Ledoit–Wolf 共變異數收縮：公式、目標矩陣與投資組合風險

對 \(N\) 項資產的 \(T\) 筆報酬觀測值而言，樣本共變異數矩陣 \(S\) 會用同一段有限的歷史資料估計各項資產的變異數，以及每一對資產的共變異數。不同矩陣元素的數量大致隨著 \(N^2\) 增長。如果資產數相對於觀測數並不小，許多個別共變異數估計就可能有顯著的抽樣雜訊。

當投資組合流程要對矩陣求逆時，這種雜訊特別重要。矩陣反矩陣可能放大估計誤差：估計相關係數只要稍微改變，最佳化權重就可能大幅變動。對扣除平均數後的標準樣本共變異數而言，中心化資料矩陣的秩最多是 \(T-1\)，因此當 \(N\geq T\) 時，\(S\) 會是奇異矩陣；在奇異之前也可能已有不佳的條件數。Ledoit 和 Wolf 在良態共變異數估計的研究中討論這項高維難題(200400096-4))。

收縮會在含雜訊的樣本估計中加入結構，作為共變異數輸入的正規化選擇；它不是資產實際遵循目標模型的證據，也不是估計預期報酬的方法。樣本共變異數的特徵值如何影響投資組合風險，是更廣泛的議題，可參考[特徵值與金融風險指南](/zh-TW/learn/eigenvalues-eigenvectors-financial-risk-explained)。

一種常見的線性形式為

\[ \widehat{\Sigma}_{\mathrm{lin}}=(1-\widehat{\delta})S+\widehat{\delta}F,\qquad 0\leq\widehat{\delta}\leq1, \]

其中 \(S\) 是樣本共變異數，\(F\) 是結構化目標矩陣，而 \(\widehat{\delta}\) 是估計出的收縮強度。強度為零時，結果是樣本矩陣；強度為一時，結果是目標矩陣；中間值則形成凸組合。

選擇 \(F\) 代表估計量認為哪些型態夠穩定、值得保留；收縮強度代表相較於樣本資訊，應給予這種結構多少權重。針對指定的目標矩陣和損失函數，Ledoit–Wolf 程序會從資料估計強度，而不是要求手動任選混合比例。具體的 plug-in 公式會依目標矩陣和假設而不同；不存在一個不受目標影響、可以定義所有「Ledoit–Wolf」方法的 \(\widehat{\delta}\)。

最初針對高維單位矩陣目標的結果，是在特定二次損失和漸近條件下漸近最優的凸組合，不是對所有樣本和目標都成立的普遍保證(Ledoit 和 Wolf，200400096-4))。因此，描述估計量時要同時說明損失函數和目標矩陣。

幾種相關估計量採用相同的混合概念，但包含不同的共變異數結構。

• 單因子目標： 市場因子解釋共同變動，其餘結構由模型處理。Ledoit 和 Wolf 提出將樣本共變異數與單因子共變異數作最佳加權組合，用於估計股票報酬共變異數(200300007-0))。
• 等縮放單位矩陣目標： 對角線是共同的變異數水準，非對角線為零。它會把特徵值拉向共同中心，可能改善條件數；相較於等相關目標，它施加更強的等變異數、無共變異數結構假設。
• 等相關目標： 保留各項資產的樣本變異數，但用單一平均相關係數取代成對相關係數。各資產的波動度仍可不同，同時依存結構更簡單。2004 年的實務文章介紹了向此目標收縮的方法(Ledoit 和 Wolf，2004)。

不應把這些版本都簡化為「Ledoit–Wolf 會把所有相關係數收縮到零」。依 \(F\) 而定，目標可能保留共同因子共變異數、把特徵值拉向平均值，或把成對相關係數往橫斷面平均值移動。在[非同步共變異數流程](/zh-TW/learn/hayashi-yoshida-asynchronous-covariance-estimator-explained)中，先彙整成對估計再進行共變異數正規化，也是另一項模型選擇。

令 \(S_{ii}\) 為資產 \(i\) 的樣本變異數，並令 \(s_i=\sqrt{S_{ii}}\)。對 \(N\) 項資產，先計算樣本相關係數 \(\widehat{\rho}_{ij}=S_{ij}/(s_is_j)\)，再對不重複的非對角相關係數取平均：

\[ \bar{\rho}=\frac{2}{N(N-1)}\sum_{i<j}\widehat{\rho}_{ij}. \]

等相關目標矩陣定義為

\[ F_{ii}=S_{ii},\qquad F_{ij}=\bar{\rho}\,s_is_j\quad(i\ne j)。 \]

因此，目標矩陣保留對角線上的樣本變異數，並為每一對資產設定相同的相關係數 \(\bar{\rho}\)。最終共變異數估計會把這個目標與原始樣本矩陣混合，不會把所有波動度都改成相同數值。這種目標的構造與收縮強度有別於單位矩陣目標估計量；作者的實作也說明，它會保留樣本變異數並設定共同相關係數(參考實作)。

<!-- learn:illustration --> <!-- 無文字概念圖：三個對稱的 3×3 共變異數矩陣保留相同的對角線格子，同時讓不同的樣本非對角關係逐漸移向同一個等相關目標；不是資料或估計結果。 -->

假設樣本共變異數矩陣以百分點平方為單位，如下所示。這只是虛構的資料：

\[ S=\begin{bmatrix} 4&3&-2\\ 3&9&6\\ -2&6&16 \end{bmatrix}\%^{2}。 \]

樣本標準差分別為 \(2\%\)、\(3\%\) 和 \(4\%\)。成對相關係數為 \(3/(2\cdot3)=0.50\)、\(-2/(2\cdot4)=-0.25\) 和 \(6/(3\cdot4)=0.50\)，平均值為

\[ \bar{\rho}=(0.50-0.25+0.50)/3=0.25。 \]

對應的目標矩陣是

\[ F=\begin{bmatrix} 4&1.5&2\\ 1.5&9&3\\ 2&3&16 \end{bmatrix}\%^{2}。 \]

純粹為了說明運算，令 \(\delta=0.40\)。這是教學用數值，並非從這些虛構觀測資料估計出的 Ledoit–Wolf 強度：

\[ \widehat{\Sigma}=0.60S+0.40F= \begin{bmatrix} 4&2.4&-0.4\\ 2.4&9&4.8\\ -0.4&4.8&16 \end{bmatrix}\%^{2}。 \]

對角線仍是 \(4,9,16\)。位置 \((1,3)\) 的共變異數從 \(-2\) 往目標值 \(2\) 移動，所以收縮不代表每項共變異數都往零移動。這裡列出的兩個矩陣都是半正定矩陣，因此它們的凸組合也會是半正定矩陣。這個假設範例只用來說明計算，不是推薦的目標，也不是觀察到的市場關係。

若使用等權重 \(w=(1/3,1/3,1/3)^\top\)，模型變異數為 \(w^\top\Sigma w\)。上方樣本矩陣九個元素的總和是 \(43\)，因此

\[ w^\top S w=43/9\approx4.7778\ \%^{2}。 \]

示範收縮矩陣的元素總和是 \(42.6\)，所以

\[ w^\top\widehat{\Sigma}w=42.6/9\approx4.7333\ \%^{2}。 \]

這個小差異只是改變共變異數輸入後的機械計算結果，不能證明收縮估計更能預測實際變異數。最小變異數最佳化也可能產生不同權重，因為它除了使用共變異數數值，通常還會使用反矩陣。在適合的情況下，收縮可以降低輸入對抽樣雜訊的敏感度，但曝險和週轉率仍可能改變。

對風險平價投資組合而言，共變異數會影響各項資產對整體風險的貢獻，不只是總變異數；可參考[等風險貢獻指南](/zh-TW/learn/risk-parity-equal-risk-contribution-portfolio-explained)。如果接著像[波動度目標倉位管理](/zh-TW/learn/volatility-targeting-position-sizing-quant-trading-explained)一樣用風險估計調整部位大小，仍要另外處理目標期間，並區分實際值和預測值。

線性收縮用一個純量強度，把整個樣本矩陣與選定目標混合。採用單位矩陣目標時，可以從特徵值角度理解：它把樣本特徵值往共同中心拉，同時保留樣本特徵向量。這或許能穩定含雜訊的頻譜，但每個特徵值的移動程度都受同一個混合權重限制。

非線性收縮會逐一轉換樣本特徵值，在旋轉等變估計量中通常保留樣本特徵向量。Ledoit 和 Wolf 於 2012 年的論文發展了用於高維共變異數估計的非線性特徵值轉換(2012)。兩人 2017 年的投資組合選擇研究，則探討針對該目標調整的估計量(2017)。這些方法不是上面展示的純量線性混合，不應將兩者混為一談。

更有彈性的估計量可以根據自身假設，更細緻地配合共變異數結構；但這不代表它在每個資產範圍或樣本期間都自動更適合。應比較具體估計量、假設、計算量和樣本外表現。特徵值轉換也不是對未來相關性狀態的預測。

收縮透過加入結構來降低變異，但結構也可能不正確。單因子目標可能漏掉產業或風格關係；等相關目標可能漏掉群組；等縮放單位矩陣可能壓掉真實共變異數。市場狀態改變、因子曝險變動或非同步觀測，可能使依據某段歷史期間建立的目標無法妥善描述下一段期間。這個方法不會讓報酬觀測變成獨立或定態序列。

半正定性的結論有條件。如果 \(S\) 和 \(F\) 都是半正定矩陣，而且 \(0\leq\delta\leq1\)，兩者的凸組合也是半正定矩陣。但這本身不能保證嚴格正定：目標矩陣可能有零特徵值，或者目標權重為零。如果每一對資產都按不同日期採用成對刪除缺失值，樣本矩陣 \(S\) 也可能不是半正定矩陣；若未修正或替換該輸入，凸性論證便不適用。

請說明報酬定義、取樣頻率、觀測期間、缺失資料規則、平均數處理方式、目標矩陣和強度估計程序。在適當情況下，請讓所有資產使用共同的觀測方式。不要因為某個目標在同一批評估資料上產生最吸引人的回測結果，就選用它；選擇目標與設計投資組合本身都是研究決策。

實用的評估會先固定資產範圍、報酬期間、再平衡規則和資訊截止時間，再以相同的訓練視窗比較樣本矩陣、所選收縮估計量和合適的基準。可以用後續實現值評分共變異數預測，也可以評估保留期間的投資組合預測。請報告損失函數，以及它如何處理變異數和共變異數誤差。按照某項損失算出的樣本內矩陣誤差較低，不代表依照另一個目標評估時，未來投資組合風險估計也會更好。

應用在投資組合時，也要報告對權重、集中度、週轉率、限制條件和估計交易成本的影響。共變異數矩陣只是決策輸入之一；預期報酬、融資、風險限制和執行假設，都可能改變最後的投資組合。較低的條件數是矩陣屬性，不是實際報酬或風險的保證。

矩陣估計損失和投資組合決策損失不能互換。將所有矩陣元素的平方誤差加總，會廣泛衡量各資產配對；而 \(w^\top\Sigma w\) 會依指定投資組合的曝險，對變異數與共變異數項給予不同權重。請說明研究是在評估矩陣本身的重建，還是特定部位的風險預測，再選擇並揭露相符的準則。依一個目標選出的收縮強度，不會自動對另一個目標最佳。

評估過程必須符合時間順序。在每個預測日期，估計收縮強度、選擇資產範圍及調整其他參數時，只能使用截至該日已經取得的資訊。若先用完整樣本估計強度，再回頭評分較早期間，就會把未來資訊洩漏到選擇過程中。在滾動評估時，應於每個起點只用當時可取得的報酬重新計算估計量，記錄視窗長度與再平衡間隔，並說明實現共變異數代理是否與預測期間重疊或重複使用了報酬資料。

最穩健的解讀仍有範圍限制：Ledoit–Wolf 方法提供以資料為基礎的途徑，把含雜訊的樣本共變異數與選定的目標或轉換結合。結果是否有用，取決於目標、取樣假設和評估方式是否符合預定的風險問題。這是共變異數結構的估計，不是獨立交易訊號，也不保證超額報酬。