Ortak VaR–ES Puanlaması: Fissler–Ziegel ile Tahmin Değerlendirmesi

L_t kayıp olsun; dolayısıyla daha büyük değer daha kötüdür. c, örneğin %97,5 güven düzeyidir. Koşullu kayıp kantili v(c,t), F(L_t ≤ x | t−1'e kadar eldeki bilgi) değerini c'ye ulaştıran en küçük x'tir. Pozitif kayıp ve üst kuyruk kuralında kuyruk ortalaması sonluysa ES, v(u,t)'nin c'den 1'e integralinin 1/(1−c) katıdır. Sürekli dağılımda bu, VaR eşiğini aşan ortalama kayıptır. Eşikte olasılık kütlesi varsa kantil-integral tanımı gerekli kısmı hesaba katar.

Puan, tahminlerle aynı işaret kuralını kullanmalıdır. Bazı çalışmalar VaR ve ES'yi getirilerin alt kuyruğu için, genellikle negatif değerlerle tanımlar ve kuyruk olasılığını α = 1−c olarak yazar. Pozitif kayıp kuralında aynı risk üst kuyruktadır ve ES, VaR'dan küçük değildir. Kuralları karıştırmak eşitsizlikleri ve istisna göstergelerini tersine çevirebilir. İşareti, güven düzeyini, ufku ve sonuçtan önce mevcut olan bilgiyi kaydedin.

Kantilin bilinen strictly consistent bir pinball puanı vardır. Kayıp L ve c kantili v için bir VaR puanı S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L) şeklindedir. Olağan kantil koşullarında beklenen değeri hedef kantilde minimuma iner; bu nedenle VaR tek başına değerlendirilebilir.

Risk yönetiminde kullanılan geniş kayıp dağılımı sınıflarında ES'yi tek başına elicitable kılan eşdeğer bir strictly consistent puan yoktur. Bu ifade, beklenen puanın ES'yi tekil olarak seçtiği bağımsız nokta tahminiyle ilgilidir. ES'nin anlamsız, test edilemez veya daha büyük bir tahminin parçası olarak karşılaştırılamaz olduğunu söylemez.

Fissler ve Ziegel temel ayrımı ortaya koyar: ES bu anlamda tek başına elicitable değildir; ancak uygun düzenlilik ve moment koşulları altında (VaR, ES) çifti birlikte elicitable olabilir. 2016 tarihli makaleleri strictly consistent puan sınıfları için gerekli ve yeterli koşulları verir (Fissler and Ziegel, 2016). Birlikte elicitability, tek puan fonksiyonunun iki tahmin bileşenini ve gerçekleşen sonucu girdi alması demektir. İki keyfî kaybı toplamak geçerli bir ES puanı oluşturmaz.

c düzeyindeki admissible ortak puanı S_c(v,e;L) ile gösterelim. Strict consistency, hedef dağılım altındaki beklenen puanın doğru çiftte minimum olmasıdır: (VaR_c, ES_c) = arg min, (v,e) üzerinde, E[S_c(v,e;L)]. İlgili koşullarda minimum tektir. Puan, VaR eşiğinin aşılıp aşılmadığı bilgisini gerçekleşen kuyruk kaybı ve ES tahminiyle birleştirir. Pozitif kayıp üst kuyruğunda ES, VaR'dan düşük olmamalıdır.

Fissler–Ziegel zorunlu tek formül değil, puan sınıfı tanımlar. Patton, Ziegel ve Chen bu sonucu dinamik VaR–ES tahminlerini modellemek ve karşılaştırmak için kullanır (Patton, Ziegel, and Chen, 2019). Yaygın üyelerden FZ0, alt kuyruk getirisi kuralında Y = −L, α = 1−c ve e ≤ v < 0 olan negatif tahminler için yazılır: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1. Bu ifade getiri işaretine ve belirtilen negatiflik varsayımlarına bağlıdır. Her pozitif kayıp veri kümesine veya her ortak puana doğrudan uygulanamaz. Seçilen puanı belgeleyin ve varsayımlarının veri ile tahmin kuralına uyduğunu doğrulayın.

Model m için her tahmin–sonuç çiftinde ortak puanı hesaplayıp ortalamasını alın: mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t). Aynı admissible puan, tarih, hedef ve kurallar kullanıldığında daha düşük ortalama, o kurala göre daha iyi göreli performans gösterir. Puan olasılık, VaR tutarı veya parasal kayıp tahmini değildir; sayısal ölçeği seçilen puana bağlıdır.

A ve B'yi eşleştirilmiş olarak karşılaştırmak için d_t = S_A,t − S_B,t hesaplayın. Negatif ortalama seçilen puana göre A'yı destekler. İki tahmin aynı gerçekleşen sonuçla karşılaştığından eşleştirilmiş fark, ayrı ayrı yuvarlanmış ortalamaları kıyaslamaktan daha bilgilendiricidir. Kuyruk gözlemleri azsa fark yine gürültülü olabilir.

<!-- learn:illustration -->

Tahmin başlangıçlarını, portföy veya hedefi, ufku, güven düzeyini ve veri sürümünü aynı tutun. Tahminler sonuçlar görülmeden kaydedilmelidir. Ufuklar örtüşüyorsa veya puan farkları serisel bağımlıysa belirsizlik hesabı bunu yansıtmalıdır. Uygun standart hata ya da aralık raporlayın; küçük ham fark tek başına anlamlı değildir.

VaR pinball kaybına ES tahmini ile bir vekil değer arasındaki mutlak farkı eklemek cazip gelebilir. İkinci terim geçerli bir ES puanı olmayabilir ve keyfî ağırlıklı toplam ortak tutarlılığı garanti etmez. FZ puanı VaR–ES çiftini birlikte hedefleyecek şekilde kurulur. Bu özelliği korumayan ağırlıklar veya dönüşümler değerlendirilen soruyu değiştirir.

Fissler–Ziegel sınıfında ölçek ve duyarlılıkları farklı birçok puan vardır; farklı kurallardan elde edilen farklar doğrudan karşılaştırılamaz. Patton, Ziegel ve Chen puan tasarımını ve ek işaret varsayımları altında FZ0'ın ölçek özelliklerini inceler; bu, FZ0'ın her durumda en iyi olduğu anlamına gelmez. Sıralamayı görmeden puanı seçip bildirin.

Tahmin çifti de önemlidir. Sayısal olarak makul görünen bir ES tahmini, eşindeki VaR ile uyumsuz olabilir. İyi ortak puan da koşullu dağılımın tamamının doğru olduğunu kanıtlamaz. Puan, seçilen kural ve değerlendirme tasarımı altındaki VaR–ES fonksiyonelini değerlendirir.

VaR istisna göstergesi ikilidir: L_t, VaR tahminini aşarsa I_t = 1, aksi durumda 0 olur. İki modelde istisnaların sayısı ve tarihleri aynı olabilirken eşik ötesindeki kayıp büyüklükleri çok farklı olabilir. Dört ihlal sayısı bunların küçük mü yoksa çok büyük mü olduğunu anlatmaz. Yalnızca hit saymak, ES'nin açıklamayı amaçladığı aşım şiddetini kaybettirir.

Ortak puan eşiği ve ES tahminlerini gerçekleşen kayıpla birlikte kullanır; bu nedenle kuyruk kaybının büyüklüğü hit sayısının ötesinde puanı etkileyebilir. Her gözlemin tam katkısını seçilen puan belirler. Tek bir aşırı kayba bakarak kazanan ilan etmeyin; ortak örneklemin tamamında puanı hesaplayıp duyarlılığı inceleyin.

Tahminleri karşılaştırmak için puanlama, VaR istisna sıklığını kontrol etmekle aynı çalışma değildir. Ortak puan hangi tahmin çiftinin aynı kurala göre daha iyi işlediğini sorar; tam bir kalibrasyon belgesi değildir.

Kupiec türü VaR testleri istisna sayısını hedef oranla karşılaştırır; Christoffersen uzantıları bağımlılığı veya kümelenmeyi de inceler. Her sonucu hit/non-hit olarak indirgedikleri için VaR ötesindeki kaybın büyüklüğünü ölçmez ve ES tahminini doğrudan doğrulamazlar. VaR ve Expected Shortfall rehberi, istisna sayılarının kuyruk şiddetini neden dışarıda bıraktığını açıklar.

Ortak puanlama göreli tahmin karşılaştırmasını destekler; backtesting ise tahminin belirli bir prosedür için yeterince kalibre olup olmadığını sorar. Acerbi ve Szekely parametrik olmayan ES backtestleri önerdi ve elicitability'nin risk ölçüsünü test etmenin önkoşulu değil, model seçimiyle ilgili olduğunu belirtti (Acerbi and Szekely, 2014). Bayer ve Dimitriadis ortak VaR–ES yapısıyla regresyon tabanlı ES backtestleri geliştirdi; farklı sürümlerin kendi varsayımları ve kovaryans koşulları vardır (Bayer and Dimitriadis, 2022). Puan sıralaması özel backtestin yerini tutmaz; hipotezi reddedememek de tahmin çiftinin doğru olduğunun kanıtı değildir.

Puan farklarının zaman serisini veri olarak ele alın. Örtüşmeyen tek adımlı tahminlerde ve uygun bağımlılık varsayımlarında ortalama fark için eşleştirilmiş test düşünülebilir. Serisel bağımlılık veya örtüşen ufuklar varsa uzun dönem varyans tahmini ya da blok yeniden örnekleme gibi uygun çıkarım kullanın. Yalnızca p değeri vermek yerine yöntemi ve bant genişliği ya da blok kuralını açıklayın.

Sıralamayı görmeden puanı, kuyruk düzeyini, ufku, değerlendirme tarihlerini ve model kümesini sabitleyin. Çok sayıda puan, pencere, varlık veya tahmin sürümü deneyip yalnızca en iyisini bildirmek seçim etkisi yaratır. Mümkünse sonraki bir değerlendirme dönemini ayırın ve alternatifleri nasıl elediğinizi açıklayın. Bildirilen belirsizlik bu aramayı otomatik olarak hesaba katmaz.

Ortalama puanları ve eşleştirilmiş farkı belirsizlikle birlikte; puan tanımını, VaR–ES kurallarını, ortak örneklem dışı tarihleri ve kuyruk gözlem sayısını raporlayın. Makul puan veya dönem seçimlerinde sıralama değişiyorsa bu duyarlılığı gösterin.

Yüksek güven düzeylerinde kuyruk gözlemleri az olduğundan uzun bir seride bile model sıralaması istikrarsız olabilir. Koşullu değişen varyans, rejim değişiklikleri, örtüşen getiriler, tahmin hatası, veri sorunları ve portföy değişimleri puan farklarını etkileyebilir. Ortak elicitability bunları ortadan kaldırmaz; matematiksel koşullar altında ilkeye dayalı bir puan sınıfı sağlar.

Gerçekleşen kaybın tahminle aynı portföy, ufuk, değerleme yöntemi ve işarete sahip olduğunu; VaR ile ES'nin aynı kuyruk olasılığını kullandığını; tahminlerin sonuçtan önce verildiğini ve puanın varsayımlarına uyduğunu kontrol edin. Örneklem uzunluğunu, kuyruk sayısını, puan formülünü, eşleştirilmiş belirsizlik yöntemini ve puan/model aramalarını bildirin. Sonuç bu tasarıma bağlıdır.

Daha düşük ortak puan, seçilen bir proper scoring rule altında göreli tahmin başarısına ilişkin kanıttır. Modelin her kuyruk olayını yakaladığını, risk tahmininin güvenli olduğunu veya geleceğin örnekleme benzeyeceğini kanıtlamaz. Bu istatistiksel bilgidir, yatırım tavsiyesi değildir.