DCC-GARCH: tijdsvariërende correlaties tussen activa schatten

Een covariantiematrix is meer dan een lijst langetermijnrelaties. Op een bepaald beslismoment kan een belegger de conditionele variantie van elk rendement en de conditionele covariantie van elk activapaar nodig hebben, gegeven de informatie die tot dan toe beschikbaar is. Als volatiliteit en gezamenlijke bewegingen in de tijd veranderen, middelt één matrix op basis van de hele steekproef rustige perioden, stressperioden en mogelijke structurele breuken samen.

DCC-GARCH is een manier om de conditionele correlatiematrix te laten veranderen en het model toch compact te houden. In zijn artikel uit 2002 stelde Robert Engle een specificatie voor dynamische conditionele correlaties voor die univariate volatiliteitsmodellen combineert met een correlatierecursie met weinig parameters (Engle, 2002). Dit pakt een praktisch schaalprobleem aan: een volledig onbegrensd covariantiemodel vereist steeds meer parameters naarmate het aantal activa toeneemt.

De methode is nuttig als de vraag is hoe conditionele afhankelijkheid verandert nadat de eigen veranderende volatiliteit van elke reeks is meegenomen. Ze verklaart niet waarom activa samen bewegen. Voor een introductie tot tijdsvariërende variantie in één reeks, zie de gids over volatiliteitsclustering en GARCH. Voor valutapaarcorrelaties en de beperkingen van de interpretatie als gedeelde blootstelling, zie de gids over forex-paarcorrelatie.

Laat \(r_t\) de vector van rendementen voor \(N\) activa zijn en \(\mu_t\) het conditionele gemiddelde. De innovatie is \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). DCC ontbindt de conditionele covariantiematrix als volgt:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

waar \(\mathcal{F}_{t-1}\) de informatie is die vóór waarneming op tijdstip \(t\) beschikbaar is, \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) de conditionele standaarddeviaties bevat en \(R_t\) een conditionele correlatiematrix is.

Elke \(\sigma_{i,t}^2\) kan worden gemodelleerd met een univariate vergelijking uit de GARCH-familie, bijvoorbeeld:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Dit marginale model beantwoordt hoe de schaal van de innovatie van activum \(i\) verandert op basis van zijn eigen geschiedenis. Het zegt niet dat de correlatie met activum \(j\) ook verandert. Omgekeerd betekent een veranderende \(R_t\) op zichzelf niet dat de volatiliteit van een van beide activa toeneemt.

Covariantie combineert beide effecten:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

De covariantie kan toenemen doordat de marginale volatiliteit van één of beide activa stijgt, ook wanneer \(\rho_{ij,t}\) gelijk blijft. DCC probeert afzonderlijk de tijdsvariatie in de resterende conditionele correlatie te schatten nadat de marginale variatie is meegenomen. Dat is het belangrijkste verschil met afzonderlijke GARCH-modellen waarvan de ruwe rendementscovariantie vervolgens als constant wordt behandeld.

Bereken na het schatten van de conditionele gemiddelden en marginale varianties de gestandaardiseerde innovaties:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Als de marginale modellen adequaat zijn, zou de conditionele variantie van elk onderdeel van \(z_t\) ongeveer één moeten zijn. De onderdelen kunnen op hetzelfde moment nog steeds afhankelijk zijn; hun gezamenlijke patroon levert informatie voor het bijwerken van correlaties. Standaardisering voorkomt dat een grote ruwe beweging in een van nature zeer volatiel activum automatisch als sterker afhankelijkheidsbewijs wordt gezien dan een vergelijkbare gestandaardiseerde schok elders.

In de praktijk zijn gestandaardiseerde residuen geschatte grootheden en geen rechtstreeks waargenomen waarheden. Een slecht gemiddeldenmodel kan voorspelbare structuur in \(\epsilon_t\) achterlaten; een slecht volatiliteitsmodel kan veranderende schaal in \(z_t\) laten staan. Beide problemen kunnen in de correlatiefase worden opgevangen en \(R_t\) vertekenen. Dikke staarten, uitschieters, ontbrekende datums, niet-overlappende handelsuren, ondernemingsacties en verouderde prijzen beïnvloeden eveneens de residuen die de recursie ingaan.

Engle en Sheppard beschrijven een aanpak in twee stappen: schat univariate GARCH-modellen en schat daarna de correlatieparameters uit hun gestandaardiseerde residuen (Engle en Sheppard, 2001). Het apart schatten van marginale modellen maakt DCC praktisch. Daardoor moet een correlatieschatting uit de tweede stap wel worden gelezen in het licht van de specificaties uit de eerste stap en de precieze uitlijning van de reeksen.

De standaard-DCC-recursie werkt eerst een hulpvariabele, positieve-definiete matrix \(Q_t\), bij:

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

Hier is \(\bar Q\) een langetermijnmatrix van gestandaardiseerde innovaties, bepaalt \(a\) hoe sterk recente gezamenlijke bewegingen in de update doorwerken en bepaalt \(b\) hoeveel persistentie uit de vorige \(Q\) wordt overgenomen. In de gangbare scalaire DCC-specificatie behouden niet-negatieve \(a\) en \(b\) met \(a+b<1\), samen met een positieve-definiete \(\bar Q\) en initialisatie, de positieve definietheid van de gebruikelijke recursie. Strikte stationariteit en geldige inferentie hangen nog steeds af van het volledige model en de aannames. Deze beperkingen horen bij de gekozen specificatie en vormen geen universele garantie voor elke variant.

De diagonaalelementen van \(Q_t\) zijn doorgaans niet gelijk aan één, dus \(Q_t\) is zelf meestal geen correlatiematrix. Definieer \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) en normaliseer vervolgens:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Zo ontstaat een matrix met enen op de diagonaal en schaalvrije conditionele correlaties buiten de diagonaal. De conditionele covariantie volgt uit \(H_t=D_tR_tD_t\). Door \(Q_t\), \(R_t\) en \(H_t\) uit elkaar te houden, voorkom je een veelvoorkomende interpretatiefout: de recursie werkt een hulpvariabele voor afhankelijkheid bij, de normalisatie maakt daarvan correlaties en de marginale standaarddeviaties zetten die terug naar de schaal van activarendementen. Deze normalisatie is een kernonderdeel van de methode van Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Tekstloze conceptillustratie: rendementstromen met verschillende volatiliteitsbanden komen samen in een gedeelde, geleidelijk veranderende afhankelijkheidsband; geen marktdata of prognose. -->

Bij een gangbare implementatie in twee stappen schat je eerst voor elk activum een conditioneel gemiddelde en een univariate GARCH-variantie. Met deze modellen bereken je \(z_t\), waarna je DCC-parameters schat uit het correlatiedeel van een likelihood of quasi-likelihood. In de eerste stap kan een Gaussische likelihood worden gebruikt terwijl rendementen niet Gaussisch zijn; onder geschikte regelmatigheidsvoorwaarden kan dit quasi-maximum likelihood zijn. De standaardfouten en inferentie moeten dan wel passen bij de gebruikte schatter en aannames.

De opsplitsing is rekenkundig aantrekkelijker dan het volledige onbeperkte multivariate GARCH-systeem schatten. Tegelijk ontstaan afhankelijkheden tussen de stappen: onzekerheid in marginale parameters beïnvloedt de gestandaardiseerde residuen en dus de schatting in de tweede stap. Een schatting van \(a\) of \(b\) meet geen onveranderlijke marktconstante rechtstreeks. De interpretatie hangt af van de steekproef, marginale modellen, initialisatie, distributieaannames en stabiliteit van de correlatiedynamiek.

De langetermijninvoer \(\bar Q\) is vaak gebaseerd op de steekproefcovariantie van gestandaardiseerde residuen, maar de precieze definities en correcties verschillen. Een implementatie hoort te vermelden hoe \(\bar Q\) wordt geschat, hoe \(Q_0\) wordt geïnitialiseerd, hoe ontbrekende waarnemingen worden behandeld, welke beperkingen gelden en hoe de likelihood wordt berekend. Optimalisatie nabij \(a+b=1\), een bijna singuliere \(\bar Q\) of een te grote activasectie kan instabiliteit veroorzaken. Rapporteer convergentiediagnostiek en test de gevoeligheid voor redelijke alternatieve marginale specificaties en vensters.

Bij transacties met onregelmatige tijdstippen kunnen de synchroon gesamplede rendementen van standaard-DCC zonder doordacht steekproefontwerp ongeschikt zijn. Voor niet-synchrone waarnemingen kan een andere schatter nodig zijn; zie de gids over Hayashi–Yoshida-covariantie. Het krimpen van een ruisachtig covariantiedoel, zoals in de gids over Ledoit–Wolf-covariantiekrimping, is ook een aparte stap en moet niet worden verward met de dynamische correlatierecursie van DCC.

Neem twee gestandaardiseerde innovaties en een verzonnen DCC-update. Stel \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\) en \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Deze invoer is uitsluitend bedacht om de rekenstap te tonen en komt niet uit marktdata. De update van het kruiselingse element is

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Neem voor de normalisatie aan dat de verzonnen diagonaalwaarden \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) en \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\) zijn. Dezelfde recursie geeft

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

De genormaliseerde correlatie is dus

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

Het hulpvariabele-element buiten de diagonaal steeg van 0,30 naar 0,35, terwijl de gerapporteerde correlatie ongeveer 0,34 bedraagt doordat ook de diagonaal van \(Q_t\) veranderde. Wie \(q_{12,t}=0.35\) als correlatie rapporteert, slaat de normalisatie over. De berekening toont één recursiestap en zegt niets over statistische significantie, toekomstige persistentie, optimale portefeuillegewichten of handelswaarde.

Standaard-DCC is spaarzaam doordat doorgaans dezelfde scalaire respons- en persistentieparameters op alle paren worden toegepast. Dat kan nuttig zijn bij veel activa, maar kan te beperkend zijn wanneer paren zich met verschillende snelheden aanpassen. Ook modellen die DCC heten kunnen uiteenlopen in parametrisering, beperkingen, schattingsmethode en initialisatie; vermeld daarom de gebruikte specificatie.

Aielli laat in zijn onderzoek naar corrected DCC zien dat de conventionele DCC-schatter en de interpretatie van de correlatieparameters problemen kunnen opleveren als de dwarsdoorsnede groot wordt. Hij stelt cDCC met een aangepaste recursie voor (Aielli, 2013). cDCC is niet slechts een andere naam voor standaard-DCC. Het onderscheid is vooral van belang wanneer het systeem veel activa omvat of de geschatte coëfficiënten structureel worden geïnterpreteerd.

Asymmetric generalized DCC-specificaties richten zich op een andere beperking: positieve en negatieve gestandaardiseerde schokken kunnen toekomstige correlaties verschillend beïnvloeden. Het AG-DCC-model van Cappiello, Engle en Sheppard staat reeksspecifieke nieuwsimpact- en afvlakkingsparameters toe, evenals conditionele asymmetrieën in correlaties (Cappiello, Engle en Sheppard, 2006). AG-DCC is flexibeler dan de gemeenschappelijke scalaire standaard-DCC-recursie, waardoor ook het aantal parameters, de beperkingen en de interpretatie veranderen. Vervang standaard-DCC er niet stilzwijgend door en neem zonder evaluatie niet aan dat AG-DCC beter is.

Een geschatte \(R_t\) beschrijft modelmatige conditionele correlaties gegeven de gekozen datafrequentie, steekproefperiode, gemiddelde-specificatie, marginale volatiliteitsmodellen en DCC-variant. De schatting identificeert geen causale besmetting. Een hogere correlatie tijdens een neergang kan komen door gemeenschappelijk nieuws, een veranderde samenstelling, liquiditeit, een verkeerd gespecificeerd volatiliteitsmodel of andere mechanismen; de schatting alleen kan die oorzaken niet onderscheiden.

Vergelijk voor risicometing de dynamische covariantieprognose met zinvolle benchmarks, zoals een rollende steekproefcovariantie of een model met constante correlatie. Gebruik bij elk prognosemoment alleen informatie die toen beschikbaar was, houd de activaselectie en horizon gelijk en rapporteer de verliesfunctie. Volg bij gebruik voor een portefeuille ook de gevolgen voor gewichten, concentratie, omzet, financiering en transactiekosten. Een hogere correlatie kan de diversificatie onder een bepaald risicomodel verminderen, maar voorspelt niet dat beide activaprijzen dalen.

Controleer of geschatte correlaties binnen geldige grenzen blijven, of de impliciete \(R_t\) positief definiet blijft en of marginale gestandaardiseerde residuen nog seriële afhankelijkheid of veranderende variantie vertonen. Onderzoek de gevoeligheid voor de activasectie, initialisatie, uitschieters, het venster en de modelvariant. Bij persistentie dicht bij één kan de schatting traag reageren op een breuk; een gladde recursie kan ook achterlopen op een abrupte regimewisseling. Leg bij veel onderzochte paren of varianten de selectieregels vast en behoud vergelijkingen buiten de steekproef om alleen gunstige uitkomsten te voorkomen.

DCC-GARCH kun je het best zien als een compact conditioneel covariantiemodel: marginale vergelijkingen schatten veranderende schalen, een afhankelijkheidsrecursie volgt gezamenlijke bewegingen in gestandaardiseerde innovaties en normalisatie zet de hulpvariabele om in correlaties. De geschatte matrix kan de risicoanalyse ondersteunen als aannames expliciet zijn en prognoses worden geëvalueerd. Op zichzelf bewijst die geen stabiele hedge, verklaart ze geen schok en toont ze niet aan dat een strategie rendement zal opleveren.