Finansta Merkezi Limit Teoremi
Merkezi Limit Teoremi’nin standartlaştırılmış toplamlar hakkında ne söylediğini, finansal getirilerin hangi varsayımları ihlal edebileceğini, yakınsamanın neden kesin olmadığını ve karekök-zaman ölçeklemesinin ne zaman başarısız olduğunu anlayın
Doğrudan yanıt
Merkezi Limit Teoremi, uygun biçimde merkezlenip ölçeklenen yeterince düzgün birçok rassal katkının toplamının normal dağılıma yaklaştığını söyler. Bu, koşulları olan asimptotik bir ifadedir; günlük getirilerin normal olduğunun veya sonlu ufuk kuyruk kayıplarının çan eğrisini izlediğinin kanıtı değildir
Teorem ham gözlemleri değil toplamları ele alır
X_1,…,X_n değişkenlerinin bağımsız ve özdeş dağılmış, sonlu ortalamalı μ ve pozitif sonlu varyanslı σ² olduğunu varsayalım
Klasik ifade, (Σ_iX_i−nμ)/(σ√n) ifadesinin n sonsuza giderken dağılımda N(0,1)’e yakınsadığıdır
Bireysel X_i değişkenleri çarpık veya ayrık olabilir; sonuç her girdinin şeklini değil standartlaştırılmış toplamı ilgilendirir
Merkezleme ve ölçekleme zorunludur
Toplam nμ çevresinde büyür; bağımsızlık altında standart sapması σ√n gibi büyür
Örneklem ortalaması için √n(Ȳ_n−μ)/σ aynı standartlaştırılmış limite sahiptir ve standart hata 1/√n hızında küçülür
Merkezlemeyi kaldırmak, yanlış varyansı kullanmak veya kovaryansı yok saymak nesneyi değiştirir ve normal karşılaştırmasını geçersiz kılabilir
Yakınsama tam normallik demek değildir
Dağılımda yakınsama, limitte sabit standartlaştırılmış eşikleri açıklar; belirli bir n için eşitlik vermez
Hız; çarpıklığa, kuyruk kalınlığına, kafes etkilerine ve daha güçlü moment koşullarına bağlıdır ve uzak kuyrukta yavaş olabilir
Normal yaklaşım merkez yakınında yeterli görünürken büyük sonlu örneklem kaybının olasılığını maddi biçimde düşük gösterebilir
Finansal getiriler varsayımları zorlar
Getiriler volatilite kümelenmesi, seri bağımlılık, sıçramalar, yapısal kırılmalar, değişen maruziyet ve zamanla değişen dağılımlar sergiler
Zayıf bağımlılık ve martingal sürümleri vardır; ancak her biri bağımsızlığın yerine kesin düzgünlük koşulları koyar
Varyans sonsuzsa klasik √n normal limiti tamamen başarısız olabilir ve farklı bir ölçeklemeyle kararlı normal olmayan bir limit ortaya çıkabilir
Karekök-zaman bir model sonucudur
Korelasyonsuz durağan artışlar ve sabit varyans için Var(Σ_iX_i)=nσ² olur; bu da volatilitenin √n ile orantılı olmasını sağlar
Otokovaryanslar 2Σ_{h=1}^{n−1}(n−h)γ_h ekler; bu nedenle kalıcılık veya tersine dönüş ufuk varyansını değiştirir
Bileşik getiri, stokastik volatilite, sıçramalar, örtüşen veriler ve takvim etkileri de günlükten yıllığa mekanik dönüşümü engeller
Çıkarım tahmin edilebilir uzun dönem varyansı gerektirir
σ’nın yerine bir örneklem tahmini koymak, yalnızca tahminci ve bağımlılık varsayımları geçerliyse asimptotik standart hatalara götürür
Değişen varyans ve otokorelasyonla tutarlı yöntemler, gözlemleri bağımsız varsaymak yerine uzun dönem varyansını tahmin eder
Küçük örneklemler, ağır kuyruklar, veri tarama ve kararsız ortalamalar kesin görünen bir güven aralığını kötü kalibre edebilir
Doğrulama yaklaşımın amacını test etmelidir
Bağımlılığı, volatilite rejimlerini, kuyruk grafiklerini, alt örneklem kararlılığını ve toplulaştırılmış standartlaştırılmış getirilerin ufukla nasıl değiştiğini inceleyin
Medyan yakınındaki başarı risk sermayesini doğrulamadığından merkezi aralıklar ve kuyruk eşikleri için ampirik kapsamı ayrı ayrı karşılaştırın
Varsayımları karara ve gözlenen tanılamalara daha iyi uyan bootstrap, sağlam, kararlı-yasa veya açık zaman serisi alternatiflerini kullanın
Sık sorulan sorular
Merkezi Limit Teoremi ne söyler?
Uygun koşullar altında standart sapmasına bölünmüş merkezlenmiş bir toplamın standart normal dağılıma yaklaştığını söyler
MLT hisse getirilerinin normal olduğunu kanıtlar mı?
Hayır. Koşullar altında asimptotik bir toplamı açıklar; tek dönem getirilerinin veya sonlu ufuk kuyruklarının normal olduğunu söylemez
Volatilite neden zamanın kareköküyle ölçeklenir?
Bu sonuç, sabit sonlu varyanslı durağan ve korelasyonsuz artışlardan gelir; yalnızca MLT’den gelmez
Getiri varyansı sonsuzsa ne olur?
Klasik normal MLT başarısız olabilir ve normalize toplamlar farklı bir ölçeklemeyle Gauss olmayan kararlı bir yasaya yakınsayabilir