Modello di Heston e volatilità stocastica: spiegazione
Scopri come il modello di Heston rende casuale la varianza, come mean reversion e correlazione spot-varianza modellano le opzioni e perché la calibrazione non è una previsione
Risposta diretta
Il modello di Heston rende la varianza casuale, mean-reverting e correlata ai rendimenti dell'asset. Può generare skew e smile di volatilità dinamici, ma i parametri adattati descrivono una superficie del modello, non un unico percorso futuro
La volatilità costante perde una variabile di stato mobile
Black-Scholes usa una volatilità costante per la vita del contratto. I prezzi di mercato delle opzioni implicano invece volatilità diverse per strike, scadenza e tempo
I modelli a volatilità stocastica trattano la varianza come un'altra variabile di stato casuale. L'incertezza di domani dipende sia dal livello dell'asset sia dalla varianza raggiunta lungo il percorso
Questo aggiunge dinamiche realistiche ma anche una fonte di rischio non negoziata. Un prezzo completo richiede ipotesi su come viene prezzato il rischio di varianza
Heston dà alla varianza un processo a radice quadrata
La diffusione dell'asset usa √vₜ come volatilità istantanea. La varianza segue dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ sotto una misura di valutazione scelta
La varianza corrente v₀ fissa il punto di partenza. Theta è il livello di varianza a lungo termine, kappa è la velocità di mean reversion e xi è la volatilità della varianza
Il termine a radice quadrata scala gli shock della varianza con lo stato corrente. I parametri sono in unità di varianza, quindi theta non va letto direttamente come percentuale di volatilità
La mean reversion modella la struttura a termine
Quando la varianza è sopra theta, il drift la spinge verso il basso; sotto theta, la spinge verso l'alto. Kappa controlla la rapidità di questa spinta
Una mean reversion rapida fa contare di più uno shock corrente sulle scadenze brevi che su quelle lontane. Una reversion lenta distribuisce l'effetto più avanti lungo la struttura a termine
Kappa e theta possono compensarsi nella calibrazione. Un buon adattamento della curva non garantisce che nessuno dei due parametri sia precisamente identificato
La correlazione crea comportamento asimmetrico delle opzioni
Gli shock browniani di spot e varianza hanno correlazione rho. Un rho negativo significa che shock negativi dello spot tendono a coincidere con shock positivi della varianza
Questo canale simile alla leva contribuisce a produrre lo skew downside azionario: spot in calo e varianza in aumento rafforzano il valore delle opzioni downside
Rho non è la correlazione storica tra rendimenti e una serie di IV quotate. È un parametro istantaneo del modello sotto la misura e la calibrazione selezionate
La vol-of-vol piega la superficie
Xi controlla la casualità della varianza. Un xi più alto amplia la distribuzione della varianza futura e può aumentare la curvatura tra strike e scadenze
Il suo effetto interagisce con rho, kappa, theta e v₀. Un parametro non si mappa in modo pulito su una sola caratteristica visibile della superficie di volatilità
La condizione di Feller 2κθ ≥ ξ² è sufficiente per la positività stretta della varianza nel processo ideale, ma contano comunque implementazione e discretizzazione
La calibrazione risolve un problema inverso
Una calibrazione sceglie parametri che minimizzano gli errori tra prezzi di mercato delle opzioni o volatilità implicite su una griglia selezionata
I risultati dipendono da pesi dell'obiettivo, trattamento del bid-ask, scadenze, strike, limiti, ottimizzatore, tassi, dividendi e scelte d'integrazione numerica
Più insiemi di parametri possono adattarsi in modo simile. Riporta errori di prezzo e stabilità dei parametri e testa il modello su contratti non usati nell'adattamento
Il modello non contiene ogni rischio
Heston di base ha percorsi continui, un fattore di varianza e parametri fissi. I mercati reali possono saltare, cambiare regime, incorporare eventi e muovere lo skew diversamente
Ali profonde e scadenze molto brevi possono rivelare salti mancanti. Scadenze lunghe possono mostrare mean reversion instabile o la necessità di più fattori
Usa Heston come motore coerente di scenari, non come prova del processo vero. Sottoponi a stress salti, parametri, movimenti della superficie, liquidità ed errore di copertura al di fuori del modello calibrato
Domande frequenti
Quali sono i cinque parametri principali di Heston?
Sono varianza corrente, varianza di lungo periodo, velocità di mean reversion, volatilità della varianza e correlazione tra shock di spot e varianza
Perché rho è spesso negativo per le opzioni azionarie?
I ribassi azionari spesso coincidono con incertezza crescente. Una correlazione negativa del modello aiuta a riprodurre la volatilità implicita più alta degli strike downside
Il modello di Heston garantisce una varianza positiva?
Il processo a radice quadrata è non negativo in teoria sotto un trattamento adeguato. La condizione di Feller sostiene la positività stretta, mentre gli schemi numerici richiedono comunque attenzione
Una buona calibrazione Heston predice la volatilità futura?
No. Mostra che un insieme di parametri adatta uno snapshot di opzioni scelto secondo pesi e ipotesi dichiarati; la dinamica futura può differire materialmente