Hayashi–Yoshida 共變異數估計量：非同步價格解析

兩項資產即使在相同市場時段交易，成交時間仍可能不同。流動性高的股票可能頻繁成交，較不活躍的股票則可能暫時沒有新成交或報價。觀察到的價格變動因此落在不同時間網格上。研究目標或許是兩者的同期共同變動，但觀察報酬不一定有一對恰好涵蓋相同區間。

常見作法是把兩個序列放到固定時間網格，沿用每項資產最近一次觀察價格。如此能產生對齊的報酬欄位，但重複沿用的舊價格並不是潛在價格的新獨立觀察。重複的零報酬和延遲補償變動可能扭曲共同變動的衡量。Epps 指出，測量間隔縮短時，觀察到的股票報酬相關性可能下降；非同步觀察是其中一種機制，市場資料還有其他影響。這種短間隔現象通常稱為 Epps 效應（Epps, 1979）。

Hayashi 和 Yoshida 提出的估計量直接使用原始非同步增量，不必先選定內插規則。早期研究在高頻抽樣條件下證明擴散價格估計量的一致性（Hayashi & Yoshida, 2005）；後續研究則在一般非同步抽樣架構下推導漸近常態性（Hayashi & Yoshida, 2008）。核心規則是依時間區間是否重疊配對，而不是只看時間戳是否接近。

令 \(X_t\) 與 \(Y_t\) 為共同區間 \([0,T]\) 內兩項資產的潛在有效對數價格。簡單的連續擴散模型可寫成

\[ dX_t=\mu^X_t\,dt+\sigma^X_t\,dW^X_t,\qquad dY_t=\mu^Y_t\,dt+\sigma^Y_t\,dW^Y_t, \]

瞬時布朗相關為 \(d[W^X,W^Y]_t=\rho_t\,dt\)。目標量是積分共變異數：

\[ [X,Y]_T=\int_0^T \sigma^X_t\sigma^Y_t\rho_t\,dt. \]

這是在所選觀察視窗內沿價格路徑累積的量，不是兩個靜態價格水準的共變異數，也不會自動等於相關係數。單位是兩種報酬單位的乘積：若對數報酬以百分點表示，估計值的單位便是百分點平方。已實現波動度計算指南介紹單一序列的平方報酬指標；二次變差指南說明多變量已實現共變異數延伸的路徑量。

目標值可以為正或負。正的積分共變異數表示同一視窗內，同號報酬增量產生的交叉乘積整體占優；負值則代表異號乘積占優。單看正負號無法證明資產為何共同變動、是否有因果關係，或某種投資組合規則是否有利可圖。

計算一般已實現共變異數時，分析者可能選擇固定時間點，並使用每項資產當時最新可得的價格。這很方便，但結果可能取決於網格間距和內插規則。價格過時時，多個網格觀察會重複同一筆報價；之後的價格更新就可能看起來像涵蓋較長期間的單筆報酬，與另一項資產配對的區間不一致。

這可能把同期共變異數移到虛假的領先—落後項，或在網格愈密時使估計值趨近零。Epps 的早期實證結果描述短測量間隔下觀察到的共同變動改變；後續研究則推導，在非同步抽樣且觀察價格含雜訊時，前值同步共變異數會產生偏誤。因此，高頻相關性下降是一種待診斷的現象，不能證明非同步時間是唯一原因。

HY 保留每筆觀察報酬自己的時間區間，避開特定的同步選擇。不過時間戳仍須可靠：兩項資產需要共用時間標準、正確的交易時段邊界，以及明確的分析起訖規則。此方法也無法修正含雜訊的成交價、錯誤報價，或混合不同交易時段的目標資料。

假設資產 \(X\) 在 \(0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T\) 時觀察，資產 \(Y\) 則在 \(0=s_0<s_1<\cdots<s_m=T\) 時觀察。觀察到的對數報酬增量為

\[ \Delta X_i=X_{t_i}-X_{t_{i-1}},\qquad \Delta Y_j=Y_{s_j}-Y_{s_{j-1}}. \]

各增量對應的時間區間為 \(I_i=(t_{i-1},t_i]\) 與 \(J_j=(s_{j-1},s_j]\)。HY 估計量是

\[ \widehat{[X,Y]}^{HY}_T =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \Delta X_i\,\Delta Y_j\, \mathbf{1}\{|I_i\cap J_j|>0\}. \]

只有當兩段報酬區間重疊一段正時間，指示函數才會納入交叉乘積。只共用一個端點不算正時間重疊。一個增量可能與另一項資產的多個增量重疊，每組配對各計一次。此程序不會沿用價格，也不會把報酬拆成虛構的子報酬。

在經典連續擴散架構中，若觀察足夠密集且抽樣條件合適，最大區間長度縮小時，總和會收斂至積分共變異數。經典結果針對非同步觀察，並假設觀察價格未受原始 tick 資料常見的市場微結構雜訊污染。

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假設兩項資產在同一個長度為五個時間單位的交易時段內觀察。表格列出假設的對數報酬（單位為百分點）和各自涵蓋的區間。觀察時間錯開，因此報酬端點不會全部吻合。

例如，第一段 \(X\) 區間與第一段 \(Y\) 區間在 0 至 1.0 間重疊，並與第二段在 1.0 至 1.8 間重疊，因此兩項交叉乘積都會納入。下一段 \(X\) 報酬與第二段 \(Y\) 報酬在 1.8 至 2.4 間重疊，並與第三段在 2.4 至 3.2 間重疊。最後一段 \(X\) 的兩個重疊部分貢獻 \(0.02-0.01\ \mathrm{pp}^2\)。六個納入的乘積總和為

\[ \widehat{[X,Y]}^{HY}_T =0.12+0.20+0.10-0.04+0.02-0.01 =0.39\ \mathrm{pp}^2. \]

一個百分點等於十進位報酬單位的 \(0.01\)，因此 \(0.39\ \mathrm{pp}^2=3.9\times10^{-5}\) 個十進位對數報酬平方單位。輸入值純為演示可重算的算術而假設。結果是該視窗的累積共變異數估計，不是 0.39% 報酬、相關係數或實際市場觀察值。

例中的正總和表示同號交叉乘積整體大於負乘積。這不代表兩項資產各上漲 0.39%，也不代表其價格變動有 39% 是共同的。共變異數會隨報酬單位、視窗長度和交易活躍度而改變；數值較大可能是單位或期間不同，而非標準化相依性較強。

相關係數沒有單位，須以波動度估計值縮放。由分別抽樣或估計的變異數項組成簡單比值，不會自動成為有效的相關係數；有限樣本中甚至可能超出 \([-1,1]\)。積分共變異數本身也無法區分共同消息、價格延遲調整、共同曝險或其他機制。

用於投資組合時，請說明資產權重、期間、報酬單位和共變異數慣例。不要把正 HY 估計當成買進訊號，也不要把負值當成避險指示。外匯貨幣對相關性指南說明相關性與共同曝險仍須謹慎解讀。已實現指標描述選定的歷史視窗，不會預測下一段報酬，也不保證避險可以抵銷未來損失。

經典估計量是為離散、非同步觀察的擴散型價格而發展。實務近似要求各序列的最大觀察間隔，相對分析視窗而言夠短。長時間沒有交易的區間可能涵蓋許多不同變動；公式仍能計算，但高頻抽樣近似可能較弱。

觀察到的成交價常有買賣價跳動、價格離散、過時報價、延遲及其他測量影響。HY 的重疊規則解決時間錯位，不會消除價格誤差。Griffin 和 Oomen 研究有獨立同分布微結構雜訊的非同步抽樣下，已實現共變異數、領先—落後調整和 HY 表現，並指出有限樣本的相對表現取決於雜訊與相關條件（Griffin & Oomen, 2011）。因此，不要把一般 HY 描述成普遍抗雜訊。

也要設定合理的共同觀察期間。如果一個市場比另一個市場早收盤，名義上相同的日曆視窗可能並未涵蓋相同的活躍交易時間。時區轉換、日光節約時間、拍賣、公司事件、資料缺漏和異常值篩選都會改變重疊集合。請記錄這些選擇，而不是把時間戳當成無關細節。

點估計不是信賴區間。Hayashi 和 Yoshida 在一般非同步抽樣架構下推導漸近常態性；但實際標準誤仍需要可行的變異數估計量，以及符合抽樣設計的假設。觀察稀疏或極不平均時，即使重疊總和看起來穩定，不確定性仍可能很高。

對含雜訊的高頻價格，請採用同時針對雜訊與非同步問題設計的方法，或說明抽樣與前處理選擇的理由。Christensen、Kinnebrock 和 Podolskij 為含雜訊擴散模型的非同步資料發展預平均共變異數估計量，其中包括不必先對齊原始價格的預平均 HY 類估計量（Christensen et al., 2010）。Barndorff-Nielsen 等人的多變量已實現核，針對雜訊及非同步交易下的共同變動，並設計為產生半正定共變異數估計（Barndorff-Nielsen et al., 2011）。詳見已實現核估計量指南。

若投資組合最佳化器或風險系統需要一致的共變異數矩陣，半正定性很重要。不同重疊集合算出的兩兩 HY 估計，組成矩陣後並不自動保證半正定。不要悄悄修改特徵值來「修復」矩陣；投影、收縮或替代估計量應另列為建模步驟。抗雜訊估計方法也有參數選擇和假設。

報告應列出兩個價格序列及資料類型（成交價、報價或中間價）、共同時鐘和交易時段、\([0,T]\) 起訖點、報酬轉換、重疊慣例、抽樣間隔摘要和所用估計量。標示共變異數單位與視窗，並說明如何處理過時觀察、異常值、跳躍、拍賣和市場微結構雜訊。如果資料非同步，請說明使用原始區間，或先同步價格。

不要習慣性地將積分共變異數年化。若要把視窗估計轉成速率或年化數字，請說明時間縮放假設，以及隔夜和市場休市時間的處理方式。若估算相關係數，請列出分母中的變異數估計並檢查矩陣限制。這些選擇與重疊公式一樣會影響解讀。

Hayashi–Yoshida 估計量的優點，是能直接且可重現地累加非同步區間的交叉乘積，不必虛構同步價格。其經典保證有條件：必須符合適當的無雜訊擴散架構，並有足夠密集的抽樣。它不能證明因果關係、解決市場微結構雜訊，也不保證避險或交易規則可靠。