用預平均法估計已實現波動率：市場微結構雜訊下的估計量

如果觀測價格就是有效價格，沒有其他成分，那麼日內報酬平方和可以自然地估計該時段的變動。但實際成交價和報價還包含買賣價反彈、最小價位捨入、延遲、價格離散化和記錄方式的影響。取樣間隔非常短時，這些因素可能佔每個平方報酬的很大比例。因此，增加觀測數可能提高雜訊貢獻，而不只是揭示更多基礎價格走勢。

預平均法在平方之前，先把短局部視窗內的報酬合併。平滑權重從零開始上升，對鄰近報酬賦權，再在視窗邊界回到零。加權和相當於局部濾波：快速且獨立的觀測誤差可能部分抵消，而有效價格較寬泛的走勢仍可能保留。重疊視窗讓估計使用整個區間的資訊。

平滑本身不會讓估計量變成無偏估計。濾波後的雜訊仍會貢獻變動，因此需要校正項。Jacod、Li、Mykland、Podolskij 和 Vetter 在明確假設下推導了用於積分波動率的預平均方法，並指出合適的版本可達到 \(n^{-1/4}\) 收斂速度。原始論文奠定了方法基礎；本文聚焦估計量的機制、選擇和侷限。

令 \(X_{t_i}\) 表示觀測時刻 \(t_i\) 的潛在有效對數價格，\(Y_{t_i}\) 表示記錄的對數價格：

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

其中 \(\epsilon_{t_i}\) 是觀測雜訊。常見基準模型將 \(X_t\) 視為局部變異數為 \(\sigma_t^2\) 的連續半鞅。固定區間 \([0,T]\) 上的目標量是積分變異數：

\[ IV_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt. \]

觀測報酬可寫為 \(\Delta_iY=\Delta_iX+\epsilon_{t_i}-\epsilon_{t_{i-1}}\)。即使價格誤差在觀測時刻間相互獨立，相鄰報酬誤差也會以相反符號共享一個端點。這會使報酬出現序列相關，並讓全樣本實現方差對含噪增量的數量敏感。

簡單的理論說明通常假設雜訊均值為零、在時間上獨立、與有效價格過程獨立，並具有合適的有限階矩。這些假設有助於解釋估計量，但對成交、報價或中間價並無保證。雜訊可能隨流動性和時段變化，可能依賴有效價格，也可能具有序列相關。目標量也很重要：存在跳躍時，二次變差包含跳躍平方，而連續積分變異數不包含。

這是針對指定價格序列和時間視窗的事後測量。它不會重建每個潛在價格，不會識別哪一筆記錄出錯，也不會告訴分析者未來波動率。比較估計結果前，應說明輸入是成交價、報價中點還是其他構造。

對於 \(n\) 個觀測報酬 \(r_i=Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}}\)，選擇整數視窗長度 \(k_n\) 和定義在 \([0,1]\) 上的權重函數 \(g\)。一種標準的預平均報酬為

\[ \bar r_i=\sum_{j=1}^{k_n-1}g\!\left(\frac{j}{k_n}\right)r_{i+j}, \qquad i=0,\ldots,n-k_n+1. \]

該函數通常連續、兩端取零，並具有漸近結果所需的平滑性。三角權重的例子是 \(g(u)=\min(u,1-u)\)。由於視窗端點的權重為零，邊緣報酬不會突然得到完整權重。權重形狀是一種局部濾波，不是預測或擬合出的趨勢。

每個 \(\bar r_i\) 在平方前先合併相鄰報酬。由於視窗重疊，即使原始報酬不相關，預平均報酬仍會相關。這種依賴屬於估計量的抽樣行為；不能把大量視窗和視為獨立觀測。視窗索引範圍和端點約定必須與權重歸一化相匹配。

示意圖展示平滑的潛在路徑、鋸齒狀的觀測路徑，以及數個權重在兩端遞減的重疊視窗。它用於說明局部合併，不是樣本價格記錄或經驗濾波結果。

<!-- learn:illustration --> <!-- 無文字概念圖：平滑的潛在價格曲線與鋸齒狀的觀測路徑並列，數個重疊、兩端權重漸弱的局部視窗彙集相鄰變動。僅為概念示意；不是市場資料、預測或交易信號。 -->

預平均會減弱快速觀測誤差的影響，但濾波報酬的平方仍包含雜訊貢獻。在規則網格下，使用漸近歸一化常數的一種常見單變量估計量形式為

\[ \widehat{IV}_{PA} =\frac{1}{k_n\psi_2}\sum_{i=0}^{n-k_n+1}\bar r_i^2 -\frac{\psi_1}{2\psi_2 k_n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2, \]

權重常數為

\[ \psi_1=\int_0^1 \{g'(u)\}^2\,du, \qquad \psi_2=\int_0^1 g(u)^2\,du. \]

第一項重新縮放預平均報酬平方和，使其接近積分變異數。第二項在模型假設下估計並扣除觀測雜訊的主要貢獻。它不會估計每次雜訊實現，也無法糾正錯誤的價格欄位、時間戳記或異常值。精確的有限樣本公式可能採用 \(\psi_1\) 和 \(\psi_2\) 的離散版本、端點修正以及特定的報酬索引規則。應報告並一致使用這些細節。

有限樣本下，校正後的估計可能很小或為負。這不表示資產具有負的物理方差，而表示該樣本中所選校正項超過了第一項。不要默默將負估計設為零。應報告原始計算和任何單獨的截斷規則，因為截斷會改變估計量，並可能影響後續平均或推斷。

視窗 \(k_n\) 控制平滑程度。視窗過短，濾波報酬會殘留更多高頻雜訊；視窗過長，局部價格變動會在更寬的時間範圍內平均，可用視窗也更少，其他估計誤差可能因此增加。權重與視窗長度共同發揮作用；不結合權重函數和取樣間隔，單獨的 \(k_n\) 沒有明確含義。

在固定時間跨度、觀測頻率隨 \(n\) 增加的經典平衡設計中，視窗按 \(\sqrt n\) 的量級增長，常寫為 \(k_n\sim\theta\sqrt n\)，其中 \(\theta>0\) 是調節常數。在論文假設下，估計量的收斂速度可為 \(n^{1/4}\)，即估計誤差為 \(n^{-1/4}\) 的量級。這比無雜訊時的 \(n^{1/2}\) 速度慢，也是作者研究的基準雜訊情形下的最優速度；它並非對所有市場資料集的保證。

\(\theta\)、權重函數和資料驅動的視窗選擇都會影響有限樣本偏差與方差。自動選擇可能依賴本身存在不確定性的雜訊和波動率估計。應展示幾個合理視窗下的敏感性，說明取樣時鐘和交易時段邊界，並避免在看到哪個視窗最支持預設結論後再作選擇。

取六個假設的觀測報酬，單位為基點：

\[ (r_1,\ldots,r_6)=(1,0,1,0,1,0)\ \mathrm{bp}. \]

使用三角權重 \(g(u)=\min(u,1-u)\) 和刻意設短的視窗 \(k=3\)。兩個非零的網格內部權重為 \(g(1/3)=g(2/3)=1/3\)。為展示有限網格上的算術，定義

\[ \psi_{2,k}=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k-1}g(j/k)^2=\frac{2}{27}, \qquad \psi_{1,k}=k\sum_{j=1}^{k}\{g(j/k)-g((j-1)/k)\}^2=\frac{2}{3}. \]

按上述索引約定，有 \(n-k+2=5\) 個重疊視窗。每個視窗都合併相鄰的 \(1\) bp 和 \(0\) bp 報酬，因此 \(\bar r_i=(1/3)(1+0)=1/3\) bp，並且

\[ \sum_i\bar r_i^2=5\left(\frac13\right)^2=\frac59\ \mathrm{bp}^2, \qquad \sum_{i=1}^{6}r_i^2=3\ \mathrm{bp}^2. \]

使用相應的有限網格歸一化，可得

\[ \widehat{IV}_{PA} =\frac{1}{3(2/27)}\left(\frac59\right) -\frac{2/3}{2(2/27)3^2}(3) =2.5-1.5=1\ \mathrm{bp}^2. \]

該例用於檢查算術和單位；六個報酬和三個觀測尺度的短視窗不足以支持漸近近似。數值僅為清楚展示計算而設，不是市場資料、模擬雜訊過程，也不能證明估計恢復了隱藏的積分變異數。這裡沒有計算標準誤或預測。

標準推導針對在正則條件和加性雜訊下被頻繁觀測的連續有效價格過程。零均值獨立雜訊是有用的起點，但雜訊與價格相關、誤差存在序列相關、雜訊隨時間變化、觀測時點不規則或取樣具有內生性，都可能需要修改估計量或專門的理論。Aït-Sahalia、Mykland 和 Zhang 研究依賴型市場微結構雜訊下的積分波動率估計；他們的論文說明了為何 iid 雜訊公式並非普遍適用。

跳躍會帶來另一項目標選擇問題。若目標是二次變差，跳躍平方包含在目標量內；若目標是連續積分變異數，則不包含。標準預平均估計不會自動分離跳躍。抗跳截斷或其他構造需要自身的假設和調節參數。一筆極端記錄還可能影響多個重疊視窗，因此資料驗證和異常值處理仍然必要。

預平均也不能單獨解決多變量或異步資料的所有問題。Christensen、Kinnebrock 和 Podolskij 在研究中提出預平均協方差方法，以及針對非同步觀測、抗雜訊的 Hayashi–Yoshida 擴展。這些構造處理了額外的資料設計問題。對每個資產分別應用單變量公式，並不會自動同步時間戳記，也不保證得到有效的協方差矩陣。

這些估計量處理相關的高頻變動問題，但組織資訊的方式不同。Two-scale realized volatility（TSRV）對平移後的稀疏取樣網格上的估計取平均，再減去經縮放的密集網格估計，以校正主要雜訊偏差。預平均則先用平滑權重過濾短而重疊的報酬視窗，再將濾波報酬平方並作匹配校正。兩尺度原始論文介紹了另一種構造。

Realized kernel 從報酬平方和出發，加入不同滯後階的加權報酬自協方差，並用帶寬控制所納入的滯後範圍。預平均則在平方之前改變局部報酬。兩種方法都使用權重和調節選擇，但公式、歸一化和假設不能互換。Realized kernel 指南介紹基於滯後的構造和帶寬討論。

方法選擇應取決於資料與所需量，而不是估計量名稱。應比較取樣設計、雜訊模型、端點處理、跳躍下的目標量和有限樣本表現。漸近抗噪並不保證某種方法最適合稀疏資產、短交易時段、時變雜訊或不規則資料流。Two-scale 指南說明其尺度與校正選擇。

為使結果可復現，應註明資產與價格欄位、時間區間、取樣頻率、時間戳記與交易時段規則、報酬單位、權重函數、視窗長度、歸一化、端點約定和雜訊假設。若用於統計推斷，還應報告方差估計量或置信區間方法及其假設。比較若干合理視窗的敏感性表，可顯示結論是否依賴某一種調節選擇。

積分變異數衡量已經結束的觀測區間。平方根表示同一區間的波動率尺度；年化需要額外的時間約定，但不會把數值變成預測。預測未來期限需要單獨的預測模型和樣本外評估。已實現波動率計算指南介紹平方報酬和基準，二次變差指南則區分路徑變動與連續積分變異數目標。

估計結果不能說明價格為何變動，不能證明某種策略盈利，也不保證可執行的風險測量。交易成本、流動性、跳躍、波動率動態和估計不確定性都是獨立問題。預平均是一種統計測量工具，其價值取決於假設與觀測資料是否相符。