DCC-GARCH: como estimar correlações variáveis entre ativos

Uma matriz de covariância é mais do que uma lista de relações de longo prazo. Em determinado momento de decisão, um investidor pode precisar da variância condicional de cada retorno e da covariância condicional de cada par de ativos, considerando as informações disponíveis até então. Quando volatilidade e co-movimento mudam ao longo do tempo, uma única matriz estimada com toda a amostra mistura períodos tranquilos, períodos de estresse e possíveis quebras estruturais.

O DCC-GARCH permite que a matriz de correlação condicional evolua sem deixar o modelo excessivamente complexo. No artigo de 2002, Robert Engle propôs uma especificação de correlação condicional dinâmica que combina modelos univariados de volatilidade com uma recursão de correlação com poucos parâmetros (Engle, 2002). A abordagem trata de um problema prático de escala: um modelo de covariância totalmente irrestrito exigiria cada vez mais parâmetros à medida que o universo de ativos cresce.

O método é útil quando a pergunta é como a dependência condicional muda depois de considerar a volatilidade variável de cada série. Ele não revela por que os ativos se movem juntos. Para uma introdução à variância que muda ao longo do tempo em uma única série, consulte o [guia sobre agrupamento de volatilidade e GARCH](/pt-BR/learn/volatility-clustering-garch-explained). Para correlações entre pares de moedas e os limites de interpretá-las como exposição compartilhada, consulte o [guia sobre correlação entre pares de forex](/pt-BR/learn/forex-pair-correlation-shared-exposure-returns-limits-explained).

Seja \(r_t\) o vetor de retornos de \(N\) ativos e \(\mu_t\) sua média condicional. A inovação é \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). O DCC decompõe a matriz de covariância condicional assim:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

em que \(\mathcal{F}_{t-1}\) representa as informações disponíveis antes da observação no instante \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) contém os desvios padrão condicionais e \(R_t\) é uma matriz de correlação condicional.

Cada \(\sigma_{i,t}^2\) pode ser modelada por uma equação univariada da família GARCH. Por exemplo,

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Esse modelo marginal responde como a escala da inovação do ativo \(i\) muda de acordo com o próprio histórico. Ele não afirma que a correlação com o ativo \(j\) também muda. Da mesma forma, uma mudança em \(R_t\), por si só, não significa que a volatilidade de nenhum dos ativos esteja aumentando.

A covariância combina os dois efeitos:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

A covariância pode aumentar porque a volatilidade marginal de um ou dos dois ativos subiu, mesmo que \(\rho_{ij,t}\) continue igual. O DCC tenta estimar separadamente a variação temporal da correlação condicional que resta depois de considerar a volatilidade marginal. Essa é a principal diferença em relação a ajustar GARCHs independentes e depois tratar a covariância dos retornos brutos como constante.

Depois de estimar as médias condicionais e as variâncias marginais, calcule as inovações padronizadas:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Se os modelos marginais forem adequados, cada componente de \(z_t\) deverá ter variância condicional aproximadamente igual a um. Ainda pode haver dependência contemporânea entre os componentes; o padrão conjunto é a informação usada para atualizar as correlações. A padronização evita que um grande movimento bruto em um ativo naturalmente volátil seja automaticamente tratado como evidência de dependência mais forte do que um choque padronizado comparável em outro ativo.

Na prática, os resíduos padronizados são quantidades estimadas, não verdades observadas diretamente. Um modelo de média inadequado pode deixar estrutura previsível em \(\epsilon_t\); um modelo de volatilidade inadequado pode deixar uma escala variável em \(z_t\). A etapa de correlação pode absorver esses problemas e distorcer \(R_t\). Caudas pesadas, valores atípicos, datas ausentes, horários de negociação incompatíveis, eventos corporativos e preços defasados também afetam os resíduos usados na recursão.

Engle e Sheppard descrevem uma abordagem em duas etapas: estimar modelos GARCH univariados e depois estimar os parâmetros de correlação a partir dos resíduos padronizados (Engle e Sheppard, 2001). Separar os ajustes marginais é uma das razões práticas para usar DCC. Isso também significa que o resultado da segunda etapa deve ser interpretado à luz das especificações da primeira etapa e do alinhamento exato das séries de entrada.

A recursão DCC padrão começa atualizando uma matriz auxiliar positiva definida \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

Aqui, \(\bar Q\) é uma matriz de longo prazo das inovações padronizadas; \(a\) controla o quanto os co-movimentos recentes afetam a atualização; e \(b\) controla a persistência herdada de \(Q\) anterior. Na especificação escalar DCC mais comum, valores não negativos de \(a\) e \(b\), com \(a+b<1\), junto a uma \(\bar Q\) e inicialização positivas definidas, mantêm a positividade definida da recursão usual. Estacionariedade estrita e inferência válida ainda dependem do modelo completo e de suas hipóteses. Essas restrições pertencem à especificação escolhida e não são uma garantia universal para todas as variantes.

Em geral, os elementos da diagonal de \(Q_t\) não são iguais a um, portanto \(Q_t\) não é, por si só, uma matriz de correlação. Defina \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) e normalize:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

O resultado tem valores unitários na diagonal e correlações condicionais sem escala fora dela. A covariância condicional é \(H_t=D_tR_tD_t\). Distinguir \(Q_t\), \(R_t\) e \(H_t\) evita um erro comum de interpretação: a recursão atualiza uma matriz auxiliar de dependência, a normalização produz as correlações e os desvios padrão marginais as recolocam na escala dos retornos dos ativos. Essa normalização é central no método de Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Ilustração conceitual sem texto: fluxos de retornos com faixas de volatilidade distintas convergem para uma faixa comum de dependência que muda suavemente; não representa dados de mercado nem previsão. -->

Em uma implementação comum em duas etapas, primeiro se ajustam uma média condicional e uma variância da família GARCH univariada para cada ativo. Esses modelos são usados para calcular \(z_t\); depois, os parâmetros DCC são estimados a partir da parte de correlação de uma função de verossimilhança ou quase-verossimilhança. A primeira etapa pode usar uma verossimilhança gaussiana mesmo que os retornos não sejam gaussianos; sob condições de regularidade adequadas, isso pode funcionar como quase-máxima verossimilhança. Erros padrão e inferência, porém, devem corresponder ao estimador e às hipóteses efetivamente usados.

A divisão é computacionalmente atraente em comparação com estimar um sistema GARCH multivariado sem restrições. Também cria dependências entre as etapas: a incerteza dos parâmetros marginais afeta os resíduos padronizados e, por consequência, a estimativa da segunda etapa. Uma estimativa de \(a\) ou \(b\) não mede diretamente uma constante imutável do mercado. Sua interpretação depende da amostra, dos modelos marginais, da inicialização, das hipóteses distributivas e da estabilidade da dinâmica de correlação.

A entrada de longo prazo \(\bar Q\) costuma se basear na covariância amostral dos resíduos padronizados, mas definições e correções exatas variam. A implementação deve informar como estima \(\bar Q\), inicializa \(Q_0\), trata observações ausentes, impõe restrições e calcula a verossimilhança. Otimização próxima de \(a+b=1\), uma \(\bar Q\) quase singular ou um universo de ativos grande demais podem gerar instabilidade. Informe diagnósticos de convergência e teste a sensibilidade a especificações marginais e janelas alternativas razoáveis.

Para transações com horários irregulares, retornos sincronizados usados no DCC padrão podem ser inadequados sem um desenho de amostragem deliberado. Outro estimador pode ser necessário para lidar com observações assíncronas; consulte o [guia de covariância de Hayashi–Yoshida](/pt-BR/learn/hayashi-yoshida-asynchronous-covariance-estimator-explained). A contração de um alvo de covariância ruidoso, como discutido no [guia de contração de covariância de Ledoit–Wolf](/pt-BR/learn/ledoit-wolf-covariance-shrinkage-portfolio-estimation-explained), também é uma etapa distinta e não deve ser confundida com a recursão de correlação dinâmica do DCC.

Considere duas inovações padronizadas e uma atualização DCC inventada. Defina \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\) e \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Esses valores foram criados apenas para mostrar a aritmética; não são estimativas baseadas em dados de mercado. A atualização do elemento cruzado é

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Para ilustrar a normalização, suponha que os valores diagonais inventados sejam \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) e \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). A mesma recursão resulta em

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

A correlação normalizada é, portanto,

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

O elemento auxiliar fora da diagonal passou de 0,30 para 0,35, enquanto a correlação reportada fica em torno de 0,34 porque a diagonal de \(Q_t\) também mudou. Reportar \(q_{12,t}=0.35\) como se fosse a correlação ignora a normalização. O cálculo mostra apenas uma etapa da recursão; não informa significância estatística, persistência futura, pesos de carteira ótimos ou valor de uma operação.

O DCC padrão é parcimonioso porque costuma aplicar os mesmos parâmetros escalares de resposta e persistência a todos os pares. Essa restrição pode ser útil quando há muitos ativos, mas talvez seja forte demais se cada par se ajusta em uma velocidade diferente. Além disso, modelos chamados DCC podem variar em parametrização, restrições, método de estimação e convenções de inicialização; é importante dizer qual foi usado.

O trabalho de Aielli sobre DCC corrigido mostra que o estimador DCC convencional e a interpretação de seus parâmetros de correlação podem apresentar problemas quando a dimensão transversal cresce. O artigo propõe o cDCC, com uma recursão modificada (Aielli, 2013). cDCC não é apenas outro nome para DCC padrão. A distinção é importante sobretudo ao escalar o sistema para muitos ativos ou interpretar os coeficientes estimados estruturalmente.

As especificações asymmetric generalized DCC tratam de outra limitação: choques padronizados positivos e negativos podem afetar as correlações futuras de forma diferente. O modelo AG-DCC de Cappiello, Engle e Sheppard permite parâmetros de impacto de notícias e suavização específicos por série, além de assimetrias condicionais nas correlações (Cappiello, Engle e Sheppard, 2006). O AG-DCC é mais flexível do que a recursão escalar comum do DCC padrão, portanto o número de parâmetros, as restrições e a interpretação também mudam. Não o substitua silenciosamente pelo DCC padrão nem suponha que seja superior sem avaliação.

Um \(R_t\) estimado descreve as correlações condicionais implicadas pelo modelo, dadas a frequência dos dados, a janela da amostra, a especificação da média, os modelos marginais de volatilidade e a variante DCC escolhida. Ele não identifica contágio causal. Uma correlação estimada maior durante uma queda pode refletir notícias comuns, mudança na composição, liquidez, especificação incorreta da volatilidade ou outros mecanismos; a estimativa, sozinha, não distingue essas explicações.

Para medir risco, compare a previsão de covariância dinâmica com referências razoáveis, como uma covariância amostral móvel ou um modelo de correlação constante. Em cada origem de previsão, use apenas informações disponíveis naquele momento, mantenha iguais o universo de ativos e o horizonte e informe a função de perda. Se houver uso em carteira, acompanhe também mudanças em pesos, concentração, giro, financiamento e custos de transação. Uma correlação estimada mais alta pode reduzir a diversificação em determinado modelo de risco, mas não prevê que os preços dos dois ativos vão cair.

Verifique se as correlações estimadas permanecem em limites válidos, se a matriz \(R_t\) implícita continua positiva definida e se os resíduos padronizados marginais ainda apresentam autocorrelação ou variância variável. Examine a sensibilidade ao conjunto de ativos, à inicialização, a valores atípicos, à janela e à variante do modelo. Persistência próxima de um pode tornar a reação a uma quebra lenta; uma recursão suave também pode demorar a acompanhar uma mudança brusca de regime. Ao comparar muitos pares ou variantes candidatas, declare os critérios de escolha e mantenha comparações fora da amostra para não destacar apenas resultados favoráveis.

O DCC-GARCH é melhor entendido como um modelo compacto de covariância condicional: equações marginais estimam escalas variáveis, uma recursão de dependência acompanha os co-movimentos das inovações padronizadas e a normalização transforma a matriz auxiliar em correlações. A matriz estimada pode contribuir para uma análise de risco quando as hipóteses estão explícitas e as previsões são avaliadas. Por si só, ela não comprova um hedge estável, não explica a causa de um choque nem demonstra que uma estratégia terá retorno.