Tahminleri Birleştirme: Eşit ve Tahmin Edilmiş Ağırlıklar

Tahmin birleştirme, aynı nicelik için üretilmiş iki veya daha fazla tahmini tek bir tahmine dönüştürür. A, B ve C modellerinin her biri yarının gerçekleşen varyansını tahmin ediyorsa, değerlerin ortalaması alınabilir veya her birine farklı ağırlık verilebilir. Elde edilen sayı yeni bir tahmindir; hangi modelin doğru olduğuna dair oylama değildir.

Girdiler hedef, tahmin zamanı, ufuk, birimler ve bilgi kesim noktası bakımından aynı olmalıdır. Yalnızca ikisine de oynaklık deniyor diye bir günlük varyans tahminiyle aylık oynaklık tahmini doğrudan ortalanamaz. Önce ortak bir nicelik ve aralık belirleyin, sonra tahminleri hizalayın.

Birden fazla makul model serinin farklı özelliklerini yakaladığında veya hangisinin üstün kalacağı belli olmadığında tahmin birleştirme yararlı olabilir. Modellerin tamamen farklı algoritmalardan gelmesi gerekmez. Birleştirme açısından önemli olan adlarının ne kadar farklı olduğu değil, hatalarının birlikte nasıl davrandığıdır.

Bates ve Granger’ın ilk uygulaması, havayolu yolcu örneğinde bileşik tahminin iki bileşen tahminin her birinden daha düşük ortalama kare hataya sahip olabildiğini gösterdi. Bu sonuç birleştirmeyi sınamak için gerekçe sağlar; başka bir piyasa, hedef, dönem veya kayıp işlevinde iyileşme garantisi vermez (Bates ve Granger, 1969).

(K) tahmin için eşit ağırlıklı birleşim şöyledir:

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,EW} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

Her bileşen aynı payı alır. Ağırlıklar için eğitim örneklemi gerekmez ve kuralı yeniden üretmek kolaydır. Son yöntemde ağırlıklar tahmin edilecek veya kısıtlanacak olsa bile bu yararlı bir ölçüttür.

Eşit ağırlık, bütün tahminlerin aynı doğrulukta, bağımsız veya ekonomik açıdan eşit önemde olduğu anlamına gelmez. Yalnızca birleştirme işleminin geçmiş performansa dayanarak ayrı ağırlıklar tahmin etmediğini söyler. Girdilerin hepsi aynı özelliği kaçırıyorsa eşit ağırlıklı tahmin ortak yanlılığı da taşıyabilir.

Model adlarının sayısı bilgi çeşitliliğinin ölçüsü değildir. Üç oynaklık modeli aynı getiri serisini, seans sınırını ve örnekleme aralığını kullanıp aynı gecelik hareketi kaçırabilir. Ortalamalarını almak bu eksikliği kendiliğinden gidermez. Arşivlenmiş örneklem dışı hataların yararlı biçimde farklılaşıp farklılaşmadığını inceleyin; farklı etiketlerin bağımsız kanıt oluşturduğunu varsaymayın.

Üç modelin sonraki seans oynaklığını 12, 15 ve 20 baz puan tahmin ettiğini varsayalım. Eşit ağırlıklı tahmin \((12+15+20)/3=15.67\) baz puandır. Bu hesap yalnızca harmanın nasıl oluştuğunu gösterir; tek bir tahmin zamanı kuralın doğru veya kârlı olduğunu gösteremez.

Oynaklık için girdinin varyans mı yoksa standart sapma mı olduğunu kontrol edin. Üç varyans tahmininin ortalamasını alıp karekökünü hesaplamak, standart sapma tahminlerinin ortalamasını almakla genellikle aynı değildir. Sonraki değerlendirmede kullanılacak hedef tanımını ve birimleri koruyun.

Tahmin edilmiş ağırlıklara sahip doğrusal bir birleşim şöyle yazılabilir:

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,C} = \sum_{k=1}^{K} w_k \widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

Yaygın bir kuramsal sonuç, her tahmin hatasının ortalamasının sıfır olduğunu, hedeflerin aynı olduğunu ve ağırlıkların toplamının bir olduğunu varsayar. \(\Sigma_e\), bileşen tahmin hatalarının kovaryans matrisi olsun. Bu matris biliniyor ve terslenebiliyor olsaydı, belirtilen kısıtlar altındaki minimum varyanslı ağırlıklar şöyle olurdu:

\[ w^{*} = \frac{\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}} \]

Bu formül bir referans noktasıdır; gürültülü bir örneklem kovaryans matrisini tersine çevirme talimatı değildir. Uygulamada \(\Sigma_e\), sonlu sayıdaki arşivlenmiş tahmin hatasından hesaplanır. Yüksek korelasyonlu girdiler matrisi tekilliğe yaklaştırabilir; küçük veri değişiklikleri büyük ağırlık değişimleri yaratabilir.

Hata varyansı \(\sigma^2\) olan iki tahmin için eşit ağırlıklı ortalamanın varyansı \(\sigma^2(1+\rho)/2\) olur; burada \(\rho\), hatalar arasındaki korelasyondur. Her bir hata varyansı 4 ve korelasyon sıfırsa ortalamanın varyansı 2’dir. Korelasyon 0.90 olduğunda varyans 3.8 olur. Ortalamanın ne kadar varyans azaltabileceğini model etiketleri değil, hataların birlikte hareketi belirler. Bu hesap hata varyansına ilişkindir; bileşen tahminler yanlıysa ortalama kare hata yanlılığın karesini de içerir.

Başka bir yaklaşım, gerçekleşen hedefi arşivlenmiş bileşen tahminlerine, çoğu zaman sabit terimle birlikte, regresyona sokar. Granger ve Ramanathan, ağırlıkların toplamının bir olması gerekmeyen doğrusal regresyon yöntemlerini ele alır. Sabit terim ve serbest ağırlıklar eğitim örneklemindeki ortalama yanlılığı düzeltebilir; ancak yorum değişir: katsayılar mutlaka portföy payı değil, veriye uydurulmuş tahmin düzeltmeleridir (Granger ve Ramanathan, 1984).

Kısıtları değerlendirmeden önce belirleyin. Toplamı bir olan negatif olmayan ağırlıklar, en küçük ve en büyük bileşen tahmini arasında kalan dışbükey bir ortalama verir. Negatif ağırlıklara veya sabit terime izin vermek sonucu bu aralığın dışına çıkarabilir. Bu kalibre edilmiş bir tahmin için uygun olabilir, ancak varyans gibi negatif olamayan bir hedefe uymayabilir.

Üç modelin aynı sonraki seans hedefi için 12, 15 ve 20 baz puan tahmin ettiğini varsayalım. Yalnızca daha önceki tahmin zamanlarında hesaplanan ağırlıklandırma kuralı sırasıyla 0.50, 0.30 ve 0.20 ağırlık veriyor. Birleşik tahmin şöyledir:

\[ 0.50(12) + 0.30(15) + 0.20(20) = 14.5\ \text{baz puan} \]

Ağırlıklar negatif değildir ve toplamları birdir; bu nedenle sonuç dışbükey bir birleşimdir ve bileşen değerlerinin arasında kalır. 15.67 baz puanlık eşit ağırlıklı sonuçtan fark, seçilen ağırlıklardan kaynaklanır; ağırlıklı tahminin daha iyi olduğunu kanıtlamaz.

\(t\) anındaki ağırlıklar yalnızca sonucu o ana kadar bilinen tahmin hatalarıyla hesaplanmalıdır. Geçmiş bir geriye dönük testte, \(t\) zamanındaki 14.5 baz puanlık tahmin \(t\) anında mevcut bilgileri kullanabilir; \(t+1\) veya daha sonraki gerçekleşen hedefleri kullanamaz.

Hedef gözlemlendikten sonra bileşen tahminleri, birleşik tahmini, gerçekleşen değeri ya da vekil ölçümü ve kayıp işlevini kaydedin. Bu işlemi sonraki tahmin zamanlarında yinelemek, ortak tarihlerdeki kuralları karşılaştırmanızı sağlar. Yine de tek bir hesaplama kalıcı bir üstünlüğün kanıtı değildir.

Anakütle hata kovaryanslarının bilindiği durumda en iyi olan ağırlıklar, kısa bir örneklemde tahmin edilen ağırlıklarla aynı değildir. Tahmin işlemi ek belirsizlik getirir. Bileşen tahminler birbirine yakın olduğunda hataları yüksek korelasyon gösterebilir; optimizasyon da kalıcı olmayacak küçük tarihsel farklara aşırı uyum sağlayabilir.

Kang’ın benzetimleri ve makroekonomik tahmin uygulaması, birleştirme ağırlıklarının istikrarsız olabildiğini ve incelediği koşullarda basit ortalamanın uygulamada daha iyi sonuç verebildiğini gösterdi (Kang, 1986). Timmermann’ın incelemesi, tahmin hatası, model istikrarsızlığı ve hata bağımlılığının etkilerini açıklar (Timmermann, 200601004-9)).

Tahmin birleştirme paradoksuna ilişkin sonraki analizler aynı sonlu örneklem noktasını vurgular: sabit “optimal” ağırlıklar için elde edilen sonuçlar, ağırlıkların kendileri tahmin edildiğinde aynen geçerli olmayabilir (Claeskens ve diğerleri, 2016). Bu bulgular eşit ağırlığın her zaman kazanacağını kanıtlamaz; daha karmaşık bir ağırlık kuralının örneklem dışı karşılaştırmada başarısını göstermesi gerektiğini açıklar.

<!-- learn:illustration -->

Olası önlemler eşit ağırlıklarla başlamak, girdi sayısını sınırlamak, tahmin edilen ağırlıkları eşit paylara doğru küçültmek veya basit bir kısıt koymaktır. Her seçenek esneklik ile tahmin gürültüsü arasında ödünleşim yaratır. Seçimi eğitim verisinde yapın ve kuralı raporlayın; son test dönemini gördükten sonra en çekici görünen sürümü seçmeyin.

Arşivlenen her bileşen tahmini, belirtilen tahmin zamanında gerçekten üretilebilir olmalıdır. Her modeli o sırada erişilebilir verilerle yeniden kurun; tahmin zamanını, model sürümünü ve hedef tanımını saklayın. Örneklem içi uyum değerleri gerçek geçmiş tahminlerin yerine geçmez; model o tarihte henüz bilinmeyen gözlemleri kullanmış olabilir.

Arşivi hedef ve tahmin zamanı bakımından hizalayın. Her satırdaki bileşenler aynı gelecek aralığını hedeflemeli ve eğitim bilgileri aynı karar zamanında bitmelidir. Eksik tahminleri birleştirmeyi tahmin etmeden önce ele alın veya açıkça belirtin; girdi kümesini sessizce değiştirmek, ağırlıkların farklı tarihlerde farklı anlamlara gelmesine yol açabilir.

Ağırlık tahminini nihai değerlendirmeden ayırın. Kayan tahmin-zamanı düzeni, ağırlıkları \(t\) öncesinde hedef sonuçları gözlemlenmiş tahminlerden hesaplayabilir, \(t\) anında birleşimi üretip hedef gözlemlenince puanlayabilir. Genişleyen pencere uygun geçmiş zamanların tümünü kullanır; kayan pencere önceden belirlenmiş uzunluğa göre eski verileri bırakır. Performans değiştiğinde bu seçenekler farklı tepki verir.

Bileşen modelleri, dönüşümleri, ufukları, ağırlık kısıtlarını veya kayıp işlevlerini bir ayırma dönemini inceledikten sonra seçtiyseniz, bu dönem artık model geliştirme sürecine dahildir. Yeni bir test dönemi ayırın veya her seçim adımını eğitim verisinin içinde tutan iç içe bir değerlendirme kullanın.

Eşit ağırlık kuralını, tahmin edilmiş ya da küçültülmüş ağırlıkları ve tekil tahminleri aynı tahmin zamanlarında, aynı gerçekleşen hedefe karşı karşılaştırın. Kayıp işlevini ve ortak örneklemi raporlayın. Aksi halde bir yöntem yalnızca daha kolay tarihlerde veya farklı bir hedef tanımıyla puanlandığı için daha güçlü görünebilir.

Kayıp, hedefe ve soruya uymalıdır. Kare hata büyük sapmaları karesel olarak cezalandırır; mutlak hata büyük sapmalara farklı ağırlık verir. Oynaklık tahminlerini gürültülü gerçekleşen ölçümlere karşı puanlarken vekil ölçümün koşulları ve kayıp seçimi önemlidir; QLIKE ve kare hata kılavuzu bu farkları açıklar. Hangi yöntemi kayırdığını gördükten sonra kayıp seçmeyin.

Bir tahmin karşılaştırma testi, gözlenen kayıp farklarının örnekleme değişkenliğiyle tutarlı olup olmadığını değerlendirmeye yardımcı olabilir. Diebold–Mariano kılavuzu, eşleştirilmiş kayıp karşılaştırmasını ve tahmin hataları örtüştüğünde ya da bağımlı kaldığında gereken varsayımları ele alır. Test sonucu ileriye bakma yanlılığını gidermez veya ekonomik değer kanıtlamaz.

Birçok model kümesini, ağırlık kısıtını veya kayıp kuralını deneyip aynı değerlendirme döneminde en iyi görüneni seçtiyseniz, raporlanan karşılaştırma bu aramanın etkisini de içerir. White Reality Check kılavuzu ve geriye dönük testte aşırı uyum olasılığı kılavuzu, çok sayıda işlem kuralı arasından seçim sorununu tartışır. Bunların hiçbiri temiz bir tahmin arşivinin veya önceden belirlenmiş değerlendirmenin yerini tutmaz.

Doğrulama tasarımı kullanım ufkuna uymalıdır. Günlük tahmin zamanları birbiriyle örtüşen çok günlük hedeflere bakıyorsa, ardışık kayıplar bağımlı olabilir. Belirsizliği hesaplarken bu bağımlılığı hesaba katın; örtüşen satırları aynı sayıda bağımsız deney gibi değerlendirmeyin.

Birleştirmeden önce her modelin neyi tahmin ettiğini kontrol edin. Koşullu ortalama, varyans, kantil ve tam olasılık dağılımı farklı tahmin nesneleridir. Nokta tahminlerinin doğrusal ortalaması, kendiliğinden kalibre edilmiş bir yoğunluk tahmini veya güvenilir bir kuyruk riski tahmini üretmez.

Varyans gibi kesinlikle negatif olmaması gereken niceliklerde birleşik değerleri inceleyin. Negatif olmayan tahminlerin dışbükey ortalaması negatif kalır; negatif ağırlıklı veya sabit terimli bir regresyon bunu garanti etmez. Negatif değerleri sıfıra kırpmak kuralı değiştirir ve değerlendirmeden önce belirlenmelidir.

Tahmin sayısı da önemlidir. Zayıf veya neredeyse aynı girdiler eklemek, fazla yeni bilgi eklemeden uydurulacak ağırlık sayısını artırabilir. Tarihsel arşiv \(K\)’ya göre kısaysa şeffaf ve düşük boyutlu bir kuralı tercih edin; sonucun tek bir bileşene bağlı olmadığını gösterin.

Model tahminlerini birleştirmek, işlem pozisyonlarını birleştirmek değildir. İstatistiksel kaybın daha düşük olması, tahmini kullanan stratejinin ücret, alış-satış farkı, kayma, piyasa etkisi ve risk sınırlarından sonra daha fazla kazanacağını göstermez. Tahmin oluşturma ve onu kullanan işlem kuralı ayrı örneklem dışı kanıt gerektirir.

Yararlı bir rapor hedefi, ufku, birimleri, bileşen modelleri, tahmin zamanı damgalarını, arşiv dönemini ve eksik veri kuralını belirtir. Ağırlıkların eşit, tahmin edilmiş, kısıtlı, küçültülmüş veya zamanla değişken olup olmadığını ve ayarların nasıl seçildiğini açıklar.

Eşit ağırlıklı ölçütün, seçilen birleşimin ve en güçlü tekil tahminin sonuçlarını aynı değerlendirme tarihlerinde gösterin. Kayıp işlevini, belirsizlik yöntemini ve örtüşen hedeflerin nasıl ele alındığını ekleyin. Ağırlıklar pencereler arasında keskin biçimde değişiyorsa yalnızca son değerleri değil, bu istikrarsızlığı da gösterin.

Son olarak ampirik iddiayla karar iddiasını ayırın. “Bu örneklemde bu kayıp işlevi altında bu birleşimin ortalama kaybı daha düşüktü” ifadesi, “tahmin birleştirme işlemleri iyileştirir” iddiasından daha dar ve yeniden üretilebilirdir. İlki saklanan tahmin arşivinden sınanabilir; ikincisi strateji, uygulama varsayımları ve ayrı kanıt gerektirir.