Bootstrap a blocchi e intervalli di confidenza per strategie di trading

Il rendimento medio storico o l’indice di Sharpe è una stima ricavata da un campione finito. Un intervallo di confidenza indica quali valori sono compatibili con i dati secondo il metodo e il livello nominale scelti. Non rende più informativa una storia breve o caratterizzata da forte dipendenza.

Definisci la statistica prima di esaminare i risultati. Può essere la media dei rendimenti periodici in eccesso oppure uno Sharpe calcolato sugli stessi periodi. Specifica frequenza, tasso privo di rischio, trattamento lordo o netto dei costi e formula esatta. Per lo Sharpe, ricalcola media e deviazione standard in ogni replica usando sempre la stessa convenzione.

Questa domanda è diversa da tre attività vicine. Gli errori standard HAC stimano l’incertezza di un coefficiente di regressione sotto un modello di dipendenza scelto. L’annualizzazione dello Sharpe aggrega una statistica nel tempo e, da sola, non produce un intervallo di confidenza. La cross-validation purgata valuta modelli predittivi quando gli intervalli temporali delle etichette si sovrappongono. Qui il bootstrap ricampiona la serie di rendimenti osservata per studiare la variabilità di una statistica definita in anticipo.

Il bootstrap i.i.d. convenzionale estrae ogni osservazione in modo indipendente e con reinserimento. L’ordine temporale scompare: in una serie sintetica a una settimana tranquilla può seguirne una qualunque di forte tensione. Vanno persi anche i periodi persistenti di rendimento o volatilità e la dipendenza tra settimane vicine.

È un aspetto rilevante se i rendimenti finanziari presentano autocorrelazione, raggruppamenti di volatilità, periodi di detenzione sovrapposti o altre dipendenze temporali. Un campionamento i.i.d. può allora generare una distribuzione troppo semplice di percorsi artificiali. Il bootstrap a blocchi conserva l’ordine originale all’interno di ogni sequenza estratta, ma le giunzioni tra sequenze restano artificiali.

Il metodo non corregge una serie di rendimenti costruita male. Prezzi ritardati o smussati, costi di finanziamento omessi, bias di sopravvivenza e segnali allineati in modo errato restano problemi dei dati o della valutazione della strategia.

Il bootstrap a blocchi mobili (MBB) usa una lunghezza fissa L. Da una serie di n osservazioni si costruiscono blocchi candidati sovrapposti, ciascuno composto da L rendimenti consecutivi. Si estraggono blocchi interi con reinserimento, si concatenano e si tronca l’ultimo blocco per riportare il percorso sintetico a n osservazioni.

Anche il bootstrap stazionario ricampiona osservazioni consecutive, ma con lunghezze di blocco casuali. Dopo l’inizio di un blocco, la sequenza prosegue con probabilità 1 − 1/L; con probabilità 1/L ne inizia uno nuovo da un punto di partenza casuale. La lunghezza segue una distribuzione geometrica e il valore scelto L ne è la media. I confini variano, mentre L regola la durata media della dipendenza che si vuole conservare.

Entrambi i metodi richiedono una scelta sulla lunghezza dei blocchi e sul trattamento degli estremi. Non modificare L a posteriori finché l’intervallo non assume la forma desiderata. Künsch studia il ricampionamento per osservazioni stazionarie; Politis e Romano presentano il bootstrap stazionario con blocchi di lunghezza geometrica.

Indichiamo con r1, r2, r3 e r4 i rendimenti settimanali osservati, nell’ordine. Con un MBB e L = 2, i blocchi sovrapposti possibili sono (r1, r2), (r2, r3) e (r3, r4). L’esempio illustra soltanto la regola di estrazione e non afferma nulla sulla performance di una strategia.

Un percorso sintetico di quattro osservazioni potrebbe concatenare il blocco estratto (r2, r3) seguito da (r1, r2). L’ordine delle due settimane all’interno di ciascun blocco resta intatto. Il passaggio da r3 a r1 è un confine artificiale del blocco, non un movimento di mercato osservato.

In un’analisi reale si generano molti percorsi di questo tipo e si ricalcola la stessa statistica prestabilita per ciascuno. Un’applicazione effettiva di solito richiede una serie storica molto più lunga; qui quattro osservazioni servono soltanto a illustrare l’algoritmo.

Genera molti percorsi sintetici della stessa lunghezza. Per ciascuno ricalcola la media dei rendimenti in eccesso o l’indice di Sharpe definito. Si ottiene così una distribuzione bootstrap della statistica. Un semplice intervallo percentile usa i quantili inferiore e superiore; gli intervalli BCa o studentizzati sono alternative con ipotesi e scelte di calcolo diverse.

Riporta il livello di confidenza, il numero di repliche, il metodo di ricampionamento, la lunghezza dei blocchi, il trattamento degli estremi e il tipo di intervallo. Aumentare le repliche riduce l’errore numerico dell’algoritmo, ma non aumenta il numero di fasi di mercato osservate in modo indipendente.

Se un intervallo bilaterale per il rendimento medio in eccesso contiene zero, al livello nominale scelto i dati restano compatibili con un valore positivo, vicino allo zero o eventualmente negativo. Ciò non dimostra né che il rendimento vero sia zero né che due strategie siano equivalenti. Significa che il campione, considerate le ipotesi, non permette una conclusione più precisa.

Nel confronto diretto, i rendimenti di due strategie sono in genere appaiati: entrambe sono state osservate nelle stesse settimane di mercato. Per ogni replica estrai congiuntamente gli stessi blocchi temporali da entrambe le serie. Calcola poi i due indici di Sharpe e la loro differenza all’interno della stessa replica.

Estrarre blocchi separati per ciascuna strategia distrugge la covarianza contemporanea e può distorcere l’incertezza della differenza. L’estrazione congiunta conserva la struttura temporale condivisa presente nei dati osservati. Ledoit e Wolf studiano intervalli bootstrap degli indici di Sharpe e delle loro differenze con rendimenti dipendenti.

Stabilisci prima se vuoi confrontare uno Sharpe più alto, una differenza o un’altra statistica. Usa la stessa frequenza dei rendimenti, lo stesso orizzonte di valutazione e un trattamento coerente di commissioni e finanziamento. Se l’intervallo della differenza contiene zero, il campione e il metodo non dimostrano con chiarezza una differenza; non ne provano l’uguaglianza.

Blocchi troppo brevi possono perdere dipendenza di breve periodo e raggruppamenti di volatilità. Blocchi troppo lunghi lasciano meno combinazioni di blocchi effettivamente diverse e possono produrre una distribuzione bootstrap imprecisa. Mostra quindi la sensibilità a diverse lunghezze plausibili, motivate dalla frequenza dei dati e dalla durata della dipendenza.

I metodi usuali presuppongono una distribuzione dipendente sufficientemente stabile e debolmente stazionaria, oppure condizioni di dipendenza che giustifichino i risultati asintotici. Una rottura strutturale marcata o un cambio di regime può violare queste ipotesi. Ricampionare un’intera storia lunga può mescolare fasi che non provengono dallo stesso processo. Se necessario, analizza periodi distinti o definisci un disegno esplicito per regimi invece di presentare una sola statistica come robusta.

Verifica anche se la generazione dei segnali, la scelta dei parametri o la selezione della strategia sono basate sugli stessi dati. L’intervallo per una strategia già selezionata non corregge automaticamente il data snooping o i test multipli. Per selezione e valutazione predittiva servono strumenti aggiuntivi, come un periodo cronologico tenuto da parte o una cross-validation purgata adeguata.

Documenta fonte e periodo dei rendimenti, frequenza, base lorda o netta, tasso privo di rischio, definizione dello Sharpe, metodo di ricampionamento, lunghezza dei blocchi e tipo d’intervallo. Mostra varianti di sensibilità plausibili, numero di repliche e, se confronti più strategie, se hai estratto gli stessi blocchi in modo appaiato. Presenta la statistica insieme a drawdown, liquidità, costi e limiti dei dati.

Un intervallo calcolato sui rendimenti storici non è una previsione né una garanzia. Dipende dalla serie osservata, dalla selezione della strategia, dalle ipotesi sui costi e dal modello di ricampionamento. Non predice il rendimento della prossima settimana e non sostituisce una consulenza finanziaria personalizzata.

Per approfondire: gli errori standard robusti e HAC riguardano i coefficienti di regressione; Sharpe e correlazione seriale riguardano l’aggregazione nel tempo; la cross-validation purgata e l’embargo riguardano la validazione dei modelli.

Fonti metodologiche: - Künsch (1989), The jackknife and the bootstrap for general stationary observations - Politis e Romano (1994), The stationary bootstrap - Ledoit e Wolf (2008), Robust performance hypothesis testing with the Sharpe ratio

Un maggior numero di repliche può ridurre il rumore Monte Carlo nei quantili stimati: mantenendo fissi campione, statistica e regole di ricampionamento, gli estremi dell’intervallo tendono a variare meno per effetto casuale dell’algoritmo. Le nuove estrazioni, però, non aggiungono osservazioni di mercato indipendenti alla serie originale. Non rendono rappresentativo un campione breve, selezionato o non stazionario e non correggono questi problemi. Mantieni invariati statistica, metodo, lunghezza dei blocchi e trattamento degli estremi; le repliche aggiuntive affinano soltanto l’approssimazione numerica secondo lo stesso disegno.