Testes de viés de sinal e magnitude de Engle–Ng para modelos de volatilidade

Um modelo pode captar o agrupamento das magnitudes dos retornos e ainda deixar passar diferenças no efeito dos choques sobre a variância futura. Um GARCH simétrico atribui o mesmo efeito a inovações positivas e negativas de igual magnitude. Se os resíduos padronizados mantêm padrões distintos após cada sinal, essa restrição pode ser forte demais para a amostra.

Engle e Ng tratam isso como diagnóstico pós-estimação: o sinal ou o tamanho da inovação anterior explica o resíduo normalizado ao quadrado de hoje? O artigo original define a curva de impacto de notícias e compara modelos com retornos diários de ações japonesas. A classificação empírica vale para aquela amostra, não para todos os mercados (Engle e Ng, 1993).

Aqui, “viés” significa um padrão residual de sinal ou magnitude que o modelo de variância não explica, e não viés estatístico dos parâmetros estimados. Primeiro defina um [modelo GARCH](/pt-BR/learn/volatility-clustering-garch-explained); depois avalie se a resposta a choques é adequada ao objetivo e à amostra.

Escreva o retorno como:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Aqui, \(\mu_t\) é a média condicional e \(\epsilon_t\) é a inovação após estimar o modelo da média. \(h_t\) é a variância condicional estimada; o resíduo padronizado compara a inovação à escala de variância prevista pelo modelo.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

Com uma especificação adequada, \(\hat z_t^2\) não deve ser sistematicamente maior ou menor após certos choques anteriores além do que o modelo mantido explica. A padronização remove a escala prevista; resíduos brutos ao quadrado podem conservar o agrupamento habitual. Defina equação da média, resíduo, variância, amostra e unidades antes de interpretar um p-valor.

Defina o indicador de inovação anterior negativa e seu complemento:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

O regressor do teste de sinal é \(S^-\); o de magnitude negativa é \(S^-\hat\epsilon\), e o de magnitude positiva é \(S^+\hat\epsilon\). Eles respondem a perguntas distintas: só o sinal importa? A magnitude acrescenta informação dentro de cada ramo? Especifique como classificar inovação igual a zero e as unidades, pois os coeficientes de magnitude dependem delas.

A curva de impacto de notícias resume como uma inovação nova se traduz na próxima variância condicional, mantendo os outros estados fixos. A curva do GARCH simétrico é simétrica em torno de zero; especificações assimétricas relaxam essa restrição. É uma propriedade do modelo, não uma resposta causal diretamente observada no mercado.

\(\mathbf z_{ot}^*\) é o vetor de derivadas normalizadas da variância condicional mantida em relação aos parâmetros de incômodo, avaliadas sob a hipótese nula. São termos de escore/derivada e não necessariamente os regressores brutos da variância. Cada regressão auxiliar acrescenta o termo de sinal ou magnitude e conserva os demais termos.

O teste pergunta se o sinal da inovação anterior ajuda a prever o resíduo padronizado ao quadrado atual, mantendo os demais termos do modelo nulo de variância. A regressão auxiliar é:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

A hipótese nula individual é \(b_s=0\). O indicador de sinal é o termo adicional testado. Um coeficiente significativo aponta padrões diferentes de variância residual após choques negativos e não negativos, condicionados ao modelo estimado.

Isso não significa que retornos negativos sempre aumentem a volatilidade. O teste não identifica um mecanismo causal nem todas as respostas não lineares possíveis. A rejeição é motivo para examinar o modelo e os dados.

Este teste se concentra no ramo negativo e pergunta se a magnitude da inovação explica um padrão restante:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

A hipótese nula individual é \(b_-=0\). Como a inovação é negativa quando o indicador vale um, o sinal do coeficiente depende da convenção e das unidades. O teste verifica se o tamanho do choque acrescenta informação além do modelo de variância; não comprova causalidade de notícias ruins nem previsões melhores.

Os regressores auxiliares podem ser correlacionados, dificultando separar a contribuição de cada termo. Interprete os testes individuais junto com a regressão completa e o teste conjunto.

Estudos relacionados comparam especificações assimétricas, como GJR, mas os resultados empíricos se limitam aos dados e às hipóteses de cada estudo (Glosten, Jagannathan e Runkle, 1993).

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O teste correspondente examina o ramo das inovações positivas:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

A hipótese nula é \(b_+=0\). O teste pode ser significativo mesmo que o teste de sinal não seja: a resposta pode variar com a magnitude dentro de um ramo sem uma diferença média simples entre os sinais.

“Viés de magnitude positiva” não significa que retornos positivos necessariamente elevem ou reduzam a volatilidade. O EGARCH de Nelson e o modelo de limiar de Zakoian permitem dinâmicas assimétricas; são alternativas a avaliar, não correções automáticas nem modelos sempre superiores.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

Os três regressores podem ser testados juntos em uma regressão auxiliar:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

A hipótese nula conjunta é \(b_1=b_2=b_3=0\). Mantidos os demais termos do modelo nulo e sob condições usuais de grandes amostras, o LM conjunto é comparado assintoticamente à distribuição qui-quadrado com 3 graus de liberdade. Uma forma comum é \(LM=M R^2\), em que \(M\) é o número de linhas utilizadas e \(R^2\) vem da regressão especificada. Siga a equação e as regras de amostra finita da implementação escolhida.

Engle e Ng observam que omitir \(\mathbf z_{ot}^*\) da regressão conjunta torna o teste conservador: seu tamanho não supera o nível nominal, mas o poder pode diminuir.

Exemplo puramente hipotético: com \(M=400\) e \(R^2=0.012\), \(LM=4.8\). O valor crítico de 5% para qui-quadrado com 3 graus de liberdade é cerca de 7.81; portanto, não se rejeita aqui. São números ilustrativos, não resultado empírico nem prova de simetria.

Um p-valor pequeno justifica examinar um padrão residual específico, mas não escolhe um modelo alternativo nem prova um mecanismo causal de alavancagem ou valor econômico de previsão. Um p-valor grande indica apenas que o teste não detectou o padrão escolhido nesta amostra.

Os regressores auxiliares podem ser correlacionados, sobretudo o indicador de sinal e o termo de magnitude negativa, reduzindo o poder dos testes individuais. Tamanho da amostra, estimação e especificação mantida também importam. Testar muitos ativos, modelos, defasagens e janelas aumenta a chance de obter p-valores pequenos por acaso.

Outliers, saltos, quebras estruturais, dinâmica de média omitida ou unidades de inovação inconsistentes podem alterar os resultados. Documente a definição do retorno, janela de estimação, convenção de sinal e método de inferência; explique os limites da aproximação assintótica e considere reamostragem adequada.

ARCH LM pergunta se resíduos ao quadrado defasados explicam o resíduo ao quadrado atual; veja o [guia ARCH-LM](/pt-BR/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained). Engle–Ng testa termos específicos de sinal e magnitude por ramo. [Ljung–Box](/pt-BR/learn/ljung-box-test-autocorrelation-time-series-finance-explained) verifica autocorrelação dos resíduos, outra questão.

Após a rejeição, estime um modelo assimétrico como GJR-GARCH, EGARCH ou limiar, reavalie os resíduos e analise as previsões separadamente. [QLIKE e erro quadrático](/pt-BR/learn/qlike-vs-squared-error-volatility-forecasts-noisy-proxies-explained) pontuam previsões depois de geradas; não substituem o diagnóstico de especificação dos resíduos.

Se usar previsão de volatilidade numa regra de negociação, avalie fora da amostra com taxas, spread, impacto de mercado, financiamento e limites de risco. O teste de sinal e magnitude não é sinal de compra ou venda.