例子不會在該水準標示區間。數字都是假設值，這種樣本量下最大值近似可能較粗略。小型 \(K=4\) 窗口只用來演示算術，不是建議的估計設定。

這個例子說明「四個標準差」不足以完整描述 Lee–Mykland 判定。參考尺度、漸近標準化、窗口、區間數和顯著水準都會影響門檻。報告跳躍數或事件清單時，請一併列出這些設定。

較密的網格理論上提高時間解析度，但也會暴露更多報價雜訊、價格離散性和時間戳不一致。較疏的網格可平滑部分短暫變動，但可能把跳躍與相鄰連續報酬合併，或隱藏同一區間內的多次變動。因此，網格選擇會改變可偵測內容，以及觀察資料與假設的配合程度。

窗口 \(K\) 與網格相互關聯。之前的報酬太少會令局部雙冪估計不穩；太多則可能混合不同波動狀態，削弱「局部」的意義。請以觀察數目和時鐘時間同時報告 \(K\)，說明窗口是否在交易時段邊界重設，並展示合理替代方案下事件清單的變化。未經檢查，不要直接套用其他市場、交易時段長度或觀察頻率的窗口建議。

標準 Lee–Mykland 不是處理市場微結構雜訊的通用方法。預平均等考慮雜訊的方法會改變報酬或波動估計，並需要相配的推論；它們不是可以直接互換的濾波器（Aït-Sahalia、Jacod 與 Li，2012）。預平均指南和雙尺度波動指南介紹處理含噪高頻價格的兩種相關方法。

被標示報酬表示在指定門檻下，連續路徑虛無假設難以解釋這個觀察。它不會證實定期公告、交易所故障、連鎖強制平倉或其他原因造成變動。應把時間戳與已核實的事件資料比較，檢查底層成交與報價，並確認區間過後變動是否持續。後續解釋要與統計檢定分開。

此方法亦不同於日終比較已實現變異數與雙冪變異數。Lee–Mykland 統計量用來按局部波動定位區間；每日變異差則在不同假設下估計總跳躍變異。雙冪變異數指南和已實現波動指南介紹這些期間層面的衡量。冪變異檢定由 Aït-Sahalia 和 Jacod 提出，以另一種建構檢驗離散觀察路徑是否有跳躍。其目標和假設不同，因此結果與 Lee–Mykland 區間清單相符或不符，都不是一對一驗證。

在策略研究中，跳躍標籤是後續分析的輸入，不是買賣指示。回測須考慮信號何時可被觀察、價差和滑價、延遲、重疊事件窗口及樣本外評估。先訂明損失或風險目標，再與合適基準比較。過往報酬通過統計標示，不代表可以預測下一個事件或獲利交易。