Deflated Sharpe Ratio：多重檢定與回測選擇

研究者可能會嘗試多種信號定義、回看窗口、入場閾值、資產範圍、持有期限和成本假設，然後報告 Sharpe 比率最高的版本。即使所有候選都沒有真實技能，有限樣本中的估計值仍會因噪聲而不同。搜索範圍越廣，最大估計值通常越高。因此，被選結果不同於在查看數據之前就確定單一策略後進行的評估。

Bailey 和 López de Prado 提出的 Deflated Sharpe Ratio 處理所選 Sharpe 被抬高的兩個來源：多重檢驗和非正態報酬。多重檢驗提高了結果必須跨越的基準；非正態性則會改變 Sharpe 估計的不確定性。原論文將 DSR 描述為以選擇調整後的閾值計算 Probabilistic Sharpe Ratio。原論文說明了推導過程和試驗次數的估計方法。

這種表述有助於避免一種常見誤解。DSR 不會從報告的 Sharpe 中機械地扣除固定惩罰，生成一個新的績效比率。它估計觀測到的 Sharpe 超過搜索範圍、樣本長度和報酬矩共同決定的門槛多少。Sharpe 點估計可以不變，但證據較弱時 DSR 仍可能下降。關於 Sharpe 本身的含義，也可參閱Sharpe 的原始說明。

假設所有測試規則的真實 Sharpe 相同，但由於使用有限樣本，每個估計值都有波動。選擇最大估計值時，也選中了有利的測量誤差。這就是赢家诅咒：用新數據評估時，被選估計值預計會回歸到整個候選組的典型水平。

試驗數量很重要，估計值之間的差異程度也很重要。如果候選產生的報酬几乎相同，它們的估計 Sharpe 會高度相關；與同樣多但互不相關的候選相比，這些相關候選提供的獨立機會更少，較難偶然得到很高的最大值。因此，參數網格中的行數並不自動等於獨立試驗次數。

搜索記錄還應包括正式網格以外的決策，例如手動調整閾值、剔除某個市場或修改成本假設，因為這些操作可能影響最終保留的結果。只用最終候選計算的 DSR，無法考慮未記錄或未作為輸入提供的實驗。

Probabilistic Sharpe Ratio（PSR）估計樣本 Sharpe 是否超過選定基準，並考慮報酬觀測數以及估計的偏度和峰度。DSR 沿用相同的基本計算，但選擇一個能反映搜索中預期最大 Sharpe 的基準。

一種常見的 PSR 近似中，經選擇調整後的計算式為：

$$ \mathrm{DSR}=\Phi\!\left( \frac{(\widehat{SR}-SR_0)\sqrt{T-1}} {\sqrt{1-\widehat{\gamma}_3\widehat{SR} +\frac{\widehat{\gamma}_4-1}{4}\widehat{SR}^{\,2}}} \right) $$

其中，$\Phi$ 是标準正態累積分布函數，$\widehat{SR}$ 是每個報酬觀測对應的觀測 Sharpe，$SR_0$ 是同一單位下經選擇調整的門槛，$T$ 是觀測數量。$\widehat{\gamma}_3$ 是樣本偏度，$\widehat{\gamma}_4$ 是 Pearson 峰度，正態分布的峰度為 3。分母反映偏度和峰度如何改變 Sharpe 估計的不確定性。

結果取決於采用的口徑。應使用同一频率的超額報酬，並在該频率下計算 Sharpe 和門槛，同時統一峰度定義。只將其中一個量年化會改變比較結果。常見公式還依賴於对報酬觀測之間依賴結構的假設；序列相關性需要單獨處理，而不是悄悄並入 $T$。

对於 $N$ 個相互獨立且分布近似正態的 Sharpe 估計值，Bailey 和 López de Prado 使用極值近似來估計預期最大值：

$$ SR_0 \approx \mu_{SR}+\sigma_{SR} \left[(1-\gamma_E)\Phi^{-1}\!\left(1-\frac{1}{N}\right) +\gamma_E\Phi^{-1}\!\left(1-\frac{1}{Ne}\right)\right] $$

$\mu_{SR}$ 和 $\sigma_{SR}$ 分別表示候選 Sharpe 估計值的均值和标準差；$\Phi^{-1}$ 是标準正態分位數函數，$e$ 是自然常數，$\gamma_E \approx 0.5772$ 是欧拉–馬歇羅尼常數。該式估計在所選試驗模型下，僅由選擇效應導致的最高估計值可能有多高。它不是適用於所有策略搜索的通用門槛。

候選結果若彼此相關，把每個變體都視為獨立可能會高估有效試驗次數。論文討論了如何根據候選間的依賴關係估計獨立試驗數，但這項估計本身也是一種建模選擇。相關性只是依賴關係的一種形式；候選很多而報酬歷史較短時，估計可能不穩定。應報告候選原始數量、有效數量的估計方法，以及对合理替代假設的敏感性。

假設一個刻意簡化的搜索包含 20 個相互獨立的策略候選。在零假設下，令其 Sharpe 估計均值為 0，月度單位的标準差為 0.20。預期最大值近似給出每月約 $SR_0=0.380$ 的選擇門槛。這些輸入只是用於展示計算的假設，不是市場觀測值或建議基準。

再假設某個被選策略有 60 個月度超額報酬觀測，估計月度 Sharpe 為 0.50，樣本偏度為 0，Pearson 峰度為 3。PSR 部分比較的是 0.50 與 0.380，而不是與 0 比較：

$$ z=\frac{(0.50-0.380)\sqrt{59}}{\sqrt{1+((3-1)/4)(0.50)^2}} \approx 0.868,\qquad \mathrm{DSR}=\Phi(z)\approx 0.807 $$

在這些簡化假設下，DSR 約為 80.7%。這並不表示該策略下個月盈利的概率是 80.7%，也不是下個月報酬預測。它是在給定模型和輸入條件下，認為真實 Sharpe 超過所選門槛的統計證據估計。試驗次數、依賴關係估計、樣本或報酬分布形状不同，結果都可能改變。

試驗估計值的離散程度會顯著影響結果。如果只把候選 Sharpe 估計值的假設标準差從 0.20 改為 0.10，同樣進行 20 次搜索時，門槛約為 0.190，DSR 約為 98.8%。若标準差為 0.30，門槛約為 0.570，DSR 約為 30.6%。觀測 Sharpe 0.50、60 個觀測、偏度和峰度都保持不變。這個假設敏感性說明，如何估計試驗結果的離散程度以及候選間依賴關係都很重要；上述數值仍使用相同月度單位和簡化模型。

兩種策略的樣本 Sharpe 和樣本長度可能相同，但報酬分布不同。明顯的左尾、不对稱性或異常频繁的極端觀測值，都可能改變 PSR 分母所表示的樣本不確定性。該調整根據實測矩計算，不會將所有非正態分布視為同等有害，也不保證少數樣本矩能夠完整描述尾部行為。

計算還取決於如何定義一次觀測。日、周、月數據會得到不同的 $T$、Sharpe、偏度和峰度。持有期重疊的報酬可能使相鄰數據行相互依賴。經過平滑或過時的估值可能比其背後的經濟風險顯得波動更低。應說明樣本频率和報酬構造方式，而不能只提供年化 Sharpe。

PBO 使用 Combinatorially Symmetric Cross-Validation，考察樣本內赢家在互補分塊中的排名有多少次不高於候選中位數。DSR 估計所選 Sharpe 是否超過經搜索過程和非正態性調整的門槛。兩者的輸出和重采樣假設不同，不能互相替代。另請參閱[PBO 與 CSCV 指南](/zh-TW/learn/probability-of-backtest-overfitting-cscv-explained)和[金融中的多重檢驗指南](/zh-TW/learn/multiple-testing-false-discovery-rate-finance-explained)。 Bailey 等人在 PBO 原始論文中將這項選擇診斷形式化。

White 的 Reality Check 使用 bootstrap 檢驗候選組中最好的規則，在考慮數據窺探後是否勝過指定基準。它關注相对基準的問題，而 DSR 使用基於 Sharpe 的門槛。按時間順序進行的 walk-forward 或最終留出集，考察凍結的研究流程在後續時期如何表現。這些方法評估研究主張中的不同部分，因此可以互為補充。 White 在其 Reality Check 原始論文中介紹了這項方法。

可復現的報告應列出候選範圍、所有影響選擇且有記錄的決策、試驗原始數量、有效試驗數的估計方法、報酬序列、樣本長度和频率、Sharpe 定義、偏度、峰度口徑以及選擇調整後的門槛。說明報酬是毛報酬還是已扣除買賣價差、傭金、市場衝擊、資金費用、借券成本及其他成本後的淨報酬。並列展示觀測 Sharpe 和 DSR，便於讀者看出差異。

常用公式所依賴的抽樣模型可能不適合存在序列相關的觀測值。Lo 關於 Sharpe 比率統計的研究說明了時間聚合和依賴關係為何會影響 Sharpe 推斷。如果報酬期重疊或存在序列相關，應使用能處理該結構的推斷程序並解釋其假設。將月度 Sharpe 乘以 $\sqrt{12}$ 並不能修正自相關。進行時間敏感的評估時，也可參閱[扩展式與滾動式 walk-forward 窗口指南](/zh-TW/learn/walk-forward-validation-expanding-vs-rolling-windows-explained)。

DSR 無法發現未記錄的搜索，不能消除前視信息泄漏，不能使存在幸存者偏差的數據具有代表性，也不能驗證成交、估算容量或保證策略在新市場環境中的穩定性。它也不能替代經濟邏輯或後續時期的時間順序證據。應將 DSR 視為研究流程中一項假設明確的診斷，並保存可復現的候選記錄和數據處理流程。