Il modello di volatilità SABR spiegato

Il nome abbrevia stochastic alpha beta rho. Il forward segue una diffusione a elasticità costante, mentre il suo livello di volatilità segue un processo casuale

I due shock sono correlati. Questo movimento congiunto permette allo smile di volatilità implicita di reagire quando il forward si muove invece di restare una curva fissa

SABR è diventato importante nei mercati dei tassi d'interesse e dei cambi, dove quotare e gestire gli smile per scadenza e tenor è centrale

Alpha stabilisce la scala iniziale della volatilità. Beta controlla come il livello del forward cambia l'ampiezza delle oscillazioni di prezzo attraverso il termine di elasticità

Rho è la correlazione tra gli shock del forward e della volatilità. Nu, spesso chiamato vol-of-vol, controlla quanto è incerto il livello futuro della volatilità

I ruoli non sono indipendenti. Un cambiamento visibile nel livello, nella pendenza o nella curvatura dello smile può essere riprodotto da aggiustamenti interagenti dei parametri

Beta è uguale a uno nel limite in stile lognormale e a zero nel limite in stile normale. Le scelte intermedie cambiano il modo in cui la volatilità scala con il forward

Un rho negativo tende ad aumentare la volatilità implicita sul lato degli strike più bassi rispetto a quello superiore; un rho positivo tende a inclinare lo smile nella direzione opposta

Nu aggiunge curvatura allargando la distribuzione della volatilità futura. Il suo effetto interagisce con rho e tempo, quindi non va letto da una sola ala

Per una scadenza, la calibrazione adatta i parametri alle volatilità implicite di mercato tra gli strike, spesso fissando beta e risolvendo alpha, rho e nu

Fissare beta può ridurre l'instabilità perché beta e rho possono sostituirsi a vicenda su un intervallo limitato di strike. La scelta deve essere documentata, non nascosta

Pesi, intervalli bid-ask, copertura degli strike, convenzione di quotazione normale rispetto a lognormale, shift e vincoli dell'ottimizzatore influenzano tutti il risultato

Hagan e coautori hanno introdotto SABR in parte per affrontare il movimento dello smile che poteva rendere le coperture a volatilità locale diverse dai mercati osservati

Poiché gli shock del forward e della volatilità sono correlati, il modello produce una relazione condizionata tra un movimento del forward e uno spostamento dello smile

Una relazione stimata resta uno scenario, non una legge. La risposta reale dello smile può cambiare in base a regime, scadenza, evento e direzione o velocità del movimento

SABR viene spesso implementato tramite l'espressione asintotica della volatilità implicita di Hagan invece che tramite l'integrazione esatta del processo stocastico

La precisione può deteriorarsi per scadenze lunghe, strike estremi, vol-of-vol elevato o combinazioni difficili di parametri. Alcune implementazioni hanno anche bisogno di shift per tassi bassi

Controlla prezzi, densità e condizioni di arbitraggio statico sull'intero dominio previsto. Un piccolo errore di calibrazione vicino agli strike liquidi non convalida le ali lontane

Monitora la stabilità dei parametri tra date e scadenze vicine, ma non imporre una regolarità che peggiori l'adattamento alle quotazioni o crei incoerenza di calendario

Confronta l'approssimazione con benchmark numerici e modelli alternativi dello smile. Sottoponi a stress movimenti del forward, shock di volatilità, correlazioni e strike estrapolati

SABR è un linguaggio utile per il rischio dello smile, non un unico processo vero. Conserva con ogni superficie la convenzione di quotazione, il dominio, l'errore di adattamento, la versione e le condizioni note di fallimento