風險平價：等風險貢獻投資組合解析

投資組合即使平均分配資金，波動率仍可能集中在一兩項資產上。高波動資產的10%變動，比同等規模的穩定資產部位影響更大；資產共同變動的程度，也會改變各部位為總風險增加多少。風險平價把配置問題從「每項持有部位分配多少資金？」改為「選定的投資組合風險應由各組成部分分擔多少？」

風險平價涵蓋一系列風險預算方法。風險預算是組成部分\(i\)的目標占比\((b_i)\)，所有預算加總為1。對含有\(N\)個組成部分的投資組合而言，等風險貢獻是\(b_i=1/N\)的特殊情況。也可以給不同資產類別或因子不同占比。Maillard、Roncalli與Teïletche分析等風險貢獻投資組合，並將其視為等額資金和最小變異數配置的替代方案（他們2010年的論文）。

標準定義中的「風險」是投資組合估計報酬波動率。這項選擇應明確說明，並不是普遍定義。以波動率為基礎的ERC，不等於讓預期短缺、回撤、流動性風險或風險因子曝險相同的投資組合。在稱某投資組合為風險平價之前，應說明風險衡量方式以及接受預算分配的組成部分。

風險平價不代表投資組合沒有風險，也不代表所有持有資產的權重相同。它是在估計輸入與限制條件下，把選定的風險衡量方式分配到各組成部分的規則。單靠這項規則，無法判斷投資組合的預期報酬是否足以補償其風險。

令\(w\)為投資組合權重向量，\(\Sigma\)為共同時間範圍內報酬的共變異數矩陣。採用波動率風險平價時，估計的投資組合波動率為：

\[ \sigma_p=\sqrt{w^{\top}\Sigma w} \]

資產\(i\)的邊際風險貢獻（MRC）衡量該資產權重稍微增加時，投資組合波動率如何變化：

\[ \mathrm{MRC}_i=\frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i}=\frac{(\Sigma w)_i}{\sigma_p} \]

組成部分風險貢獻（RC）則把邊際效果乘以資產權重：

\[ \mathrm{RC}_i=w_i\,\mathrm{MRC}_i=\frac{w_i(\Sigma w)_i}{\sigma_p} \]

對這個一次齊次風險衡量方式，Euler分解給出\(\sum_i \mathrm{RC}_i=\sigma_p\)。因此，組成部分的帶符號風險占比為\(\mathrm{RC}_i/\sigma_p\)，所有占比加總為1。等風險貢獻的目標是每個組成部分均滿足\(b_i=1/N\)，使\(\mathrm{RC}_i=b_i\sigma_p\)。若貢獻為非負，每項就是投資組合波動率的一般占比。具有強大分散效果的部位，即使是正權重的純多頭，也可能有負貢獻；放空部位也可能如此。此時該貢獻會抵銷其他組成部分的風險，不應單獨解讀成一般百分比占比。

共變異數項很重要。\((\Sigma w)\)描述資產(i)與整個加權投資組合的共同變動，而不只是它自身的變異數。兩項資產的波動率相同，但若其中一項更能分散投資組合其他部分，風險貢獻仍會不同。只看各資產的歷史波動率，會忽略這種交互作用。若要了解隨時間調整總曝險的另一種規則，請參閱波動率目標策略指南。

假設有三項假設資產，年化波動率分別為10%、20%和30%。假設它們的報酬互不相關，因此共變異數矩陣為對角矩陣。這些數值只是用來展示計算，不是實際證券的估計值。各資產的衡量期間必須相同，計算才可以比較。

等權配置會將三分之一資金分給每項資產。投資組合變異數為\((0.01+0.04+0.09)/9\approx0.01556\)，估計波動率約為12.47%。在互不相關的假設下，每項資產占投資組合變異數的比例，也就是它對波動率的貢獻比例，與\(w_i^2\sigma_i^2\)成正比。風險占比依序為\(1/14\approx7.14\%\)、\(4/14\approx28.57\%\)及\(9/14\approx64.29\%\)。等額資金配置讓波動率最高的資產承擔將近三分之二的估計投資組合風險。

對互不相關的資產，讓\((w_i\sigma_i)\)相同，就能使其平方貢獻相同。將反波動率權重正規化後，可得：

\[ w_i=\frac{1/\sigma_i}{\sum_{j=1}^{3}1/\sigma_j} \qquad\Longrightarrow\qquad (w_1,w_2,w_3)=\left(\frac{6}{11},\frac{3}{11},\frac{2}{11}\right) \]

資金權重約為54.55%、27.27%與18.18%，但每項資產對估計投資組合波動率的貢獻都是三分之一。在這些假設下，ERC投資組合的波動率約為9.45%。波動率較低的資產取得最大的資金權重，卻不會主導投資組合風險。

<!-- Illustration placement: after this section; text-free conceptual comparison of equal capital slices with uneven risk streams versus unequal capital slices with balanced risk streams across three abstract asset groups. No labels, axes, or values. -->

這種反波動率捷徑不是任意共變異數矩陣的一般解。此範例沒有資產間共變異數，因此每項資產貢獻的是自己的加權變異數。若存在相關性，邊際風險為\(((\Sigma w)_i/\sigma_p)\)，ERC權重必須根據完整矩陣調整。在兩項資產，以及部分高度對稱的共變異數結構中，正規化反波動率規則也有封閉解；一般多資產投資組合則沒有。

假設兩項資產的個別波動率相同。如果它們彼此高度相關，而第三項資產與兩者的相關性較低，前兩項可能像一個集中的風險來源。等額資金權重把兩項資產當成不同持有部位，但考慮共變異數的ERC會透過\((\Sigma w)\)反映合併曝險。因此，精確達成風險預算可能需要不同於等權配置和個別波動率倒數的權重。

配置的單位同樣重要。為三個大型資產類別設定相同預算，與為其中持有的每檔ETF或每口期貨合約設定相同預算並不相同。如果一個類別由十檔高度相關的證券代表，另一個類別只有一種工具，逐檔證券分配一份預算就會讓第一個類別得到十倍份額。組成部分可以是資產、資產類別、投資組合子策略或系統性因子。Roncalli與Weisang區分資產間的風險平價，以及共同與特有風險因子的配置（他們的風險因子論文）；因子模型指南介紹因子曝險。

風險衡量方式也會改變結果。波動率對正負偏離採對稱處理，但投資人可能更在意損失。以預期短缺為基礎的風險預算使用尾端損失衡量方式，並依賴不同的分布與情境假設。按近期標準差達成平衡的投資組合，仍可能集中在共變異數估計中很少出現的共同崩跌情境。「風險平衡」應一併說明風險衡量方式、期間、組成部分和使用資料。VaR與預期短缺指南說明尾端風險衡量方式的差異。

若所選風險衡量方式\(R(w)\)對投資組合權重可微，且具有一次齊次性，一般組成部分貢獻為\((\mathrm{RC}_i=w_i\,\partial R/\partial w_i)\)。風險預算投資組合追求\((\mathrm{RC}_i=b_iR(w))\)，其中\((b_i>0)\)且\((\sum_i b_i=1)\)。每個\((b_i=1/N)\)時即為ERC。若經濟任務刻意要求某些組成部分承擔較多或較少風險，管理者也可以採用不同預算。

波動率型ERC會由最佳化器使用估計變異數與相關性，求解這組非線性關係。共變異數估計可以採用固定歷史視窗、加權估計量或結構化模型。回溯期間與更新頻率都很重要：視窗較短，反應較快但權重可能跳動；視窗較長，結果較平滑但可能落後結構性變化。若用短歷史估計多項資產，樣本相關性可能雜訊較大，因此部分實作會正規化或收縮共變異數矩陣。這些是模型選擇，不是「風險平價」一詞保證具備的特性。

估計也必須符合實際工具。應使用一致的報酬區間、幣別、公司行動處理方式和價格慣例。期貨投資組合需要把合約數轉換成可比較的名目曝險或風險曝險；若同時持有避險和未避險的外國資產，必須明確處理匯率風險。陳舊報價和不一致的交易日曆，即使最佳化正確求解，也可能扭曲量測到的共變異數。

限制會改變可達成的結果。只能做多規則、權重上限、槓桿限制、流動性上限、最低交易量和融資可用性，都可能阻止目標貢獻精確達成。若限制生效，應報告實際達成的風險占比，而不是把數值目標說成投資組合的實際配置。再平衡門檻和交易成本也很重要：每次估計後都進行數學上精確的更新，可能增加周轉，卻不一定可靠改善共變異數輸入。

等權配置會選擇\((w_i=1/N)\)等資金權重；風險占比可能非常不平均。ERC選擇相對權重以達到風險占比目標，因此權重往往不相同。最小變異數配置則在指定限制下最小化\((w^{\top}\Sigma w)\)。它不一定會讓各組成部分的風險相等；若估計共變異數矩陣偏好少數資產，權重也可能集中於這些資產。Markowitz最初的投資組合選擇架構把預期報酬與共變異數視為效率投資組合選擇的核心（Markowitz，1952）；基本風險預算追求不同目標，也不需要預期報酬向量。

波動率目標策略回答另一個問題：投資組合在特定時間應持有多少總曝險？常見設計以\(g_t=\sigma^*/\hat\sigma_{p,t}\)縮放基礎配置，其中\(\sigma^*\)是所選目標，\(\hat\sigma_{p,t}\)是在相同單位與期間下估計的目前波動率。若套用共同的正乘數，總風險會改變，但各組成部分的相對風險占比會維持不變。風險平價設定組成部分的相對占比；波動率目標策略則隨時間縮放曝險。兩項規則可以結合。Moreira與Muir的波動率管理投資組合研究另行探討曝險隨時間變化的問題；後續研究也評估這類策略的表現（Cederburg等人）。這些不是與ERC相同的配置規則。

風險平價也不同於根據預期報酬預測進行的配置。[Kelly準則指南](/tw/learn/kelly-criterion-position-sizing-trading-explained)著重於為特定目標，根據估計報酬與風險決定部位大小；ERC則以選定的風險模型分配預算，不會按預期報酬排列資產。兩種方法都無法消除估計不確定性，權重規則也不代表認可特定資產。

ERC說明投資組合如何分配選定的風險衡量方式，但不代表各組成部分預期帶來多少報酬，也不會決定投資人應承受多少總波動率。給低波動率資產較高資金權重，投資組合總波動率仍可能低於政策目標。擴大部位可能需要槓桿、衍生性商品或融資，並帶來簡單共變異數計算中沒有的擔保品、基差、流動性、交易對手與資金風險。風險平價不一定需要槓桿，但仍須個別考慮投資組合層級的曝險決策。

估計風險占比取決於資料視窗和模型。市場壓力時相關性可能上升，波動率估計可能落後於急遽變動，過往共變異數矩陣也無法描述未來所有共同損失。事前占比相同，並不保證每個期間的實際損失相同。應檢視各時期的貢獻、對共變異數假設進行壓力測試，並在估計樣本中缺少或罕見的情境下檢查投資組合。

風險平價也不是自動提高報酬的方法。由於基本方法不納入預期報酬，可能大量配置給估計風險低、但預期未來報酬不吸引人的資產。Asness、Frazzini與Pedersen討論槓桿厭惡作為風險平價可能的經濟理由，並在其研究範圍內提供證據（他們2012年的論文）；這不是普遍解釋，也不保證未來有超額表現。任何提議的投資組合，都應在固定的樣本外評估設計和實際淨成本下，與相關基準比較。

可重現的風險平價說明應列出組成部分、風險衡量方式、目標預算、共變異數估計量、回溯期間、報酬期間、再平衡時間、幣別慣例和限制。投資組合資金權重與組成部分風險占比都要呈現；兩者不能互相推導。若限制使目標占比無法達成，應說明實際數值和生效的限制。

若要實際交易，也應報告槓桿、擔保品或融資、周轉、執行假設和成本。估計風險與實際風險要分開衡量，因為事前風險預算是模型輸出，事後報酬路徑則是觀察結果。總波動率目標應與相對風險預算分開；不要從平衡貢獻推論預期獲利。

風險平價可以讓估計投資組合風險的集中程度更清楚，並建立透明的配置規則。但其效用仍取決於所選的組成部分、風險衡量方式、共變異數估計和實際執行。它不會讓不同資產變得一樣安全、不會消除回撤、不會找出最佳報酬預測，也不保證底層關係改變時投資組合仍有韌性。