Grandes desvios e o smile de opções explicados
Entenda como funções de taxa descrevem movimentos exponencialmente raros, como entram nas assíntotas de opções e da volatilidade implícita e onde a aproximação deixa de valer
Resposta direta
Um princípio de grandes desvios descreve como as probabilidades de resultados raros decaem em uma escala exponencial. Na teoria de opções, sua função de taxa pode determinar o comportamento principal do preço de cauda e da volatilidade implícita em um regime declarado de tempo pequeno, ruído pequeno ou tempo longo
Grandes desvios estudam uma escala diferente
O teorema do limite central descreve flutuações típicas perto de uma média, normalmente em uma escala de raiz quadrada
A teoria de grandes desvios pergunta, em vez disso, como a probabilidade de um conjunto distante diminui quando um parâmetro de escala se torna extremo
Ela é útil quando o payoff de uma opção se concentra em resultados raros demais para uma aproximação gaussiana local descrever bem
Uma função de taxa precifica a raridade geometricamente
Para variáveis X_ε com velocidade a_ε tendendo ao infinito, a abreviação P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] captura a ideia principal
O princípio formal fornece limites inferior e superior separados para conjuntos abertos e fechados, em vez de uma igualdade exata para todo evento
A função de taxa I é não negativa e normalmente se anula nos estados típicos; uma boa função de taxa tem conjuntos de nível compactos
Cumulantes podem revelar a taxa
Sob as condições de Gärtner–Ellis, uma função geradora de cumulantes escalada limite Λ(θ) pode produzir I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}
Essa transformada de Legendre–Fenchel seleciona a inclinação exponencial que torna o ponto final raro típico sob uma medida alterada
A conclusão exige verificações de domínio, diferenciabilidade e inclinação; uma transformada finita em alguns valores de θ não basta
As assíntotas de opções herdam o caminho raro mais barato
Uma opção fora do dinheiro paga apenas além de um strike, portanto seu preço principal pode ser governado pelo estado ou caminho de menor custo que alcança a região de payoff
O princípio de contração transfere uma função de taxa por meio de mapeamentos como uma regra de caminho para preço terminal ou de agregação de uma cesta
Depois de combinar a assíntota da opção com um preço de referência, é possível derivar o comportamento principal da volatilidade implícita para a mesma escala
O regime precisa ser declarado explicitamente
Vencimento curto, ruído de volatilidade pequeno, vencimento longo e strike extremo são limites diferentes e podem produzir funções de taxa diferentes
Uma fórmula provada com o log-moneyness fixo enquanto o vencimento diminui não precisa se aplicar quando o strike também se move com o vencimento
A ordem exponencial principal não determina o fator pré-exponencial, a curvatura em vencimento finito nem a velocidade com que um smile cotado se aproxima do limite
Funções de taxa não substituem a ausência de arbitragem
Um smile assintótico ainda pode violar monotonicidade do preço da call, convexidade em relação ao strike, ordenação de calendário ou limites de preço quando usado fora de seu domínio
Uma lei terminal neutra ao risco também precisa preservar a condição de martingal do ativo descontado, que uma aproximação conveniente de cauda pode deixar passar
Use a teoria como restrição estrutural ou guia de extrapolação e depois imponha arbitragem estática à superfície completa de preços
A validação deve testar escala e estrutura
Estime probabilidades logarítmicas ou preços de opções em vários valores de ε ou do vencimento e verifique se as inclinações se estabilizam na taxa prevista
Compare com preços de Monte Carlo, de transformada ou de EDP quando possível, inclusive perto do limite entre regiões de eventos centrais e raros
Registre a escala, a medida, a variável de estado, o domínio da função de taxa, o tratamento do fator pré-exponencial e as verificações de arbitragem em toda implementação
Perguntas frequentes
O que é um princípio de grandes desvios?
É um par de limites exponenciais inferior e superior para probabilidades, governado por uma velocidade e uma função de taxa à medida que uma escala se torna extrema
Como uma função de taxa afeta o smile de opções?
Ela pode determinar o custo principal de alcançar a região de payoff de uma opção, o que pode então indicar o comportamento principal da volatilidade no mesmo limite
A teoria de grandes desvios é o mesmo que um modelo de distribuição de cauda?
Não. Ela fornece um decaimento logarítmico assintótico sob premissas declaradas e pode não especificar uma distribuição normalizada em escala finita ou um fator pré-exponencial
Posso usar uma fórmula de grandes desvios para todo vencimento e strike?
Não. O regime de escala faz parte do teorema, e mudar como vencimento, ruído ou strike se movem pode mudar a resposta