CAViaR Açıklaması: Koşullu Otoregresif Value at Risk

Portföy kaybını \(L_t=-r_t\) olarak tanımlayalım; bu işaret uzlaşımında kayıp pozitif, kazanç negatiftir. Güven düzeyi \(\alpha\) için tek dönemlik VaR tahmini, koşullu üst kantildir: \[ v_t^\alpha=Q_\alpha(L_t\mid\mathcal F_{t-1}), \] burada \(\mathcal F_{t-1}\), \(t\) döneminin kaybı gözlenmeden önce mevcut olan bilgileri içerir. \(\alpha=0.99\) olduğunda hedef, koşullu kantil doğru belirlenmişse gelecekteki kayıpların yaklaşık \(1-\alpha=1\%\)'inin aşması gereken bir eşiktir. Gerçekleşen kayıp VaR'ı herhangi bir miktarda aşabilir; VaR azami kayıp sınırı değildir.

CAViaR, Conditional Autoregressive Value at Risk ifadesinin kısaltmasıdır ve kantilin zaman içinde nasıl değiştiğini bir özyinelemeyle tanımlar. Koşullu dağılımın tamamını tahmin edip sonradan kuyruktaki bir noktayı çıkarmak yerine, doğrudan o noktayı modeller. Engle ve Manganelli bu model ailesini tanıttı ve parametrelerini kantil regresyonuyla tahmin etti (2004 tarihli makaleleri). Seçilen kantil düzeyi önemlidir: ayrı ayrı kurulan %95 ve %99 modellerinin dinamikleri farklı olabilir ve hiçbiri tüm kuyruğu betimlemez.

Genel bir tek adımlı biçim şöyledir: \[ v_t^\alpha=f(v_{t-1}^\alpha,L_{t-1},X_{t-1};\beta), \] burada \(X_{t-1}\) izin verilen başka açıklayıcı değişkenleri, \(\beta\) ise tahmin edilecek parametre vektörünü gösterir. Gecikmeli kantil tahmine bellek kazandırır; gecikmeli kayıplar veya değişkenler yeni bilginin eşiği değiştirmesini sağlar. Geçmiş koşulları hesaba katması bakımından bir oynaklık özyinelemesine benzer, ancak güncellenen durum koşullu varyans değil kantildir.

Örneğin simetrik mutlak değer (SAV) belirtimi şöyledir: \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2|L_{t-1}|. \] Önceki hareketin büyüklüğüne tepki verir; mutlak değer nedeniyle kazanç ve kayıplara aynı biçimde davranır. Otoregresif terim, şoktan sonra tahminin kalıcılığını ve sonraki girdiler değiştikçe kademeli olarak geri çekilmesini sağlar. Kalıcılık tahmin edilip değerlendirilmesi gereken bir özelliktir; düzgün görünen bir seri kantilin iyi kalibre edildiğini göstermez.

CAViaR; önceki gözlemin önceki eşiği aşıp aşmadığına göre güncellenen uyarlamalı biçim ve varyans benzeri özyineleme kullanan dolaylı GARCH biçimi gibi başka seçenekler de içerir. Bunlar birbirinin yerine kullanılabilen adlar değil, farklı belirtimlerdir. Fonksiyonel biçim, hangi geçmiş bilgilerinin kantili hareket ettirebileceğini ve modelin nasıl bir tepki gösterebileceğini belirler.

Aşağı yönlü ve yukarı yönlü gözlemlerin bir sonraki kayıp kantilini farklı etkilemesine izin vermek için \(L^+=\max(L,0)\) ve \(L^-=\max(-L,0)\) tanımlarız. Asimetrik eğimli biçimlerden biri şöyledir: \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2L_{t-1}^{+}+\beta_3L_{t-1}^{-}. \] Pozitif portföy kaybı \(L^+\) üzerinden, kazanç ise \(L^-\) üzerinden modele girer. Tahmin edilen iki eğimin eşit olması gerekmez. Model pozitif kayıplar yerine getiriler ve alt kuyruk kantili için kurulursa işaret uzlaşımı değişir; bu nedenle bir çalışma veya uygulama bağımlı değişkeni ve pozitif-negatif parçaların tanımını açıkça belirtmelidir.

Bu esneklik, piyasalarda asimetrik kaldıraç etkisi bulunduğunu kanıtlamaz. Yalnızca seçilen koşullu kantilin, belirli özyineleme ve örneklem altında iki kola farklı tepki vermesine olanak tanır. Katsayılar bilinen sabitler değil, tahmin edilen değerlerdir; işaretleri ve büyüklükleri değişken birimlerine ve parametreleştirmeye bağlıdır. Bu biçimi simetrik bir temel modelle karşılaştırın ve ikisini de tahmin örneklemi dışında değerlendirin.

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual view of a conditional loss-quantile ribbon moving over time, responding more after a large loss than after an upside move, with a few conceptual threshold crossings. No axes, labels, values, or market data. -->

Aday \(\beta\) parametreleri için önce \(v_t^\alpha(\beta)\) özyinelemeli yolunun tamamı hesaplanır. Ardından kantil veya check kaybı en aza indirilir: \[ \widehat\beta=\arg\min_\beta\sum_{t=1}^{T}\rho_\alpha\!\left(L_t-v_t^\alpha(\beta)\right), \qquad \rho_\alpha(u)=u\left(\alpha-\mathbf 1\{u<0\}\right). \] Üst kayıp kantilinde düşük tahmin \(u>0\) verir ve \(\alpha\) ağırlığını alır; yüksek tahmin \(u<0\) verir ve \(1-\alpha\) ağırlığını alır. \(\alpha=0.99\) düzeyinde kayıp fonksiyonu, büyük bir kaybı kaçırmayı aynı büyüklükteki fazla güvenlik payından daha maliyetli sayar. Bu kare hata kaybı değildir ve katsayıları koşullu ortalamaya göre seçmez.

Bu, Koenker ve Bassett'in geliştirdiği kantil regresyonu yaklaşımının (1978 tarihli makale) özyinelemeyle oluşturulmuş kantil yoluna uygulanmasıdır. Doğrusal kantil regresyonunda amaç fonksiyonunun yararlı dışbükeylik özellikleri vardır; ancak CAViaR'ın doğrusal olmayan özyinelemeleri başlangıç değerlerine ve yerel minimumlara duyarlı olabilir. Sağlam bir tahmin; amaç fonksiyonunu, parametre kısıtlarını, optimizasyon yöntemini, yakınsama kontrollerini ve farklı başlangıçları kaydetmelidir. Olağan en küçük kareler çıktısı, kantil regresyonu çıkarımının yerini tutmaz.

İlk özyineleme değeri \(v_0^\alpha\) verilmeli veya tahmin edilmelidir. Şeffaf bir seçenek, değerlendirme döneminden önce biten bir ön örneklem penceresinden hesaplanan ampirik üst kayıp kantilidir. Bazı uygulamalar başlangıç değerini tüm parametrelerle birlikte tahmin eder veya yöntemi açıklanmış bir ısınma dönemi kullanır. Seçilen kuralı aday biçimlerin tümünde tutarlı uygulayın ve özyinelemeyi başlatmak için kaç gözlem kullanıldığını belirtin. Gecikmeli kantil katsayısı yüksek ölçüde kalıcıysa erken başlangıç değeri sonraki birçok tahmini etkileyebilir.

Gösterilen denklem basit görünse bile özyinelemeli kantil tahminleri parametreler açısından doğrusal olmayabilir. Farklı başlangıç vektörleri farklı yerel çözümlere ulaşabilir; optimizasyonun yakınsaması yalnızca sayısal durdurma ölçütünü karşıladığı anlamına gelir. Gerektiğinde birkaç makul başlangıç deneyin ve oluşan yolları inceleyin. Kayıp eşiğinin negatif olmamasını istemek gibi sayısal bir kısıtı ekonomik bir olguyla karıştırmayın. Her CAViaR belirtimi için kararlılığı garanti eden tek bir katsayı sınırı yoktur. Koşullar biçime, tanımlanabilirliğe ve girdi sürecinin davranışına bağlıdır; özgün makalenin asimptotik sonuçları da açık varsayımlara dayanır ve patlayıcı durumları dışarıda bırakır.

Belirsizlik de önemlidir. Kuyruk gözlemleri, özellikle %99 düzeyinde, seyrektir ve hedef kantilin çevresindeki koşullu yoğunluk tahmin hassasiyetini etkiler. Doğrusal olmayan özyinelemeli kantil parametrelerinin standart hataları bu duruma uygun yöntemlerle hesaplanmalıdır; uygun asimptotik tahminler veya dikkatle tasarlanmış bir bootstrap kullanılabilir. Grafikteki düzgün bir uyumu kuyruk riskinin kesin olarak bilindiğine kanıt saymayın.

\(t-1\) tahmin anında parametreleri tahmin edin ve \(v_t^\alpha\) değerini yalnızca o ana kadar mevcut getiri ve kovaryatlarla üretin. Dönem kapandıktan sonra tahmini \(L_t\) ile karşılaştırın. Model kayan veya genişleyen pencerede yeniden tahmin ediliyorsa her pencere belirtilen tahmin anında sona ermelidir. \(v_t^\alpha\) oluştururken \(L_t\)'yi kullanmak veya o sırada bilinmeyen sonradan düzeltilmiş verileri dahil etmek tahmine gelecek bilgisi sızdırır.

Hedefi gerçek portföy ve zaman ufkuyla eşleştirin. Sabit ağırlıklı bir portföyün günlük VaR'ı, gün içinde pozisyonları değişen bir hesabın VaR'ı ile kendiliğinden aynı değildir; tek günlük kantil de çok günlük risk tahmini değildir. Getiri oluşturma yöntemini, para birimini, ufku, piyasa kapanışını, portföy yeniden dengelemesini ve her açıklayıcı değişkenin ne zaman erişilebilir olduğunu raporlayın. Değişken dönüşümleri, şirket işlemleri, bayat fiyatlar ve eksik seanslar bilgi kümesini ve kantil dinamiklerini değiştirebilir.

Standart özyineleme doğal olarak tek adım ileri tahmin üretir; çünkü \(v_t\), gözlenmiş \(L_{t-1}\)'i kullanır. Birden fazla adım için sonraki kayıplar henüz bilinmez. Denklem yinelenirken gerçekleşmiş gelecek kayıpları kullanmak ileriye bakma hatası olur. Çok dönemli VaR için simülasyon veya ayrıca tanımlanmış çok ufuklu bir model gibi, bilinmeyen gelecek yolunu ele alan açık bir prosedür gerekir; varsayımları ayrı değerlendirilmelidir.

Varsayımsal bir günlük %99 kayıp VaR'ının yukarıdaki asimetrik eğimli özyinelemeyi izlediğini düşünelim. Kayıplar ve \(v\) yüzde puanıyla ölçülsün; tahmin edilmemiş, yalnızca örnek amaçlı katsayılar \(\beta_0=0.10\), \(\beta_1=0.80\), \(\beta_2=0.35\) ve \(\beta_3=0.10\) olsun. Önceki VaR tahmini \(2.00\%\) ve dünün portföy kaybı \(3.00\%\) ise \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(3.00)+0.10(0)=2.75\%. \] Bu örnekte daha büyük kayıp bugünkü eşiği yükseltir. Dün bunun yerine \(3.00\%\) kazanç elde edilmiş olsaydı \(L_{t-1}=-3.00\%\) olurdu ve diğer kol şu sonucu verirdi: \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(0)+0.10(3.00)=2.00\%. \] Bu katsayılar yalnızca özyinelemeyi göstermek için seçilmiştir; başka bir örneklem veya parametreleştirme farklı tepki verebilir.

Bugünkü gerçekleşen kayıp \(3.20\%\) ise \(2.75\%\) tahminini aşar ve aşım göstergesi bir olur. Tek bir aşım modelin kötü olduğunu kanıtlamadığı gibi, aşım yaşanmayan tek bir gün de modeli doğrulamaz. Koşullu kalibrasyon doğruysa, aşım göstergesinin tahmin anındaki bilgiye koşullu beklenen değeri \(1-\alpha\) olmalıdır. Uzun bir örneklemde örnekleme değişkenliği hesaba katıldığında ortalama oran bu düzeye yakın olmalıdır.

VaR, belirlenmiş bir olasılık ve ufukta koşullu kayıp kantili olan risk ölçüsüdür. CAViaR bu ölçüyü tahmin etmenin bir yoludur. Expected Shortfall farklı bir soruya, seçilen kuyruğun VaR ötesindeki ortalama kayba, ilgili tanıma göre yanıt verir. CAViaR kantil yolu tek başına bu kuyruk ortalamasını veya eşik ötesindeki kayıpların dağılım biçimini belirlemez. VaR ve Expected Shortfall karşılaştırması ölçüleri birlikte açıklar.

GARCH koşullu varyansı veya oynaklığı özyinelemeli biçimde modeller; varyansı VaR kantiline dönüştürmek için standartlaştırılmış yeniliklerin dağılımı hakkında ayrıca varsayım gerekir. ARCH ve GARCH, Engle'ın ARCH modeli ve Bollerslev'in GARCH genişletmesiyle90063-1) ilişkilidir. CAViaR kantili doğrudan modeller ve tam bir koşullu yoğunluk gerektirmez, ancak seçilen dinamikler üzerinden varsayımlar içerir. Dolaylı GARCH-CAViaR belirtimi iki yaklaşım arasında özel bir köprüdür; tüm CAViaR modellerinin GARCH olduğu anlamına gelmez. Ayrıca GARCH ve oynaklık kümelenmesi rehberine bakın.

Örneklem içindeki düşük kantil kaybı, örneklem dışındaki risk tahmini için güvence değildir. Kronolojik bir değerlendirme dönemi ayırın, her tahmini yalnızca geçmiş bilgileri kullanarak üretin ve hem aşım oranını hem de aşımların kümelenip kümelenmediğini veya geçmiş bilgilerle tahmin edilip edilemediğini raporlayın. Kupiec'in koşulsuz sıklık testi (1995) ile Christoffersen'in koşullu kapsama testi (1998) farklı sorulara yanıt verir; Engle ve Manganelli'nin dinamik kantil testi merkezlenmiş aşım göstergeleri ve seçilmiş araçlar üzerindeki bazı kısıtları inceler. Bu testlerin hiçbiri tüm yanlış belirtim türlerini sınamaz. Aşım dizisi testlerinin işleyişi VaR geriye dönük test rehberinde açıklanır. İki kantil tahminini karşılaştırmak için aynı tarihlerde ikisini de aynı check kaybıyla puanlayın ve bağımlı kayıp farkını Diebold-Mariano testiyle karşılaştırın; bu test göreli tahmin kaybını ölçer, VaR kalibrasyonunu veya alım satım kârını değil.

Sonuçlar kuyruk olasılığına, özyinelemeye, başlangıç değerine, tahmin penceresine, portföye ve değerlendirme tarihlerine göre değişebilir. Bir kantile uyan model başka bir kantilde kötü sonuç verebilir; bağımsız tahmin edilen kantiller kesişebilir. Yapısal kırılmalar, kümelenen aşırı hareketler, seyrek kuyruk verileri, değişen pozisyonlar, piyasa boşlukları, likidite ve uygulama maliyetleri özyinelemeli VaR denklemiyle çözülmez. VaR ayrıca bir aşım sonrasındaki kaybın şiddeti hakkında bilgi vermez. Sonucu izlenmesi gereken model tabanlı bir risk eşiği olarak değerlendirin; kayıp tavanı, kâr tahmini veya bağımsız bir işlem kuralı olarak değil.