Realized GARCH: modelando retornos e medidas de volatilidade realizada em conjunto

Os modelos ARCH e GARCH inferem mudanças na variância a partir de uma sequência de retornos. Engle introduziu o ARCH, e Bollerslev desenvolveu sua forma generalizada (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Um retorno isolado é um sinal ruidoso sobre a intensidade dos movimentos durante o período: um retorno pequeno entre fechamentos não significa que o pregão foi tranquilo, e um retorno grande não revela o caminho que o produziu. Os preços intradiários podem fornecer uma medida realizada separada, como a variância realizada, com mais informação sobre os movimentos ao longo do pregão.

O Realized GARCH incorpora essa medida à dinâmica da variância. Na especificação básica, tanto a variância condicional quanto a medida realizada do período anterior ajudam a atualizar a variância condicional atual. O modelo também inclui uma equação para a própria medida realizada. Essa equação adicional é central: ela descreve a relação da medida com a variância latente e o choque dos retornos, em vez de tratar a medida como uma entrada externa sem explicação.

O artigo original relata melhor ajuste empírico do que um GARCH baseado apenas em retornos diários, em sua amostra de ações do Dow Jones e de um fundo negociado em bolsa. Esse é um resultado específico daquela amostra, não uma garantia de que o Realized GARCH preverá melhor para todos os ativos ou períodos. Para o modelo básico que usa somente retornos, consulte o guia de GARCH.

Seja \(r_t\) o retorno do período \(t\), após a remoção da média condicional quando o modelo a incluir. Seja \(h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})\) a variância condicional conhecida no início desse período e \(x_t\) uma medida realizada positiva observada durante ou ao final do período \(t\). Por exemplo, \(x_t\) pode ser a soma dos retornos intradiários ao quadrado, expressa nas mesmas unidades de retorno ao quadrado que \(h_t\).

A ordem temporal importa. A previsão de \(h_t\) usa informações disponíveis antes do período \(t\); depois que \(r_t\) e \(x_t\) são observados, o modelo atualiza a próxima previsão de variância, \(h_{t+1}\). Não use \(x_t\) para alegar que a previsão de \(h_t\) estava disponível antes de o período \(t\) começar.

O Realized GARCH é um modelo dinâmico conjunto para retornos e uma proxy medida de volatilidade. Ele não é igual à regressão MIDAS, que usa uma função estruturada de pesos de defasagens para relacionar dados observados em frequências diferentes. Ambos podem usar dados intradiários, mas as equações, o alvo da previsão e o momento em que a informação fica disponível precisam ser identificados antes da comparação.

Um modelo Realized GARCH\(1,1\) comum tem uma equação de retornos, uma equação de variância e uma equação de mensuração:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Aqui, \(z_t\) é a inovação padronizada dos retornos, \(u_t\) é o erro de mensuração e \(\tau(z_t)\) permite que a medida observada dependa do choque dos retornos. A primeira equação escala um choque de variância unitária pelo desvio-padrão condicional. A segunda atualiza o log da variância com o log da variância anterior e o log da medida realizada anterior. A terceira relaciona o log da medida observada ao log da variância latente atual, ao choque dos retornos e a uma inovação de mensuração.

A forma logarítmica é conveniente porque representa valores positivos de \(h_t\) e \(x_t\) em uma escala sem restrições; exponenciar a previsão de variância produz um valor positivo. Portanto, o intercepto \(\omega\) é um intercepto da log-variância, não a própria variância de longo prazo. No modelo básico, os parâmetros são estimados em conjunto, e não interpretados isoladamente como medidas de persistência.

Substituir a equação de mensuração em \(t−1\) na atualização da variância mostra como a medida realizada realimenta o log da variância:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Para essa especificação \(1,1\), a persistência da log-variância é resumida por \(β + γφ\), e não apenas por \(β\). A relação de mensuração contribui para essa realimentação porque uma variância anterior maior está associada a uma medida realizada maior, que então entra na atualização seguinte. Essa álgebra ajuda a interpretar os coeficientes estimados, mas não prova a estacionariedade de toda extensão do Realized GARCH; a inferência deve seguir as restrições da especificação efetivamente estimada.

Hansen, Huang e Shek apresentam formas linear e log-linear desse modelo conjunto e descrevem sua estrutura de três equações (2012). As ordens de defasagem, a medida realizada, a média condicional e as hipóteses sobre as inovações devem corresponder à especificação estimada.

A equação de mensuração ajuda a explicar por que a medida realizada pode acompanhar tanto a variância latente quanto o choque dos retornos. Uma função de alavancagem comum é

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

Os termos linear e quadrático centralizado podem representar uma relação assimétrica entre os choques dos retornos e a medida realizada. Os coeficientes determinam seu formato; a fórmula, por si só, não demonstra que retornos negativos causam volatilidade futura.

Na formulação básica do artigo, \(z_t\) e \(u_t\) são modelados como inovações distintas, \(z_t\) é padronizado e as duas inovações são consideradas mutuamente independentes. Essa é uma especificação estatística tratável, não uma evidência de que os retornos de mercado ou os erros de mensuração sigam uma distribuição específica em todas as amostras. É possível usar quase-verossimilhança Gaussiana na estimação sem afirmar que a normalidade seja um fato.

Essa equação também diferencia o Realized GARCH do GARCH-X. O GARCH-X pode incluir uma medida observada na atualização da variância sem especificar a dinâmica da própria medida. O Realized GARCH também modela a medida realizada, o que permite previsões além de um passo quando as medidas futuras ainda não foram observadas. O modelo descreve uma relação estatística conjunta; não transforma a medida realizada em uma causa externa.

Suponha que um modelo log-linear estimado tenha \(ω=-0.7824\), \(\beta=0.75\) e \(\gamma=0.15\). No final do período \(t\), suponha que a variância condicional atual seja \(h_t=0.0004\) e a medida realizada observada seja \(x_t=0.0009\). Todos os valores são hipotéticos, positivos e expressos na mesma escala diária de variância de retornos decimais.

Use a equação da variância para atualizar a previsão do período \(t+1\):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

O desvio-padrão condicional implícito é \(\sqrt{0.0004517} \approx 0.02125\), ou cerca de 2,13% para o período de retorno especificado. A medida realizada afeta a previsão de variância seguinte por meio de seu coeficiente estimado. Esse cálculo não atualiza os coeficientes nem usa a equação de mensuração para afirmar que \(x_t\) é igual a \(h_t\).

O exemplo demonstra apenas a aritmética. Ele não inclui incerteza dos parâmetros, erro de estimação ou observações fora da amostra; portanto, não informa significância estatística nem se o modelo supera um benchmark. <!-- learn:illustration -->

A estimação usa observações de retornos e medidas realizadas alinhadas no tempo. Uma função de verossimilhança ou quase-verossimilhança combina a equação de retornos com a equação de mensuração. Assim, mudar as hipóteses sobre as distribuições ou a estrutura de dependência das inovações pode alterar os parâmetros estimados. Informe o método de estimação, as hipóteses sobre as inovações, o tratamento da média condicional, a medida realizada e as regras de limpeza dos dados; não apresente a recursão da variância sem o modelo de mensuração.

Após o encerramento de cada período, o modelo pode usar o novo retorno e a nova medida realizada para atualizar seu estado e produzir a previsão de variância seguinte. Em uma previsão para vários períodos, os valores futuros de \(x\) ainda não são conhecidos. Uma especificação completa do Realized GARCH descreve a dinâmica da medida realizada, então a previsão deve considerar sua distribuição ou expectativa futura, em vez de inserir valores futuros observados na amostra de teste.

A avaliação precisa de um alvo compatível com a previsão, como a variância condicional dos retornos do próximo período ou uma medida realizada para o mesmo intervalo. Alinhe o alvo, a proxy, as unidades, o horizonte e as datas de avaliação. A verossimilhança dentro da amostra compara o ajuste dos modelos, mas não substitui um teste cronológico de previsão.

Salve cada previsão no momento em que estaria disponível, reestime usando apenas as informações disponíveis naquela origem e compare com um benchmark escolhido previamente em uma amostra comum. Escolha a função de perda antes de examinar os resultados e informe a diferença pareada de perdas com uma estimativa de incerteza que considere a dependência quando necessário. O guia de QLIKE e erro quadrático explica como as propriedades da proxy e a escolha da perda afetam a comparação.

A utilidade do modelo depende da medida e do intervalo de tempo que ele recebe. Uma medida realizada calculada com preços intradiários pode omitir os movimentos noturnos, mesmo quando \(r_t\) é um retorno entre fechamentos. O artigo original permite explicitamente uma janela da medida realizada menor que o intervalo do retorno; sua equação de mensuração não precisa impor que \(x_t\) seja uma estimativa não viesada de \(h_t\). Essa flexibilidade não torna inofensiva a diferença entre janelas: a interpretação de \(\phi\), o alvo da previsão e qualquer comparação ainda dependem dos intervalos.

O artigo apresenta um exemplo concreto: uma medida construída com cerca de \(6.5\) horas de pregão é combinada com a variância condicional de um retorno entre fechamentos de \(24\) horas. Nesse arranjo, os autores esperam \(φ < 1\), pois a medida intradiária captura apenas parte do intervalo completo do retorno. Portanto, o \(φ\) estimado depende da medida, da sessão e da definição do retorno; não é um fator de calibração universal que possa ser transferido sem mudanças para outro ativo ou desenho amostral.

Dados de alta frequência também podem conter bid–ask bounce, negociação assíncrona, discretização de preços, cotações desatualizadas e erros de registro. O guia de volatilidade realizada em duas escalas descreve um estimador para cenários com ruído de microestrutura. Hansen e Lunde documentam que o ruído de microestrutura de mercado pode afetar materialmente a mensuração da variância realizada (2006). Uma proxy diferente pode alterar o ajuste, as previsões e as estimativas de alavancagem.

Como o modelo log-linear usa \(\log x_t\), a medida escolhida precisa ser estritamente positiva. Se os dados puderem ser zero ou negativos, uma transformação, um filtro ou um piso altera o modelo e deve ser justificado e divulgado. Verifique se a medida inclui saltos, qual sessão cobre, como trata barras ausentes e se suas unidades correspondem à variância dos retornos. Mais observações intradiárias não eliminam automaticamente o erro de mensuração.

O GARCH comum usa retornos ou inovações ao quadrado defasados e a variância defasada. O Realized GARCH acrescenta uma medida realizada à dinâmica da variância e a modela por meio de uma equação ligada à variância latente e aos choques dos retornos. O GARCH-X costuma tratar a medida adicional como uma entrada externa. A regressão MIDAS usa uma curva parametrizada de pesos de defasagens entre frequências; o GARCH-MIDAS é um híbrido relacionado cujas equações devem ser analisadas separadamente. Esses nomes não são intercambiáveis.

O modelo prevê uma variância condicional ou medida realizada definida sob suas hipóteses. Ele não prevê a direção dos retornos, não prova que uma medida intradiária cause a variância do dia seguinte e não estabelece que uma estratégia seja lucrativa. Uma boa verossimilhança dentro da amostra não garante previsões futuras melhores. Conclusões de negociação exigem um sinal especificado separadamente e uma avaliação após custos que inclua spread, tarifas, impacto de mercado, financiamento e limites de risco.

Para um relatório reproduzível, especifique o ativo e a amostra, a definição do retorno e a média condicional, a construção da medida realizada e a janela da sessão, as equações e ordens de defasagem, as hipóteses sobre as inovações, a janela de estimação, a origem e o horizonte da previsão, o benchmark, a perda de avaliação e o método de incerteza. Informe a sensibilidade a escolhas plausíveis de medidas realizadas e divulgue exclusões de dados ou ajustes para impor positividade.