Pertidaksamaan Variasional dan Batas Bebas dalam Opsi
Pelajari bagaimana nilai opsi Amerika menggabungkan dominasi payoff, PDE kelanjutan, komplementaritas, batas bebas, fit mulus, dan pemeriksaan numerik
Jawaban langsung
Pertidaksamaan variasional opsi Amerika mensyaratkan nilai berada di atas payoff pelaksanaan langsung dan persamaan penetapan harga berlaku di mana pun menunggu adalah optimal. Kontak antara kedua kondisi ini menentukan batas pelaksanaan yang tidak diketahui
Pelaksanaan langsung menciptakan obstacle
Misalkan g(t,S) adalah payoff pelaksanaan dan V(t,S) adalah nilai opsi Amerika
Karena pemegang boleh melaksanakan sekarang, V ≥ g pada setiap waktu dan state yang admissible sebelum kedaluwarsa
Dengan demikian payoff menjadi obstacle di bawah permukaan nilai, bukan sekadar kondisi terminal
Kelanjutan mengikuti persamaan penetapan harga
Di tempat V > g, pelaksanaan langsung tidak optimal dan opsi tetap hidup
Di wilayah kelanjutan itu, model difusi memberikan ∂_tV + LV - rV + f = 0, dengan penyesuaian untuk dividen atau arus kas berjalan
Persamaan hanya berlaku di tempat kelanjutan dipilih; menerapkannya di wilayah pelaksanaan akan mengabaikan hak penghentian
Komplementaritas menggabungkan kedua rezim
Salah satu konvensi umum adalah max(g-V, ∂_tV + LV - rV + f) = 0
Jadi V-g ≥ 0, residual kelanjutan memiliki tanda yang sesuai, dan setidaknya satu kondisi mengikat di setiap titik
Bentuk min yang ekuivalen membalik tanda, sehingga operator dan konvensi pertidaksamaan harus diperiksa bersama
Batas pelaksanaan adalah bagian dari solusi
Himpunan V = g adalah wilayah berhenti dan V > g adalah wilayah kelanjutan
Antarmuka keduanya merupakan batas bebas karena lokasinya tidak diketahui sebelum masalah nilai diselesaikan
Untuk put Amerika standar, batas ini sering berupa level kritis aset dasar yang berubah terhadap waktu, tetapi suku bunga, dividen, lompatan, dan kendala dapat mengubah bentuknya
Value matching lebih luas daripada smooth fit
Pada batas yang regular, value matching memberikan V = g dan smooth fit dapat memberikan kecocokan turunan pertama
Smooth fit mengikuti kondisi lintasan dan regularitas tambahan; lompatan, sudut payoff, batas tidak teratur, atau kendala dapat membuatnya gagal
Perlakukan smooth pasting sebagai teorema yang harus dibuktikan dalam model yang dipilih, bukan definisi universal pelaksanaan optimal
Metode numerik menyelesaikan masalah komplementaritas
Grid beda hingga menghasilkan masalah komplementaritas linear pada setiap langkah waktu
Projected SOR, metode penalti, iterasi kebijakan, front fixing, dan aturan penghentian berbasis regresi menyelesaikan pendekatan berbeda dari pilihan yang sama
Periksa dominasi obstacle, komplementaritas residual, monotonisitas batas, konvergensi grid, dan batas bawah dari kebijakan yang dilaksanakan
Input ekonomi membentuk ulang batas
Call Amerika atas saham tanpa dividen umumnya tidak dilaksanakan lebih awal di bawah asumsi standar suku bunga positif, tetapi pengecualian tetap penting
Dividen, suku bunga negatif, biaya pinjam, pembayaran diskret, aturan penyelesaian, dan batas waktu pelaksanaan dapat membalik kesimpulan yang dikenal
Gunakan kontrak dan variabel state yang sebenarnya; batas yang tampak mulus dari model sederhana bukan bukti adanya aturan pelaksanaan yang dapat diperdagangkan
Pertanyaan umum
Apa itu pertidaksamaan variasional dalam penetapan harga opsi Amerika?
Ini adalah kondisi ringkas yang menegakkan hak untuk segera melaksanakan sekaligus persamaan penetapan harga ketika melanjutkan lebih baik
Apa itu batas bebas?
Ini adalah antarmuka yang tidak diketahui yang memisahkan state tempat pelaksanaan optimal dari state tempat mempertahankan opsi optimal
Apakah smooth pasting selalu berlaku?
Tidak. Ia memerlukan regularitas dan perilaku lintasan yang sesuai serta dapat gagal dengan lompatan, sudut, kendala, atau titik berhenti yang tidak teratur
Bagaimana pertidaksamaan variasional diselesaikan secara numerik?
Metode umum mencakup iterasi terproyeksi, penalti, iterasi kebijakan, front fixing, dan beda hingga yang memperhatikan komplementaritas