Pemarkahan VaR–ES Bersama: Penilaian Ramalan Fissler–Ziegel

Ambil L_t sebagai kerugian, maka nilai lebih besar lebih buruk; c ialah tahap keyakinan, contohnya 97.5%. Kuantil kerugian bersyarat v(c,t) ialah x terkecil yang menyebabkan F(L_t ≤ x | maklumat sehingga t−1) mencapai c. Bagi kerugian positif di ekor atas, ES ialah 1/(1−c) didarab kamiran v(u,t) dari c hingga 1, jika min ekor adalah terhingga. Untuk taburan berterusan, nilainya sama dengan purata kerugian melebihi ambang VaR. Jika terdapat jisim kebarangkalian di ambang, takrif kamiran kuantil mengambil bahagian jisim yang diperlukan.

Skor mesti menggunakan konvensyen yang sama dengan ramalan. Sesetengah makalah mentakrifkan VaR dan ES pada ekor bawah pulangan, lazimnya bernilai negatif, serta menulis kebarangkalian ekor sebagai α = 1−c. Bagi kerugian positif, risiko yang sama berada di ekor atas dan ES sekurang-kurangnya sebesar VaR. Mencampurkan konvensyen boleh membalikkan ketaksamaan dan penunjuk pengecualian. Catat tanda, tahap keyakinan, horizon dan maklumat yang tersedia sebelum hasil diketahui.

Kuantil mempunyai skor pinball yang konsisten ketat. Untuk kerugian L dan kuantil-c v, satu skor VaR ialah S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L). Di bawah syarat kuantil biasa, nilai jangkaannya minimum pada kuantil sasaran, jadi VaR boleh dinilai secara bersendirian.

Tiada skor konsisten ketat yang setara untuk mengelicitable ES sahaja dalam kelas taburan kerugian luas yang digunakan dalam pengurusan risiko. Kenyataan ini khusus tentang ramalan titik kendiri dengan skor jangkaan yang memilih ES secara unik. Ini tidak bermaksud ES tiada makna, tidak boleh diuji atau tidak boleh dibandingkan sebagai sebahagian daripada ramalan lebih besar.

Fissler dan Ziegel menjelaskan perbezaan utama: ES sahaja tidak elicitable dalam erti tersebut, tetapi pasangan (VaR, ES) boleh elicitable bersama di bawah syarat keteraturan dan momen yang sesuai. Makalah 2016 mereka memberikan syarat perlu dan mencukupi bagi kelas skor konsisten ketat (Fissler and Ziegel, 2016). Elicitability bersama bermaksud satu fungsi skor menerima kedua-dua komponen ramalan dan hasil sebenar. Menambah dua kerugian sewenang-wenangnya tidak menghasilkan skor ES yang sah.

Tulis S_c(v,e;L) bagi skor bersama yang admissible pada tahap c. Konsistensi ketat bermaksud skor jangkaan di bawah taburan sasaran minimum pada pasangan yang betul: (VaR_c, ES_c) = arg min atas (v,e) bagi E[S_c(v,e;L)]. Di bawah syarat berkaitan, minimum itu unik. Skor menggabungkan maklumat tentang sama ada ambang VaR dilepasi, kerugian ekor yang direalisasikan dan ramalan ES. Bagi kerugian positif di ekor atas, ES tidak sepatutnya di bawah VaR.

Fissler–Ziegel menerangkan kelas skor, bukannya satu formula wajib. Patton, Ziegel dan Chen menggunakan hasil itu untuk memodelkan dan membandingkan ramalan VaR–ES dinamik (Patton, Ziegel, and Chen, 2019). Satu ahli yang lazim, FZ0, ditulis dalam konvensyen pulangan ekor bawah: Y = −L, α = 1−c dan ramalan negatif e ≤ v < 0: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1. Ungkapan ini bergantung pada tanda pulangan dan andaian negatif tersebut. Jangan gunakannya terus untuk semua data kerugian positif atau semua skor bersama. Nyatakan skor pilihan dan pastikan andaian sepadan dengan data serta konvensyen ramalan.

Bagi model m, kira satu skor bersama untuk setiap pasangan ramalan–hasil lalu puratakannya: mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t). Dengan skor admissible, tarikh, sasaran dan konvensyen yang sama, purata lebih rendah menunjukkan prestasi relatif lebih baik menurut peraturan itu. Skor bukan kebarangkalian, nilai VaR atau anggaran kerugian wang; skalanya bergantung pada skor yang dipilih.

Bagi perbandingan berpasangan A dengan B, bentuk d_t = S_A,t − S_B,t. Purata negatif menyebelahi A mengikut skor berkenaan. Kedua-dua ramalan menghadapi hasil yang sama, maka perbezaan berpasangan lebih bermaklumat daripada membandingkan purata yang dibundarkan secara berasingan. Namun perbezaan boleh bising jika pemerhatian ekor sedikit.

<!-- learn:illustration -->

Bandingkan origin ramalan, portfolio atau sasaran, horizon, tahap keyakinan dan versi data yang sama. Ramalan mesti direkodkan sebelum hasil berlaku. Jika horizon bertindih atau perbezaan skor bersiri, pengiraan ketidakpastian perlu mengambil kira kebergantungan itu. Laporkan ralat piawai atau selang yang sesuai; jurang mentah kecil tidak semestinya bermakna.

Mungkin timbul idea untuk menambah kerugian pinball VaR dengan beza mutlak ramalan ES berbanding proksi. Terma kedua itu mungkin bukan skor ES yang sah, dan jumlah berwajaran sewenang-wenangnya tidak menjamin konsistensi bersama. Skor FZ dibina supaya pasangan ramalan menyasarkan fungsian VaR–ES secara bersama. Mengubah wajaran atau transformasi tanpa sifat itu mengubah perkara yang dinilai.

Kelas Fissler–Ziegel mempunyai beberapa skor dengan skala dan kepekaan berlainan; perbezaan daripada skor berlainan tidak boleh dibandingkan terus. Patton, Ziegel dan Chen membincangkan reka bentuk skor serta sifat skala FZ0 di bawah andaian tanda tambahan. Ini tidak menjadikan FZ0 terbaik secara universal. Pilih dan laporkan skor terlebih dahulu.

Pasangan ramalan juga penting. Ramalan ES yang kelihatan menarik boleh bercanggah dengan VaR pasangannya. Sebaliknya, skor bersama yang baik tidak membuktikan seluruh taburan bersyarat betul. Skor menilai fungsian yang dinyatakan di bawah peraturan serta reka bentuk penilaian yang dipilih.

Penunjuk pengecualian VaR bersifat binari: I_t = 1 jika L_t melebihi ramalan VaR dan 0 jika tidak. Dua model boleh mempunyai bilangan dan masa pengecualian yang sama, tetapi saiz kerugian melebihi ambang sangat berbeza. Empat pelanggaran tidak memberitahu sama ada lebihan kecil atau amat besar. Kiraan hit sahaja membuang tahap keterukan yang hendak dihuraikan oleh ES.

Skor bersama menggunakan ambang, ramalan ES dan VaR bersama kerugian sebenar; maka saiz kerugian ekor boleh mempengaruhi skor selain bilangan hit. Skor yang dipilih menentukan sumbangan tepat setiap pemerhatian. Jangan mengisytiharkan pemenang berdasarkan satu kerugian ekstrem; kira skor pada seluruh sampel bersama dan periksa kepekaan.

Pemarkahan untuk perbandingan ramalan bukan perkara yang sama dengan menyemak kekerapan pengecualian VaR. Skor bersama menjawab pasangan ramalan mana lebih baik di bawah peraturan yang sama; ia bukan sijil penentukuran penuh.

Ujian VaR gaya Kupiec membandingkan bilangan pengecualian dengan kadar sasaran; peluasan Christoffersen turut menilai kebergantungan atau pengelompokan. Oleh sebab setiap hasil diringkaskan sebagai hit atau bukan hit, ujian tersebut tidak mengukur saiz kerugian melebihi VaR dan tidak mengesahkan ES secara langsung. Panduan VaR dan Expected Shortfall menerangkan sebab kiraan pengecualian terlepas keterukan ekor.

Skor bersama menyokong perbandingan ramalan relatif, manakala backtesting bertanya sama ada ramalan cukup tertentukur untuk prosedur tertentu. Acerbi dan Szekely mencadangkan backtest ES bukan parametrik dan menjelaskan bahawa elicitability relevan untuk pemilihan model, bukan prasyarat menguji ukuran risiko (Acerbi and Szekely, 2014). Bayer dan Dimitriadis membangunkan backtest ES berasaskan regresi dengan struktur VaR–ES bersama; variannya mempunyai andaian dan keperluan kovarians tersendiri (Bayer and Dimitriadis, 2022). Kedudukan skor tidak menggantikan backtest khusus, dan kegagalan menolak hipotesis bukan bukti ramalan tepat.

Anggap siri masa perbezaan skor sebagai data. Untuk ramalan satu langkah yang tidak bertindih dengan andaian kebergantungan sesuai, ujian berpasangan bagi min perbezaan boleh dipertimbangkan. Jika terdapat kebergantungan bersiri atau horizon bertindih, gunakan inferens yang mengambil kira keadaan itu, misalnya anggaran varians jangka panjang atau pensampelan semula blok. Nyatakan kaedah dan peraturan bandwidth atau blok, bukan nilai p sahaja.

Tetapkan skor, aras ekor, horizon, tarikh penilaian dan set model sebelum melihat kedudukan. Mencuba banyak skor, tetingkap, aset atau variasi lalu melaporkan yang terbaik sahaja menimbulkan kesan pemilihan. Jika boleh, simpan tempoh penilaian kemudian dan jelaskan cara alternatif ditapis. Ketidakpastian yang dilaporkan tidak secara automatik mengambil kira carian itu.

Laporkan skor purata dan perbezaan berpasangan bersama ketidakpastian, takrif skor, konvensyen VaR dan ES, tarikh luar sampel bersama serta bilangan pemerhatian ekor. Jika kedudukan berubah dengan pilihan skor atau tempoh yang munasabah, tunjukkan kepekaan itu.

Tahap keyakinan tinggi meninggalkan sedikit pemerhatian ekor, maka kedudukan model boleh tidak stabil walaupun siri panjang. Heteroskedastisiti bersyarat, perubahan rejim, pulangan bertindih, ralat anggaran, masalah data dan perubahan portfolio semuanya boleh mempengaruhi perbezaan skor. Joint elicitability tidak menghapuskan masalah; ia menyediakan kelas skor berprinsip di bawah syarat matematik.

Pastikan kerugian sebenar sepadan dengan portfolio, horizon, kaedah penilaian dan tanda ramalan; VaR dan ES menggunakan kebarangkalian ekor sama; ramalan dibuat secara ex ante; dan skor memenuhi andaian. Laporkan panjang sampel, jumlah pemerhatian ekor, formula skor, kaedah ketidakpastian berpasangan serta sebarang carian skor atau model. Kesimpulan bergantung pada reka bentuk tersebut.

Skor bersama lebih rendah ialah bukti prestasi ramalan relatif di bawah peraturan pemarkahan tertentu. Ia tidak membuktikan model menangkap setiap peristiwa ekor, anggaran risikonya selamat atau keputusan masa depan menyerupai sampel. Ini bahan statistik, bukan nasihat pelaburan.