VaR Geriye Dönük Testi: Kupiec ve Christoffersen Testleri

Value at Risk (VaR), belirli bir güven düzeyi ve ufuk için zarar eşiğidir. Bir günlük %99 VaR 10.000 dolar ise model, kendi bilgi kümesi ve varsayımları altında bir günlük zararın 10.000 doları aşma olasılığını %1 olarak belirler. Bu rakam olası zararın üst sınırı değildir; eşik aşıldığında zararın ne kadar büyüyebileceğini de söylemez.

Geriye dönük test, tahmin ve sonuç dizisini VaR ihlali göstergelerine dönüştürür. İyi kalibre edilmiş %99 bir günlük modelde, karşılaştırılabilir gözlemler tekrarlandığında ihlallerin uzun dönem oranı yaklaşık %1 olmalıdır. Burada iki ayrı özellik vardır: uzun dönem sıklığı hedefe yakın olmalı, ihlallerin sırası da koşullu risk tahminleriyle çelişmemelidir. Kupiec'in başarısızlık oranı (POF) testi ilk özelliğe odaklanır. Christoffersen'in bağımsızlık ve koşullu kapsama testleri ihlallerin sırasını da analize katar.

Bu ayrım uygulamada önemlidir. Bir model bir yılda dört ihlal üretip bunların hepsini dalgalı bir haftada gösterebilir; başka bir modelde aynı dört ihlal yıl içine dağılabilir. Yalnızca sayıya bakan test her ikisinde de dört görür. Zamanlamayı dikkate alan test farklı diziler görür. Aşağıdaki testler bu özellikleri tanımlamaya yardımcı olur; pozisyonları, piyasa verilerini, varsayımları veya zarar büyüklüğünü incelemenin yerini tutmaz. GARCH modellerinin volatilite kümelenmesini nasıl temsil ettiğini GARCH ve volatilite kümelenmesi rehberinde inceleyebilirsiniz; volatilite modeli riskin zaman içindeki seyrini açıklar, backtest ise tahmin edilen risk ile gerçekleşen sonucu karşılaştırır.

Analiz boyunca tek bir işaret kuralı kullanın. Lₜ, t gününde gerçekleşen zarar; VaRₜ|ₜ₋₁ ise t gününden önceki bilgilerle tahmin edilen bir günlük zarar eşiği olsun. Iₜ göstergesini Lₜ > VaRₜ|ₜ₋₁ ise 1, değilse 0 olarak tanımlayın. %99 VaR için hedef ihlal olasılığı α = 1 − 0,99 = 0,01 olur. Bazı kaynaklar göstergeyi getiri üzerinden veya kapsanan aralık üzerinden tanımlar; işaret ve olasılık tutarlı biçimde dönüştürüldüğünde bunlar eşdeğerdir. Kullandığınız tanımı açıkça belirtin.

Tahmin ve sonuç aynı portföyü, ufku, değerleme zamanını ve zarar tanımını kapsamalıdır. Kapanıştan sonra ertesi işlem günü için tahmin üretiyorsanız, ertesi günün zararını önceden belirlenmiş değerleme kuralıyla karşılaştırın. VaR sınırına eşitlik, tatiller, eksik gözlemler, piyasa kapanışları, gün içi düzeltmeler ve portföy değişikliklerinin nasıl ele alınacağını önceden kararlaştırın. İhlaller seyrek olduğunda tek bir sınıflandırma farkı sonucu belirgin biçimde değiştirebilir.

Model seçimini nihai değerlendirmeden ayırın. Testte kullanılan aynı dönemi görerek parametreleri veya risk eşiklerini seçtiyseniz p-değeri artık temiz bir örneklem dışı kontrolü temsil etmez. Kayan tahminlerde her tahminin ne zaman üretildiğini ve o sırada hangi bilgilerin mevcut olduğunu kaydedin. Birbirinin üzerine binen çok günlük tahminler ihlal dizisinde bağımlılık yaratabilir. Standart testler ufuk uyumsuzluğunu, ileriye dönük bilgi sızıntısını, düzeltilmiş girdileri veya model seçimi sürecini kendiliğinden düzeltmez.

Karşılaştırılabilir T tahmin-sonuç çifti ve x ihlal olduğunu varsayalım. Gözlenen oran p̂ = x/T olur. Başarısızlık oranı testi olarak da bilinen Kupiec POF testi (1995 tarihli çalışması) iki binom olabilirliğini karşılaştırır: ilki ihlal olasılığını hedef α değerinde sabitler, ikincisi bu olasılığı gözlenen p̂ olarak serbestçe tahmin eder. Olabilirlik oranı istatistiği şöyledir:

LRᵤ꜀ = −2 ln [ (1−α)^(T−x) α^x / ((1−p̂)^(T−x) p̂^x) ]

Sıfır hipotezinde ihlal göstergeleri, olasılığı α olan bağımsız Bernoulli olaylarıdır. Yeterince büyük örneklemde istatistik, bir serbestlik dereceli ki-kare dağılımına yaklaşık uyar. Büyük değer, belirtilen ihlal sıklığını reddetmek için kanıttır. Alternatif olasılığı gözlenen orana göre serbestçe tahmin ettiği için test, ihlal sayısı hedefin üstünde olduğu kadar altında olduğunda da reddedebilir. VaR sınırını neredeyse hiç aşmayan model otomatik olarak iyi kalibre edilmiş sayılmaz; kullanım amacı için fazla ihtiyatlı olabilir.

POF tarihleri değil, x sayısını kullanır. Aynı göstergelerin yerini değiştirmek istatistiği değiştirmez. Dolayısıyla POF sonucu dört ihlalin yıl içine dağılıp dağılmadığını ya da art arda gelip gelmediğini söyleyemez. Binom referans dağılımı ayrıca ihlallerin bağımsız olduğu varsayımına dayanır. Kümelenme sorusu varsa bunu POF sonucundan çıkarmak yerine bağımlılığı inceleyen bir test ekleyin.

%99 bir günlük VaR tahminlerinden oluşan varsayımsal 250 günlük bir dizi düşünün. Hedef oran α = 0,01 olduğundan sıfır hipotezi altındaki beklenen ihlal sayısı Tα = 250 × 0,01 = 2,5'tir. Dizide dört ihlal bulunduğunu varsayalım. Gözlenen oran p̂ = 4/250 = 0,016, yani %1,6 olur. Bu %1 hedefin üzerindedir, ancak fark tek başına olabilirlik oranı testinin reddedip reddetmeyeceğini belirlemez.

T = 250, x = 4 ve α = 0,01 değerleri yerine konduğunda LRᵤ꜀ ≈ 0,769 elde edilir. Asimptotik ki-kare(1) referansıyla p ≈ 0,38; %5 kritik değeriyse yaklaşık 3,84'tür. Bu yaklaşıma göre örnek, %5 düzeyinde koşulsuz kapsama hipotezini reddetmez. Bu sayılar yöntemi göstermek için varsayımsaldır; piyasa sonucu ya da genel kabul eşiği değildir.

İki log-olabilirlik değeri istatistiğin kaynağını gösterir. Hedef oran sabitken ℓ₀ = 246 ln(0,99) + 4 ln(0,01) ≈ −20,893. Gözlenen oran serbestçe tahmin edildiğinde ℓ₁ = 246 ln(0,984) + 4 ln(0,016) ≈ −20,508 olur. Serbest uyum yaklaşık 0,385 log-olabilirlik birimi daha yüksektir; bu nedenle LRᵤ꜀ = −2(ℓ₀ − ℓ₁) ≈ 0,769. Test, hedef oranlı modelin uyum kaybını ölçer; dolar cinsinden uzaklığı ölçmez.

Reddedememek modelin iyi kalibre edildiğini kanıtlamaz. Beklenen ihlal yalnızca 2,5 olduğu için bir veya iki olay gözlenen oranı belirgin biçimde değiştirir. Ki-kare hesabı asimptotiktir ve seyrek olay testleri bu büyüklükteki örneklemlerde düşük güce sahip olabilir. İstatistiği beklenen sayıyla, tahmin ufkuyla, test tasarımıyla ve örneklem büyüklüğüyle birlikte değerlendirin. p-değeri VaR modelinin doğru olma olasılığı değildir.

Her birinde dört ihlal bulunan varsayımsal iki 250 günlük diziyi karşılaştıralım. A dizisindeki ihlaller 20, 80, 140 ve 220. günlerdedir. B dizisindekiler 60, 61, 180 ve 181. günlerdedir. İkisinde de x = 4 ve p̂ = %1,6 olduğundan Kupiec istatistiği aynıdır. Ancak B'de iki bitişik ihlal çifti varken A'da yoktur.

Aşağıdaki çizim, yalnızca toplamı değil ihlal sırasını da saklamanın neden yararlı olduğunu kavramsal olarak gösterir. Gerçek bir 250 günlük seri veya test sonucu değildir. Art arda gelen ihlaller modelin değişen oynaklığa uyum sağlayıp sağlamadığını incelemeyi gerektirebilir, ancak birkaç gözlem tek başına nedeni belirlemez. Modelin yanlış tanımlanması, piyasa şoku, portföy değişiklikleri, örtüşen ufuklar veya veri ve zaman kuralları da örüntüyü açıklayabilir.

Önceki gösterge i, mevcut gösterge j olduğunda geçiş sayısını nᵢⱼ olarak yazalım; 0 ihlal yok, 1 ihlal var demektir. Dizi sınırları dışında tam geçiş sayımları A için n₀₀ = 241, n₀₁ = 4, n₁₀ = 4, n₁₁ = 0; B için n₀₀ = 243, n₀₁ = 2, n₁₀ = 2, n₁₁ = 2 olur. İkisinde de dört olay vardır; B'deki iki olay bir önceki günün ihlalinden sonra gelir. Birinci dereceden bağımsızlık testi bu sıralama bilgisini kullanır.

İhlalsiz bir günden sonraki ihlal olasılığı n₀₁/(n₀₀+n₀₁), bir ihlal gününden sonraki olasılık n₁₁/(n₁₀+n₁₁) ile tahmin edilir. A'da bunlar 4/245 ≈ %1,63 ve 0/4; B'de 2/245 ≈ %0,82 ve 2/4 = %50'dir. %50 değeri yalnızca ihlal sonrası dört geçişin ikisinin ihlal olduğu bu küçük varsayımsal diziden gelir; gerçek bir modelin ertesi gün riskine dair güvenilir tahmin değildir.

Christoffersen'in 1998 tarihli makalesinde ele alınan bağımsızlık testi, sakin bir günden sonraki ihlal oranıyla ihlal yaşanmış bir günden sonraki oranı karşılaştırır. π₀ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 0) ve π₁ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 1) olsun. Bağımsızlık sıfır hipotezi π₀ = π₁ der: dün ihlal yaşanması bugün ihlal olasılığını değiştirmez. Alternatifte iki geçiş olasılığı n₀₀, n₀₁, n₁₀ ve n₁₁ kullanılarak ayrı tahmin edilir.

Bağımsızlık olabilirlik oranı istatistiği iki modeli karşılaştırır ve genellikle bir serbestlik dereceli ki-kare dağılımıyla değerlendirilir. POF'tan farklı olarak gösterge sırasına bağlıdır. İhlaller başka ihlalleri izliyorsa π₁, π₀'dan büyük olabilir. Test, ikili ihlal dizisindeki birinci dereceden bağımlılığı ele alır; geçmiş bilginin, oynaklığın veya portföy durumunun gelecekteki zararları öngörebileceği her yolu test etmez.

Az sayıda ihlal varken geçiş tahminleri özellikle oynaktır. Art arda ihlal görülmemesi π₁ tahminini sıfır sınırına taşıyabilir, ancak bu ikinci ihlalin imkânsız olduğunu göstermez; yalnızca örneklemde görülmediğini söyler. İstatistikle birlikte geçiş sayılarını ve örneklem büyüklüğünü kontrol edin. Seyrek bir tabloyu ertesi günün kuyruk riskinin hassas tahmini gibi yorumlamayın.

Koşullu kapsama testi, Kupiec'in sıklık istatistiği ile Christoffersen'in bağımsızlık istatistiğini toplar: LR꜀꜀ = LRᵤ꜀ + LRᵢₙd. Ortak sıfır hipotezi ihlal olasılığının α'ya eşit ve ihlallerin zaman içinde bağımsız olduğunu söyler. Standart büyük örneklem çerçevesinde toplam, iki serbestlik dereceli ki-kare dağılımıyla karşılaştırılır.

Birleşik testin yanında bileşen sonuçlarını da bildirin. Koşullu kapsamanın reddedilmesi, test varsayımları altında iki gerekliliğin birlikte gözlenen diziyle uyuşmadığı anlamına gelir; nedeni belirlemez. POF reddedip bağımsızlık reddetmiyorsa sayı daha belirgin sinyal olabilir. Bağımsızlık testi reddediyorsa toplam hedefe yakın olsa bile zaman kümesini inceleyin. İkisi de reddetmiyorsa örneklem yine de hatayı göstermek için kısa olabilir.

Testin yorumu sınırlıdır. Günlük zararı 0/1 göstergesine indirgediği için VaR'ın bir dolar mı yoksa bir milyon dolar mı aşıldığını ayırt etmez. Tüm zarar dağılımını doğrulamaz ve Expected Shortfall'un doğru olduğunu göstermez. VaR ile Expected Shortfall'un farklı sorularına ilişkin ayrıntılar için VaR ve Expected Shortfall karşılaştırması rehberine bakın.

%99 VaR'da 250 günlük örneklem yalnızca 2,5 beklenen ihlal içerir. Bağımsız %1 ihlaller altında, 249 komşu çiftte beklenen ihlalden ihlale geçiş sayısı yaklaşık 249 × 0,01² = 0,025'tir. Model doğru kalibre edilmiş olsa bile bu örneklemlerin çoğunda art arda ihlal görülmez. Bu seyrekliğin geçiş olasılıklarını hassas tahmin etmeyi ve bağımlılık testinin gücünü zorlaştırması beklenir.

Christoffersen ve Pelletier, 2004 tarihli çalışmalarında, gerçekçi küçük örneklemlerde mevcut VaR geriye dönük testlerinin gücünün düşük olabildiğini bildirir ve ihlaller arasındaki süreyi modelleyen süre testlerini inceler. Bulguları ek tanılamayı düşünmek için gerekçedir; süre testinin her zaman üstün olduğunu göstermez ve yöntemi risk tahminiyle örneklem tasarımına uydurma gereğini ortadan kaldırmaz. Gözlem azsa reddedememeyi sağlık belgesi gibi yorumlamak yerine sınırlamayı belirtin.

Hedef kuyruk oranı da önemlidir. %95 VaR'da 250 günde 12,5; %99,9 VaR'da ise 0,25 ihlal beklenir. Test adının aynı olması farklı tasarımlardaki kanıtın karşılaştırılabilir olduğunu garanti etmez. Güven düzeyini, tahmin ufkunu, gözlem sayısını, hedef ve gözlenen sayıları, geçiş sayılarını ve asimptotik mi yoksa sonlu örneklem yöntemi mi kullandığınızı açıklayın.

İki testin hangi bilgiyi dışarıda bıraktığını sorarak sonraki yöntemi seçin. İhlallerin gecikmeli ihlaller, VaR tahminleri veya tahmin anında bilinen başka değişkenlerle öngörülüp öngörülmediğini test etmek istiyorsanız Engle ve Manganelli'nin CAViaR makalesinde (2004) sunduğu dinamik kantil (DQ) testi, merkezlenmiş ihlal göstergeleri ve seçilen araç değişkenlere ilişkin kısıtları sınar. Sonuç bu araçlara ve zamanlamalarına bağlıdır; her türlü koşullu başarısızlık için test değildir. Süre testi ise ihlaller arasındaki bekleme sürelerine bakar ve analize başka bir boyut ekler.

VaR eşiği aşıldıktan sonraki zarar büyüklüğü önemliyse sıklık ve bağımsızlık yetmez. Aşım büyüklüğünü inceleyin ve tahmine ve varsayımlara uygun bir Expected Shortfall değerlendirmesi seçin. Birçok modeli deneyip en iyi geçmiş sonucu seçmek sorun teşkil ediyorsa VaR geriye dönük testi strateji seçimi sorununu çözmez; adaylar arasındaki sıralama temelli ayrı bir tanı için PBO ve CSCV yazısına bakın.

Yararlı bir rapor portföyü ve zarar tanımını, ufku, güven düzeyini, değerlendirme tarihlerini, tahmin üretim yöntemini, ihlal kuralını, beklenen ve gözlenen sayıları, POF istatistiğini, geçiş sayılarını, bağımsızlık ve koşullu kapsama sonuçlarını ve kısa örneklem ya da örtüşen ufuk sınırlamalarını belirtir. Tahmin eşiklerini ve gerçekleşen zararları zaman içinde gösterin; modeli seçerken sonraki değerlendirme verisini kapalı tutun. Bunlar geçmiş kanıtı yorumlanabilir kılar, gelecekte risk kontrolü garantisi vermez.