DCC-GARCH: Varlıklar Arasındaki Zamanla Değişen Korelasyon Nasıl Tahmin Edilir?

Bir kovaryans matrisi, uzun dönemli ilişkilerin sıralandığı bir tablodan ibaret değildir. Yatırımcı belirli bir karar anında, o ana dek bilinen bilgilere göre her getirinin koşullu varyansını ve her varlık çifti arasındaki koşullu kovaryansı bilmek isteyebilir. Oynaklık ve eş hareket zaman içinde değişiyorsa tüm örneklemden hesaplanan tek bir matris sakin dönemleri, stres dönemlerini ve olası yapısal kırılmaları ortalamayla tek değerde birleştirir.

DCC-GARCH, modelin boyutunu görece küçük tutarken koşullu korelasyon matrisinin zaman içinde değişmesine izin veren yöntemlerden biridir. Robert Engle'ın 2002 tarihli çalışması, tek değişkenli oynaklık modellerini az sayıda parametre içeren bir korelasyon yinelemesiyle birleştiren dinamik koşullu korelasyon tanımını önerir (Engle, 2002). Bu yaklaşım pratikteki ölçeklenme sorununu ele alır: tamamen kısıtsız bir kovaryans modelinde varlık kümesi büyüdükçe çok sayıda ek parametre gerekir.

Bu yöntem, her serinin kendi değişen oynaklığı hesaba katıldıktan sonra koşullu bağımlılığın nasıl değiştiğini incelemek için yararlıdır. Varlıkların neden birlikte hareket ettiğini ortaya koymaz. Tek bir seride zamanla değişen varyansa giriş için oynaklık kümelenmesi ve GARCH yazısına bakın. Döviz çiftleri arasındaki korelasyonları ortak maruziyet olarak yorumlamanın sınırları için döviz çifti korelasyonu rehberini inceleyin.

\(r_t\), \(N\) varlığın getiri vektörü; \(\mu_t\) ise koşullu ortalama olsun. Yeniliği \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) olarak tanımlayalım. DCC, yeniliğin koşullu kovaryans matrisini şöyle ayrıştırır:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

burada \(\mathcal{F}_{t-1}\), \(t\) zamanındaki gözlemden önce mevcut olan bilgiyi; \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\), koşullu standart sapmaların köşegen matrisini; \(R_t\) ise koşullu korelasyon matrisini gösterir.

Her \(\sigma_{i,t}^2\), tek değişkenli GARCH ailesinden bir denklemle modellenebilir. Örneğin:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Bu marjinal model, \(i\) varlığının yenilik ölçeğinin kendi geçmişine bağlı olarak nasıl değiştiğini açıklar. \(j\) varlığıyla korelasyonun da değiştiğini söylemez. Tersine, \(R_t\)'nin değişmesi tek başına herhangi bir varlığın oynaklığının yükseldiğini göstermez.

Ayrıştırma önemlidir; çünkü kovaryans iki etkiyi birleştirir:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

\(\rho_{ij,t}\) sabit kalsa bile varlıklardan birinin veya ikisinin marjinal oynaklığı yükseldiğinde kovaryans artabilir. DCC, koşullu korelasyondaki kalan zaman değişimini ayrıca tahmin etmeye çalışır. Çok değişkenli DCC'nin, birbirinden bağımsız GARCH modelleri kurup ham kovaryansı sabit varsaymaktan temel farkı budur.

Koşullu ortalamalar ve marjinal varyanslar tahmin edildikten sonra standartlaştırılmış yenilikler hesaplanır:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Marjinal modeller uygunsa, \(z_t\)'nin her bileşeninin koşullu varyansı yaklaşık bir olmalıdır. Yine de bileşenler aynı anda birbirine bağlı olabilir; korelasyon güncellemesinde kullanılan bilgi, bunların ortak örüntüsüdür. Standartlaştırma, doğal olarak oynak bir varlıktaki büyük ham hareketin başka bir varlıktaki benzer büyüklükte standartlaştırılmış harekete kıyasla otomatik olarak daha güçlü bir bağımlılık kanıtı sayılmasını önler.

Uygulamada standartlaştırılmış artıklar doğrudan gözlenen gerçekler değil, tahmin edilmiş miktarlardır. Uygun olmayan bir ortalama modeli \(\epsilon_t\)'de öngörülebilir bir yapı bırakabilir; uygun olmayan oynaklık modeli \(z_t\)'de değişen ölçek bırakabilir. Korelasyon aşaması bu sorunları üstlenip \(R_t\)'yi bozabilir. Kalın kuyruklar, aykırı değerler, eksik tarihler, eşzamanlı olmayan işlem saatleri, şirket işlemleri ve güncelliğini yitirmiş fiyatlar da yinelemeye verilen artıkları etkiler.

Engle ve Sheppard iki aşamalı bir yaklaşım tanımlar: önce tek değişkenli GARCH modellerini tahmin etmek, ardından standartlaştırılmış artıklardan korelasyon parametrelerini tahmin etmek (Engle and Sheppard, 2001). Marjinal modelleri ayrı ayrı uydurabilmek DCC'yi hesaplama açısından kullanışlı kılar. Öte yandan ikinci aşamadaki korelasyon sonucu, ilk aşamadaki tanımlara ve girdi serilerinin tam olarak nasıl eşleştirildiğine bağlı olarak okunmalıdır.

Standart DCC önce yardımcı ve pozitif tanımlı bir \(Q_t\) matrisini günceller:

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\), standartlaştırılmış yeniliklerin uzun dönem matrisidir; \(a\) yakın dönem eş hareketlerin güncellemeyi ne kadar etkilediğini, \(b\) ise önceki \(Q\)'dan taşınan sürekliliği belirler. Yaygın skaler DCC tanımında \(a\) ve \(b\)'nin negatif olmaması, \(a+b<1\) koşulu ve pozitif tanımlı \(\bar Q\) ile başlangıç değeri olağan yinelemenin pozitif tanımlılığını korur. Katı durağanlık ve geçerli çıkarım yine tüm modele ve varsayımlarına bağlıdır. Bu kısıtlar seçilen tanımın parçasıdır; her varyant için evrensel bir güvence değildir.

\(Q_t\) genellikle doğrudan bir korelasyon matrisi değildir: köşegen elemanlarının bir olması gerekmez. \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) tanımlayıp normalize edin:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Böylece köşegen elemanları bir olur, köşegen dışındaki koşullu korelasyonlar ölçeksiz hale gelir. Koşullu kovaryans ise \(H_t=D_tR_tD_t\) ile bulunur. \(Q_t\), \(R_t\) ve \(H_t\)'yi ayrı tutmak yaygın bir yorum hatasını önler: yineleme yardımcı bağımlılık matrisini günceller, normalizasyon korelasyonları üretir, marjinal standart sapmalar da bu korelasyonları varlıkların getiri ölçeğine taşır. Normalizasyonun rolü Engle'ın (2002) açıkladığı yöntemin merkezindedir.

<!-- learn:illustration --> <!-- Yazısız kavramsal çizim: farklı ve zamanla değişen oynaklık bantlarına sahip ayrı getiri akışları, birlikte yumuşakça değişen bir bağımlılık şeridine bağlanır; piyasa verisi veya tahmin değil, kavramsal bir görseldir. -->

Yaygın iki aşamalı uygulamada önce her varlık için koşullu ortalama ve tek değişkenli GARCH ailesinden bir varyans modeli kurulur. Bu modellerle \(z_t\) hesaplanır ve olabilirlik ya da yarı olabilirliğin korelasyon bölümünden DCC parametreleri tahmin edilir. Getiriler normal dağılmasa bile ilk aşamada Gauss olabilirliği kullanılabilir; uygun düzenlilik koşullarında bu, yarı en çok olabilirlik tahmini olarak iş görebilir. Ancak standart hatalar ve çıkarım, kullanılan tahminci ve varsayımlarla uyumlu olmalıdır.

Aşamaları ayırmak, tamamen kısıtsız çok değişkenli bir GARCH sistemini tahmin etmekten hesaplama açısından daha elverişli olabilir. Ancak aşamalar birbirine bağlıdır: marjinal parametrelerdeki belirsizlik standartlaştırılmış artıkları ve dolayısıyla ikinci aşama tahminini etkiler. Tahmin edilen \(a\) veya \(b\), değişmez bir piyasa sabitinin doğrudan ölçümü değildir. Yorumu örnekleme, marjinal modellere, başlangıç değerlerine, dağılım varsayımlarına ve korelasyon dinamiklerinin istikrarına bağlıdır.

Uzun dönem girdisi \(\bar Q\) genellikle standartlaştırılmış artıkların örneklem kovaryansına dayanır; ancak kesin tanım ve düzeltmeler yönteme göre değişir. Bir uygulama \(\bar Q\)'yu nasıl tahmin ettiğini, \(Q_0\)'ı nasıl başlattığını, eksik gözlemleri nasıl ele aldığını, hangi kısıtları kullandığını ve olabilirliği nasıl hesapladığını belirtmelidir. \(a+b=1\)'e yakın sayısal optimizasyon, neredeyse tekil bir \(\bar Q\) veya aşırı büyük bir varlık kümesi kararsızlığa yol açabilir. Yakınsama tanılarını raporlayın ve makul alternatif marjinal tanımlara ve pencerelere duyarlılığı inceleyin.

Zamanı düzensiz işlemlerde standart DCC'nin eşzamanlı getiri girdileri, bilinçli bir örnekleme tasarımı olmadan uygun olmayabilir. Eşzamanlı olmayan gözlemleri ele almak için farklı bir tahminci gerekebilir; Hayashi–Yoshida kovaryans rehberi bu konuyu ele alır. Ledoit–Wolf kovaryans küçültme yazısında açıklanan gürültülü bir kovaryans hedefini küçültme işlemi de ayrı bir adımdır; DCC'nin dinamik korelasyon yinelemesiyle karıştırılmamalıdır.

İki standartlaştırılmış yenilik ve örnek amacıyla oluşturulmuş bir DCC güncellemesini ele alalım. \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), \(z_{1,t-1}=1.5\) ve \(z_{2,t-1}=1.0\) olsun. Bu girdiler yalnızca hesabı göstermek için uydurulmuştur; piyasa verilerinden tahmin edilmemiştir. Köşegen dışı elemanın güncellemesi şöyledir:

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Normalizasyonu göstermek için uydurulmuş köşegen değerlerinin \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) ve \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\) olduğunu varsayalım. Aynı yineleme şu sonucu verir:

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

Buna göre normalize edilmiş korelasyon:

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

Yardımcı matrisin köşegen dışı elemanı 0.30'dan 0.35'e çıkarken, \(Q_t\)'nin köşegeni de değiştiği için raporlanacak korelasyon yaklaşık 0.34'tür. Normalizasyonu atlayıp \(q_{12,t}=0.35\) değerini korelasyon gibi sunmak doğru olmaz. Bu hesaplamada yinelemenin yalnızca bir adımı gösterilir; istatistiksel anlamlılık, gelecekteki süreklilik, optimal portföy ağırlıkları veya alım satım değeri hakkında sonuç çıkarılamaz.

Standart DCC az parametrelidir; çünkü çoğunlukla tüm çiftlere aynı skaler tepki ve süreklilik parametreleri uygulanır. Bu kısıt çok varlık olduğunda kullanışlı olabilir; ancak çiftler farklı hızlarda uyum sağlıyorsa fazla güçlüdür. Ayrıca DCC adı altındaki modeller farklı parametreleştirme, kısıtlar, tahmin yöntemleri veya başlangıç kuralları kullanabilir. Bu nedenle kullanılan tanım açıkça belirtilmelidir.

Aielli'nin düzeltilmiş DCC çalışması, varlık kesiti büyüdükçe geleneksel DCC tahmincisinin ve korelasyon parametrelerinin yorumunun sorun yaşayabileceğini gösterir ve değiştirilmiş yinelemeli cDCC'yi önerir (Aielli, 2013). cDCC, standart DCC'nin başka bir adı değildir. Ayrım, özellikle çok sayıda varlığa ölçeklenirken veya tahmin edilen katsayılar yapısal olarak yorumlanırken önem kazanır.

Asimetrik genelleştirilmiş DCC tanımları başka bir sınırlamayı ele alır: pozitif ve negatif standartlaştırılmış şoklar gelecekteki korelasyonları farklı etkileyebilir. Cappiello, Engle ve Sheppard'ın AG-DCC modeli, seri bazında farklı haber etkisi ve yumuşatma parametrelerine ve koşullu korelasyonlarda asimetriye izin verir (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006). AG-DCC, ortak skaler standart DCC yinelemesine göre daha esnektir; bu nedenle parametre sayısı, kısıtlar ve yorum değişir. Değerlendirme yapmadan sessizce standart DCC yerine kullanılmamalı ve daha üstün olduğu varsayılmamalıdır.

Tahmin edilen \(R_t\), seçilmiş veri sıklığı, örneklem aralığı, ortalama tanımı, marjinal oynaklık modelleri ve DCC varyantı altında modelin ima ettiği koşullu korelasyonları gösterir. Nedensel bir bulaşma etkisini tanımlamaz. Düşüş döneminde korelasyonun yükselmesi ortak haberlerden, varlık bileşimindeki değişimden, likiditeden, yanlış belirlenmiş oynaklık modelinden veya başka mekanizmalardan kaynaklanabilir; tek başına tahmin bunları ayırt edemez.

Risk ölçümü için dinamik kovaryans tahminini kayan örneklem kovaryansı ya da sabit korelasyon modeli gibi anlamlı kıyaslarla karşılaştırın. Her tahmin başlangıcında yalnızca o sırada mevcut olan bilgiyi kullanın, aynı varlık kümesi ve tahmin ufkunu değerlendirin ve kayıp fonksiyonunu raporlayın. Portföy kullanımında ağırlıklardaki, yoğunlaşmadaki, devir hızındaki, finansmandaki ve işlem maliyetlerindeki sonraki değişimleri izleyin. Tahmin edilen korelasyonun yükselmesi belirli bir risk modeli altında çeşitlendirme faydasını azaltabilir; ancak iki varlığın da düşeceğini öngörmez.

Tahmin edilen korelasyonların geçerli sınırlar içinde kaldığını, ima edilen \(R_t\)'nin pozitif tanımlı olduğunu ve marjinal standartlaştırılmış artıkların seri bağımlılık veya değişen varyans içerip içermediğini kontrol edin. Varlık kümesine, başlangıç değerlerine, aykırı değerlere, pencereye ve model varyantına duyarlılığı inceleyin. Bire yakın süreklilik parametreleri, yapısal kırılmaya verilen tepkiyi yavaşlatabilir; düzgün bir yineleme de ani rejim değişimini geriden izleyebilir. Çok sayıda ikili grafik veya model çeşidi seçici yoruma kapı açar. Seçim ölçütlerini önceden açıklayın ve örneklem dışı karşılaştırmaları saklayın.

DCC-GARCH en doğru biçimde kompakt bir koşullu kovaryans modeli olarak anlaşılır: marjinal denklemler değişen ölçekleri tahmin eder, bağımlılık yinelemesi standartlaştırılmış yeniliklerdeki eş hareketi izler ve normalizasyon yardımcı matrisi korelasyona dönüştürür. Varsayımları açık ve tahminleri değerlendirilmişse, bu matris risk analizine bilgi sağlayabilir. Tek başına istikrarlı bir hedge kurulduğunu, bir şokun nedenini ya da stratejinin getiri sağlayacağını kanıtlamaz.