Bootstrap blokowy i przedziały ufności dla strategii tradingowych

Historyczna średnia stopa zwrotu lub wskaźnik Sharpe’a to oszacowanie na podstawie skończonej próby. Przedział ufności wskazuje, jakie wartości są zgodne z danymi przy wybranej metodzie i nominalnym poziomie ufności. Nie sprawia, że krótka lub silnie zależna seria dostarcza więcej informacji.

Zdefiniuj statystykę przed obejrzeniem wyniku. Może to być średnia okresowych nadwyżkowych stóp zwrotu albo wskaźnik Sharpe’a wyliczony z tych samych okresów. Podaj częstotliwość, stopę wolną od ryzyka, ujęcie brutto lub netto po kosztach i dokładny wzór. Dla Sharpe’a w każdej replice ponownie oblicz średnią i odchylenie standardowe według tej samej konwencji.

To inne pytanie niż trzy pokrewne zagadnienia. Błędy standardowe HAC szacują niepewność współczynnika regresji przy wybranym modelu zależności. Annualizacja Sharpe’a agreguje statystykę w czasie i sama w sobie nie daje przedziału ufności. Purged cross-validation ocenia modele predykcyjne, gdy okresy etykiet nakładają się na siebie. Tutaj bootstrap resampluje zaobserwowaną serię stóp zwrotu, aby zbadać zmienność z góry ustalonej statystyki.

Zwykły bootstrap i.i.d. losuje każdą obserwację niezależnie, ze zwracaniem. Znika kolejność w czasie: po spokojnym tygodniu w syntetycznej serii może wystąpić dowolny tydzień stresu rynkowego. Giną też utrzymujące się fazy stóp zwrotu lub zmienności oraz zależność między sąsiednimi tygodniami.

Ma to znaczenie, gdy stopy zwrotu wykazują autokorelację, skupiska zmienności, nakładające się okresy utrzymywania pozycji albo inne zależności czasowe. Resampling i.i.d. może wtedy tworzyć zbyt prosty rozkład sztucznych ścieżek. Bootstrap blokowy zachowuje pierwotną kolejność wewnątrz każdego wylosowanego fragmentu, ale połączenia między fragmentami nadal są sztuczne.

Metoda nie naprawia źle skonstruowanej serii stóp zwrotu. Opóźnione lub wygładzone ceny, pominięte koszty finansowania, błąd przeżywalności i nieprawidłowo dopasowane sygnały pozostają problemami danych lub oceny strategii.

Ruchomy bootstrap blokowy (moving-block bootstrap, MBB) wykorzystuje stałą długość bloku L. Z serii n obserwacji tworzy się nakładające się bloki kandydackie, z których każdy obejmuje L kolejnych stóp zwrotu. Całe bloki losuje się ze zwracaniem, łączy, a ostatni przycina tak, aby syntetyczna ścieżka ponownie miała n obserwacji.

Bootstrap stacjonarny także losuje kolejne obserwacje, ale długości bloków są zmienne. Po rozpoczęciu bloku serię kontynuuje się z prawdopodobieństwem 1 − 1/L; z prawdopodobieństwem 1/L nowy blok zaczyna się od losowego punktu początkowego. Długość ma rozkład geometryczny, a jej wartością oczekiwaną jest wybrane L. Granice bloków są więc zmienne, a L określa ich średnią długość i typowy zakres zachowywanej zależności.

Obie metody wymagają wyboru długości bloku i sposobu traktowania końców serii. Nie należy zmieniać L po obejrzeniu wyników, aż pojawi się pożądany przedział. Künsch analizuje resampling obserwacji stacjonarnych, a Politis i Romano przedstawiają bootstrap stacjonarny z geometrycznymi długościami bloków.

Oznaczmy cztery zaobserwowane tygodniowe stopy zwrotu, w kolejności, jako r1, r2, r3 i r4. Przy MBB i L = 2 możliwe nakładające się bloki to (r1, r2), (r2, r3) oraz (r3, r4). To wyłącznie ilustracja reguły losowania, a nie twierdzenie o wynikach jakiejkolwiek strategii.

Syntetyczna ścieżka o czterech obserwacjach może składać się z wylosowanego bloku (r2, r3), a następnie bloku (r1, r2). Kolejność dwóch tygodni wewnątrz każdego bloku pozostaje bez zmian. Przeskok z r3 do r1 jest sztuczną granicą bloków, a nie zaobserwowanym ruchem rynku.

W praktycznej analizie tworzy się wiele takich ścieżek i dla każdej ponownie oblicza tę samą, wcześniej zdefiniowaną statystykę. Rzeczywiste zastosowanie zazwyczaj wymaga znacznie dłuższej historii; cztery obserwacje służą tu tylko objaśnieniu algorytmu.

Wygeneruj wiele syntetycznych ścieżek o tej samej długości. Dla każdej ponownie oblicz średnią nadwyżkową stopę zwrotu lub zdefiniowany wskaźnik Sharpe’a. Powstanie w ten sposób bootstrapowy rozkład statystyki. Prosty przedział percentylowy wykorzystuje jego dolny i górny kwantyl; przedziały BCa i studentyzowane są innymi metodami, z własnymi założeniami i decyzjami obliczeniowymi.

Podaj poziom ufności, liczbę replikacji, metodę resamplingu, długość bloku, sposób traktowania końców serii i typ przedziału. Większa liczba replikacji zmniejsza szum numeryczny algorytmu, ale nie zwiększa liczby niezależnie zaobserwowanych faz rynkowych.

Jeśli dwustronny przedział dla średniej nadwyżkowej stopy zwrotu obejmuje zero, to przy wybranym poziomie nominalnym dane i metoda pozostają zgodne z wartością dodatnią, bliską zeru, a być może także ujemną. Nie dowodzi to, że prawdziwa stopa zwrotu wynosi zero ani że dwie strategie są równoważne. Oznacza, że próba i przyjęte założenia nie pozwalają na dokładniejszy wniosek.

Stopy zwrotu dwóch porównywanych strategii są zwykle sparowane, ponieważ obie obserwowano w tych samych tygodniach rynkowych. W każdej replice losuj więc wspólnie te same bloki czasu dla obu serii. Następnie oblicz oba wskaźniki Sharpe’a i ich różnicę w ramach tej samej repliki.

Losowanie bloków osobno dla każdej strategii niszczy kowariancję między nimi w tych samych okresach i może zniekształcić niepewność różnicy. Wspólne losowanie zachowuje wspólną strukturę czasową obecną w danych. Ledoit i Wolf analizują bootstrapowe przedziały ufności dla wskaźników Sharpe’a i ich różnic przy zależnych stopach zwrotu.

Z góry określ, czy porównujesz wyższy Sharpe, różnicę czy inną statystykę. Użyj tej samej częstotliwości stóp zwrotu, horyzontu wyceny i spójnego ujęcia prowizji oraz finansowania. Jeśli przedział różnicy Sharpe’ów obejmuje zero, ta próba i metoda nie wykazują jednoznacznie różnicy; nie dowodzi to równości.

Zbyt krótki blok może pomijać zależność krótkookresową i skupiska zmienności. Zbyt długi pozostawia mniej faktycznie różnych kombinacji bloków, przez co rozkład bootstrapowy może być niedokładny. Pokaż więc wrażliwość na kilka wiarygodnych długości uzasadnionych częstotliwością danych i czasem trwania zależności.

Typowe metody zakładają dostatecznie stabilny, słabo stacjonarny proces zależny albo inne warunki zależności uzasadniające własności asymptotyczne. Wyraźne załamanie strukturalne lub zmiana reżimu mogą naruszyć te założenia. Resampling całej długiej historii może mieszać okresy pochodzące z różnych procesów. W razie potrzeby analizuj osobne okresy lub jawnie uwzględnij reżimy, zamiast uznawać pojedynczą statystykę za odporną.

Sprawdź także, czy budowa sygnału, dobór parametrów albo wybór strategii opierały się na tych samych danych. Przedział dla już wybranej strategii nie koryguje automatycznie data snoopingu ani wielokrotnych testów. Selekcja i ocena predykcyjna wymagają dodatkowych metod, takich jak oddzielny chronologiczny zbiór testowy albo odpowiednia purged cross-validation.

Podaj źródło i okres stóp zwrotu, częstotliwość, ujęcie brutto lub netto, stopę wolną od ryzyka, definicję Sharpe’a, metodę resamplingu, długość bloków i typ przedziału. Pokaż wiarygodne warianty analizy wrażliwości, liczbę replikacji oraz informację, czy dla kilku strategii losowano te same bloki parami. Zestaw statystykę z obsunięciem kapitału, płynnością, kosztami i ograniczeniami danych.

Przedział z historycznych stóp zwrotu nie jest prognozą ani gwarancją. Zależy od zaobserwowanej serii, wyboru strategii, założeń o kosztach i modelu resamplingu. Nie przewiduje stopy zwrotu w przyszłym tygodniu i nie zastępuje indywidualnej porady inwestycyjnej.

Więcej informacji: odporne błędy standardowe i HAC dotyczą współczynników regresji; Sharpe i korelacja szeregowa dotyczą agregacji w czasie; purged cross-validation i embargo dotyczą walidacji modeli.

Źródła metodologiczne: - Künsch (1989), The jackknife and the bootstrap for general stationary observations - Politis i Romano (1994), The stationary bootstrap - Ledoit i Wolf (2008), Robust performance hypothesis testing with the Sharpe ratio

Większa liczba replikacji może ograniczyć szum Monte Carlo w oszacowanych kwantylach: przy niezmienionej próbie, statystyce i zasadach resamplingu końce przedziału zwykle mniej wahają się wskutek losowości algorytmu. Dodatkowe losowania nie wnoszą jednak do pierwotnego szeregu stóp zwrotu nowych, niezależnych obserwacji rynkowych. Nie sprawiają też, że krótka, wcześniej wyselekcjonowana lub niestacjonarna próba staje się bardziej reprezentatywna ani nie naprawiają tych ograniczeń. Zachowaj tę samą statystykę, metodę, długość bloków i obsługę granic; więcej losowań jedynie poprawia przybliżenie numeryczne w ramach tego samego projektu.