Ujian Pesaran–Timmermann: Adakah Ramalan Arah Menambah Maklumat?

Katakan pasaran meningkat pada 60% tarikh dalam sampel penilaian. Peramal menyebut “naik” pada 70% tarikh tersebut. Walaupun ramalan dan hasil tidak berkaitan, kedua-duanya akan kerap sepadan: pada sesetengah tarikh kedua-duanya menyebut naik, dan pada tarikh lain kedua-duanya menyebut turun. Membandingkan kadar padanan terus dengan 50% akan mengabaikan ketidakseimbangan ini.

Kerangka PT menjadikan perbandingan itu jelas. Ujian ini menilai sama ada arah ramalan dan arah sebenar sepadan lebih kerap daripada yang dijangka berdasarkan kekerapan berasingan masing-masing jika kedua-duanya tidak bersandar. Ini ialah ujian maklumat ramalan arah, bukannya skor bagi saiz pulangan, masa dagangan atau nilai keseluruhan strategi. Pesaran dan Timmermann memperkenalkan ujian prestasi ramalan menggunakan jadual kontingensi; bagi kes binari 2×2, ujian mereka setara secara asimptotik dengan ujian kebebasan {source:pesaranTimmermannDirectionalTests1992}.

Biarkan \(Y_t=1\) apabila hasil sebenar diklasifikasikan sebagai naik dan \(Y_t=0\) apabila diklasifikasikan sebagai turun. Biarkan \(Z_t=1\) apabila ramalan menyebut naik dan \(Z_t=0\) apabila menyebut turun. Setiap baris penilaian perlu memadankan ramalan yang dibuat pada masa asal \(t\) dengan hasil bagi ufuk yang hendak diramalkan.

Empat sel mengira pasangan naik/naik, naik/turun, turun/naik dan turun/turun. Jika \(n_{11}\) dan \(n_{00}\) ialah dua sel yang sepadan, manakala \(n\) ialah jumlah pasangan berguna yang berjaya dipadankan, kadar padanan arah yang diperhatikan ialah

\[ \widehat{P}=\frac{n_{11}+n_{00}}{n}. \]

Susunan ini menggunakan dua kategori. Tentukan lebih awal cara mengendalikan pulangan sifar, ramalan sifar atau jalur neutral. Sebagai contoh, kajian boleh mengelaskan pulangan sifar atau lebih rendah sebagai “bukan naik” dan ramalan pada atau di bawah ambang sebagai “bukan naik”. Nilai seri juga boleh dikecualikan, tetapi hal itu mengubah sampel dan mesti dilaksanakan secara konsisten. Jangan kira sifar-sifar sebagai jenis padanan ketiga sambil menggunakan formula asas dua kategori.

Biarkan \(\hat p_y\) ialah bahagian sampel hasil sebenar yang dikelaskan sebagai naik, dan \(\hat p_z\) ialah bahagian sampel ramalan yang menyebut naik. Jika label sebenar dan ramalan tidak bersandar, bahagian kesepakatan yang dijangka ialah

\[ \widehat{P}^{*}=\hat p_y\hat p_z+(1-\hat p_y)(1-\hat p_z). \]

Hasil darab pertama ialah kebarangkalian padanan naik/naik di bawah kebebasan; hasil darab kedua ialah kebarangkalian padanan turun/turun. Oleh itu, asas ini berubah mengikut kedua-dua bahagian marginal dan boleh melebihi atau kurang daripada 50%. Model yang sentiasa meramalkan arah paling lazim boleh mencatat kadar padanan yang kelihatan baik tanpa menambah maklumat.

Kes ekstrem menjelaskan perkara ini. Jika pengelas memanggil “naik” pada setiap tarikh, maka \(\hat p_z=1\), kadar padanan yang diperhatikan sama dengan bahagian kenaikan sebenar \(\hat p_y\), dan asas kebebasan juga \(\hat p_y\). Padanan lebihan ialah sifar mengikut pembinaan. Ramalan malar seperti ini boleh kelihatan tepat apabila hasil naik kerap berlaku, tetapi tidak membezakan tarikh yang akan naik; varians anggarannya juga mungkin merosot sehingga nilai-p PT konvensional tidak wujud.

Pertimbangkan 100 tarikh berpadanan yang hipotetikal. Hasil sebenar naik pada 60 tarikh dan ramalan menyebut naik pada 70 tarikh. Katakan jadualnya seperti berikut:

Terdapat 64 padanan, maka \(\widehat P=0.64\). Asas kebebasan ialah \(0.60\times0.70+0.40\times0.30=0.54\). Kadar padanan yang diperhatikan adalah 10 mata peratusan lebih tinggi daripada asas itu. Kiraan rekaan ini hanya menunjukkan pengiraan; jurang itu sendiri bukan anggaran ketidakpastian yang sah atau bukti prestasi dagangan yang berguna.

Bagi statistik PT binari standard, takrifkan

\[ \widehat v=\frac{\widehat P^{*}(1-\widehat P^{*})}{n} \]

dan

\[ \widehat w=\frac{(2\hat p_y-1)^2\hat p_z(1-\hat p_z)+(2\hat p_z-1)^2\hat p_y(1-\hat p_y)}{n}. \]

Maka

\[ PT=\frac{\widehat P-\widehat P^{*}}{\sqrt{\widehat v-\widehat w}}. \]

Di bawah hipotesis nol dan andaian sampel besar yang lazim, statistik ini mempunyai taburan rujukan normal piawai secara asimptotik. Pengangka ialah kesepakatan berlebihan melebihi asas kebebasan. Penyebut mengambil kira bahawa asas itu dianggar daripada sampel yang sama, bukannya dianggap sasaran tetap 50%. Formula dan notasinya didokumenkan dalam pelaksanaan statsmodels {source:statsmodelsPesaranTimmermannAPI}.

Ungkapan di atas ialah bentuk varians asimptotik utama yang didokumenkan oleh statsmodels. Varians delta sampel terhingga yang lebih lengkap dalam huraian asal menambah \(4\hat p_y\hat p_z(1-\hat p_y)(1-\hat p_z)/n^2\) kepada \(\widehat w\). Sebutan peringkat lebih rendah itu tidak mengubah asimptotik peringkat pertama, tetapi boleh mengubah nilai statistik dalam sampel terhingga. Jika hasil bergantung pada pelaksanaan, nyatakan formula dan versi perisian yang digunakan; jangan bandingkan nilai-p seolah-olah setiap pakej menggunakan pengiraan sampel terhingga yang sama.

Formula ini tidak membaiki reka bentuk yang lemah. Sampel yang sangat kecil, ramalan yang hampir sentiasa sama, sel kosong atau anggaran varians sifar atau tidak sah boleh menjadikan penghampiran biasa tidak boleh dipercayai atau tidak tertakrif. Dalam keadaan itu, jangan memaksa nilai-p daripada ungkapan ini; laporkan bahagian marginal dan jadual, kemudian pilih prosedur inferens yang sesuai dengan data dan saiz sampel.

Bagi jadual hipotetikal di atas, komponen menggunakan formula utama ialah \(\widehat v=0.54(0.46)/100=0.002484\) dan \(\widehat w=[0.2^2(0.7)(0.3)+0.4^2(0.6)(0.4)]/100=0.000468\). Ralat piawai ialah \(\sqrt{0.002484-0.000468}\approx0.0449\), maka \(PT\approx0.10/0.0449=2.23\). Rujukan normal piawai dua hala memberikan nilai-p kira-kira 0.026. Ini ialah pengiraan daripada kiraan rekaan menggunakan formula asimptotik utama; sebutan sampel terhingga yang lebih lengkap mengubah nilainya sedikit, dan kebergantungan bersiri boleh menjadikan rujukan normal tidak sah. Jangan bentangkannya sebagai hasil empirikal.

<!-- Kedudukan ilustrasi: selepas bahagian ini; ilustrasi konsep asal tanpa teks yang menunjukkan arah ramalan dan arah sebenar yang sepadan atau tidak sepadan, serta bahagian arah marginal yang berbeza. -->

Pengangka positif bermaksud arah yang diperhatikan sepadan lebih kerap daripada asas kebebasan; nilai negatif bermaksud sebaliknya. Ujian satu hala yang ditetapkan lebih awal boleh menilai sama ada kesepakatan melebihi asas. Ujian dua hala menilai sama ada perkaitan arah berbeza dalam mana-mana arah. Hipotesis alternatif dan aras keertian perlu dipilih sebelum hasil dilihat.

Nilai-p yang kecil ialah bukti terhadap hipotesis nol yang dinyatakan di bawah andaian ujian. Ia bukan kebarangkalian bahawa hipotesis nol benar, dan bukan juga kebarangkalian ramalan akan berjaya pada tempoh seterusnya. Ia tidak menunjukkan bahawa pulangan cukup besar untuk menampung spread, yuran, impak pasaran, pembiayaan atau kos pinjaman. Ia juga tidak membetulkan percubaan pada banyak aset, ufuk, ambang, varian model atau tanda ramalan sebelum hanya pemenang dilaporkan. Jika strategi calon dicari, panduan White Reality Check menerangkan sebab pemilihan perlu diambil kira dalam inferens.

Sebaliknya, kegagalan menolak bukan bukti bahawa arah sebenar dan ramalan adalah bebas. Sampel yang pendek atau tidak seimbang mungkin mempunyai kuasa yang rendah untuk mengesan perkaitan. Pembilang PT yang negatif juga tidak membuktikan bahawa ramalan langsung tiada struktur; ia mungkin menunjukkan ketidakpadanan yang sistematik. Membalikkan tanda ramalan selepas melihat hasil itu ialah pilihan model baharu dan mesti dinilai pada data baharu atau dimasukkan dalam prosedur carian asal.

Laporkan bersama bahagian kenaikan sebenar, bahagian ramalan naik, kadar padanan yang diperhatikan, asas kebebasan, perbezaan dalam mata peratusan, hipotesis alternatif dan kaedah ketidakpastian. Nilai-p tanpa margin jadual dan saiz kesan menyukarkan pembaca membezakan peningkatan kecil yang dianggar dengan tepat daripada peningkatan lebih besar yang masih tidak pasti.

Statistik PT biasa lazimnya dibentangkan untuk pemerhatian arah yang bebas dari segi bersiri. Label kewangan boleh muncul berturutan. Pemerhatian harian mungkin berkongsi sasaran berbilang hari yang bertindih; rejim volatiliti boleh berterusan; dan ramalan bergulir mungkin menggunakan semula kebanyakan data anggaran yang sama. Dalam keadaan itu, \(n\) pasangan bukan \(n\) cebisan maklumat yang bebas. Ralat piawai biasa mungkin terlalu kecil dan menyebabkan penolakan terlalu kerap.

Dalam kajian kemudian, Pesaran dan Timmermann membangunkan ujian kebergantungan bagi pemboleh ubah berbilang kategori yang mempunyai korelasi bersiri, menggunakan regresi yang ditambah secara dinamik dan kerangka Markov tertib terhingga {source:pesaranTimmermannSerialCategories2009}. Kajian yang memfokuskan ramalan arah juga mendapati prosedur PT konvensional berasaskan kebebasan boleh terlebih menolak apabila terdapat korelasi bersiri, dan menilai alternatif tahan-kebergantungan termasuk kaedah bootstrap {source:blaskowitzHerwartzDirectionalSerialCorrelation2014}. Kaedah yang sesuai bergantung pada cara ramalan dijana, ufuk ramalan dan struktur kebergantungan; resipi pensampelan semula umum tidak semestinya sah.

Nyatakan sama ada masa asal ramalan bertindih, jarak antaranya dan kaedah kebergantungan yang membekalkan anggaran ketidakpastian. Jika statistik buku teks dilaporkan sebagai penanda aras deskriptif, labelkan andaian kebebasannya. Jangan tafsir keputusan nominal 5% seolah-olah kadar penolakan palsunya juga 5% apabila reka bentuk melanggar andaian itu.

Bagi setiap masa asal, simpan ramalan tepat seperti yang tersedia pada masa itu, ufuk ramalan, had maklumat, hasil sebenar dan peraturan yang menukar setiap satunya kepada label naik/turun. Selaraskan cap masa, instrumen, takrif harga atau pulangan serta pengendalian nilai hilang sebelum membentuk jadual. Ramalan yang menggunakan data makroekonomi yang telah disemak atau isyarat yang ditala pada tempoh penilaian bukan ramalan luar sampel yang belum disentuh.

Pilih ambang pengelasan sebelum melihat hasil pegangan keluar. Jika model mengeluarkan kebarangkalian, ambang menukarnya kepada arah binari; mencari ambang pada sampel yang sama mengubah persoalan dan menghasilkan bias pemilihan. Asingkan peranan data latihan, pengesahan dan penilaian akhir. Dalam prosedur pensampelan semula yang bertujuan mengambil kira carian model, ulang seluruh proses pemilihan dalam setiap sampel semula.

Soalan PT berbeza daripada perbandingan magnitud ralat ramalan. Panduan Diebold–Mariano membandingkan perbezaan kerugian berpadanan, manakala panduan Giacomini–White menilai sama ada keupayaan ramalan relatif berubah berdasarkan maklumat yang ditetapkan lebih awal. Bagi model ramalan bersarang, lihat panduan pelarasan Clark–West. Ujian ini menjawab soalan yang berlainan dan tidak patut saling ditukar hanya kerana statistik ujiannya kelihatan biasa.

Ujian PT meringkaskan setiap hasil kepada satu label arah. Kenaikan satu tick dan lonjakan besar kedua-duanya dikira sebagai naik; ramalan yang tersasar sedikit dan kerugian besar kedua-duanya dikira sebagai satu kesilapan arah. Maka kadar padanan boleh meningkat tetapi strategi tetap rugi jika kesilapannya lebih besar daripada keuntungannya, isyarat tiba selepas perubahan harga, atau kos dagangan menghapuskan kelebihan.

Sebagai contoh, bayangkan 100 dagangan hipotetikal dengan saiz yang sama: 64 arah yang tepat memperoleh purata 0.10% setiap satu, manakala 36 arah yang salah mengalami kerugian purata 0.25% setiap satu. Jumlah kasar mudahnya ialah \(64(0.10\%)-36(0.25\%)=-2.6\) mata peratusan sebelum kos, walaupun kadar padanannya 64%. Pengiraan yang sengaja dipermudah ini mengabaikan pengkompaunan dan bukan bukti pasaran; ia menunjukkan sebab kadar padanan sahaja tidak menentukan jangkaan pulangan.